江苏专用高考数学复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习文.docx

专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题练习 文一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点，则k的取值范围为_.解析由已知可得直线l的方程为ykx，与椭圆的方程联立，整理得x22kx10，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以8k244k220，解得k或k，即k的取值范围为.答案2.F1，F2是椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是_.解析设P(x，y)，依题意得点F1(，0)，F2(，0)，(x)(x)y2x2y23x22，注意到2x221，因此的最大值是1.答案13.已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2AF2的最大值为5，则b的值是_.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a2；由椭圆的定义，可知AF2BF2AB4a8，所以AB8(AF2BF2)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中通径最短，即3，可求得b23，即b.答案4.(2016苏北四市调研)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是_.解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案(1，25.已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x24xy220相交，则双曲线的离心率的取值范围是_.解析双曲线的渐近线方程为yx，即bxay0，圆x24xy220可化为(x2)2y22，其圆心为(2，0)，半径为.因为直线bxay0和圆(x2)2y22相交，所以，整理得b2a2，从而c2a2a2，即c22a2，所以e22.又e1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，).答案(1，)6.已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则PAPB的最大值为_.解析在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)，由椭圆的定义得PBPC10，所以PAPB10PAPC，因为PAPCAC5，所以当点P，A，C三点共线时，PAPB取得最大值15.答案15二、解答题7.(2015苏、锡、常、镇模拟)如图，以原点O为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，P在y轴上的射影为M.动点N满足且0.(1)求点N的轨迹方程；(2)过点A(0，3)作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，与点N的轨迹分别交于E，F两点，k1k29.求证：直线EF过定点.(1)解由且0可知，N，P，M三点共线且PMQN.过点Q作QNPM，垂足为N，设N(x，y).因为OP3，OQ1，由相似比可知P(3x，y).因为P在圆x2y29上，所以(3x)2y29，即x21，所以点N的轨迹方程为x21.(2)证明设E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，由得(k9)x26k1x0，解得x0或x，所以xE，yEk13，所以E.因为k1k29，所以k2，用替代中的k1，同理可得F.显然E，F关于原点对称，所以直线EF必过原点O.8.(2016苏州调研)如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.(1)解由题知B(0，1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，直线PM的方程为1，即yx1.联立解得或(舍)所以M.连接BF，则直线BF的方程为1，即xy0，而BFa2，所以点M到直线BF的距离为d.故SMBFBFd2.(2)证明设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得M，所以k1m，k2，所以k1k2m为定值.9.(2016南通、扬州、泰州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2y2a2于相异两点P，Q.(1)若直线l的斜率为，求的值；(2)若，求实数的取值范围.解由题意得解得所以椭圆的方程为1，圆的方程为x2y24.(1)法一直线l的方程为y(x2)，由得3x34x40.解得xA2，xP，所以P.所以AP.又因为原点O到直线l的距离d，所以AQ2，所以.法二由得3y24y0，所以yP.由得5y28y0，所以yQ.所以.(2)法一若，则1，设直线l：yk(x2)，由得(2k21)x28k2x8k240，即(x2)(2k21)x(4k22)0，所以xA2，xP，得P.所以AP2，即AP.同理可得AQ.所以11.由题意知k20，所以01.法二由法一知1111，由题意知k20，所以01.10.已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.解(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4