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实对称矩阵有定性在经济分析中的运用研究摘要:通过实对称矩阵有定性在计量经济学和微观经济学部分择优问题中的运用的探讨,对相关经济理论进行了数学定量解释,帮助加深对相关经济理论的理解。结合具体例子所作的详细说明为理论的运用提供了一般方法,该方法为实对称矩阵有定性理论在其他问题中的运用可以方便地移植。 关键词:实对称矩阵;有定性理论;经济分析;择优理论 中图分类号:F12文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)33-0007-07 在当代各门学科中,经济学已经成为应用数学知识最为普遍、最为深入的学科之一。其中,矩阵理论在经济学的文献中得到广泛的运用。作为特殊矩阵的实对称矩阵的有定性更是择优分析中判定最优解不可或缺的有力工具。本文仅对实对称矩阵的正定性、半正定性、负定性、半负定性在相关经济分析中的运用进行初步探讨。 一、实对称矩阵有定性判别的主要方法 记A=(aij)nn为n阶方阵,=(xi)n1为n维列向量,AT、T分别为A与的转置矩阵和转置向量。A=AT且aijR(i,j=1,2,n),则A为n阶实对称矩阵。 1.相关定义 定义(1)设 f(x1,x2,xn)=TA为实二次型,A为实对称矩阵,那么: 思想汇报 1) 对任意,恒有TA0,则称A为正定矩阵。 2) 对任意,恒有TA0,则称A为半正定矩阵。 3) 对任意,恒有TA0,则称A为负定矩阵。 4) 对任意,恒有TA0,则称A为半负定矩阵。 5) 若TA符号不定,则称A为不定矩阵。 定义(2)设A、B都是n阶对称矩阵,若A-B为半正定矩阵,则称AB。 定义(3)设A是n阶矩阵,从中任取(i1,i2,ik)行和(i1,i2,ik)列,由其交点元素按原来次序排列而成的k阶行列式,称为A的一个k阶主子式,记为|Dk|;从中取前k行、前k列,由其交点元素按原来次序排列而成的k阶行列式,称为A的k阶顺序主子式,记为|Ak|。 定义(4)设A是n阶矩阵,对,若A=,则称是A的特征值,是属于特征值的特征向量,其中是标量。 2.相关定理 定理(1)设A是n阶实对称矩阵,则A的n个特征值为A的特征方程|A-E|=0的解,记为1,2,n (重根按重数计算)。那么 iR(1in)。 定理(2)设A是n阶实对称矩阵,i(i=1,2,n)是A的特征值,则有: 1)A是正定矩阵?圳i0,1in。 2)A是半正定矩阵?圳i0,1in。 3)A是负定矩阵?圳i0,1in。 4)A是半负定矩阵?圳i0,1in。 5)A是不定矩阵?圳i符号不定,1in。 定理(3)设是阶实对称矩阵,则有: 1)A是正定矩阵?圳|Ak|0,1kn。 2)A是半正定矩阵?圳|Dk|0,1kn。 3)A是负定矩阵?圳(-1)k|Ak|0,1kn。 4)A是正定矩阵?圳-A是负定矩阵。 5)A是半正定矩阵?圳-A是半负定矩阵。 定理(4)若n阶对称矩阵A是正定的,则A-1、A*也是正定矩阵,其中A-1是A的逆矩阵,A*是A的伴随矩阵。 定理(5)设A(aij)nk,且A的秩r(A)=k,则ATA=C=(cij)kk是正定矩阵。 二、在计量经济学古典线性回归模型中的应用 (一)线性回归模型的参数估计 1.线性回归模型的基本假定 假定(1)(线性假定) yt=1xi1+2xi2+kxik+i (i=1,2,n) 其中,i (i=1,2,k) ,是未知待估参数,i是第i次观测产生的随机误差项。 假定(2) (严格外生性) E(I|X)=0(i=1,2,n);X=(xij)nk 假定(3) (无多重共线性) r(X)=k,即矩阵X为满列秩矩阵。 假定(4) (误差的球面方差) 1)同方差E(2i|X)=20(i=1,2,n) 2)观测值不相关E(ij|X)=0(i,j=1,2,n;ij) 2.模型的矩阵表示 记Ti=(xi1,xi2,xik),=(1,2,k)T =(1,2,k)T,=(1,2,k)T,X=(xij)nk 则假定(1)可以用下面矩阵表达式表示: =X+ 3.未知参数向量的最优估计值的确定(OLS估计值) 称=-X为观测的残差向量,则i=yi-T是第i期观测的残差。那么,n期观测残差的平方和为: (yi-T)2=(-X)T (-X) 它是向量-X对自己的内积,也是向量与X向量距离的平方。现在的任务是寻找适宜的,使当用估计时,与X的距离最小。 显然,T=(-X)T (-X) =(T-TXT)T (-X) =T-TX-TXT+TXTX =T-2TX+TXTX(注:TXT为标量) =T-2T+TA (注:XT,AXTX) T不依赖于,对T求导时,其导数为零。 A是对称矩阵,根据矩阵的微分知识可知: =, =2A 于是=-2+2A 由择优一阶必要条件:令-2+2A=?圯A=,得到唯一稳定点=A-1 ?圯=(XTX)-1XT(注:由假定(3)及定理(5)知道是正定矩阵,所以A可逆) 再考察择优的二阶充分条件,=2A。因为A是正定矩阵,所以2A也是正定矩阵,2A就是周知的海赛矩阵,由于海赛矩阵处处正定是为唯一绝对极小值的充分条件,因而,是T的最小值点。 (二)在OLS估计量的有限样本性质证明中的运用 在OLS估计量的有限样本性质中,有一个著名的高斯马尔科夫定理:根据古典线性回归模型的基本假定,OLS估计量是有效的线性无偏估计量。换言之,对于任何一个的线性无偏估计量,都存在矩阵形式的关系式Var(|X)Var(|X)。 该定理证明过程如下:因是的线性函数,可以写成=C,C是X的函数构成的矩阵。令DC-A或CD+A且A(XTX)-1XT,于是: =(D+A) =D+A =D(x+)+(注:=X+与A=(XTX)-1 XT=) =DX+D+ 两边取条件期望得到: E(|X)=DX+E(D|X)+E(|X) 因为与都是的无偏估计量,即E(|X)=E(|X)= 所以,DX+E(D|X)=,且E(D|X)=ED(|X)= 于是D=。若对于任意都要求D=成立,则必须满足DX=O。因此,=D+,且-=D+(-)=(D+A) (注:-=(XTX)-1XT-=(XTX)-1XT(X+)- =(XTX)-1(XTX)+(XTX)-1XT- =+(XTX)-1XT- =(XTX)-1XT=A) 从而得到: Var(|X)=Var(-|X) =Var(D+A)|X) =(D+A)Var(|X)(D+A)T (注:A与D都是X的函数) =(D+A)(2In)(DT+AT) =2(D+A)(DT+AT) (注:2是标量,In是n阶单位矩阵) =2(DDT+ADT+DAT+AAT) 注意到DAT=D(XTX)-1XT)T=DX(XTX)-1)T=O (注:DX=O) ADT=(DAT)T=O AAT=(XTX)-1XTXTX)-1XTT=(XTX)-1(XTX)(XTX)-1=(XTX)-1 于是Var()2DDT+(XTX)-1 (注:DDT为半正定矩阵,且2(XTX)-1 (XTX)-1 +DDT-(XTX)-1 =DDT, =Var(|X) 由定义(2)知DDT+(XTX)-1(XTX)-1) 最后一个等式成立是因为: Var(|X)=Var(-)|X (注:不是随机变量) =Var(A|X) =AVar(|X)AT(注:A是X的函数) =AE(T|X)AT(注:用基本假定 (2) =A(2In)AT =2AAT =2 (XTX)-1 可见这个重要定理的证明,实对称矩阵的有定性起到了不可替代的作用。 三、无条件极值二阶充分条件在微观经济学中的运用 (一)无条件极值的二阶充分条件 设n元实函数f(x2,x2,xn)有连续的二阶偏导数,并记fi、fij,由杨定理可知fij=fji。 *为极值点的一阶必要条件是众所周知的: fi| = 0 (i=1,2,n) 而*为极值点的二阶充分条件则需要考察如下形式的海赛(Hessian)矩阵: H=f11 f12 f1nf21f22 f2n fn1fn2 fnn 由于fij=fji,所以矩阵H为对称矩阵。二阶充分条件可叙述为: (1)H在*为负定矩阵,则*为相对极大值点;H处处为半负定矩阵,则*为绝对极大值点;H处处为负定矩阵,则*为唯一的绝对极大值点。 (2)H在*为正定矩阵,则*为相对极小值点;H处处为半正定矩阵,则*为绝对极小值点;H处处为正定矩阵,则*为唯一的绝对极小值点。 (3)H在*为不定矩阵,则*不是极值点(鞍点)。 关于H有定性的判别方法,可以在定理(2)与定理(3)中选择。 (二)二阶充分条件的运用 1.多产品厂商问题 假设有一个完全竞争环境下的两产品厂商。因在完全竞争环境下,两商品的价格必然是外生的,分别用P10与P20表示。据此,厂商的收益函数为: R=P10Q1+P20Q2 其中,Qi(i=1,2)表示单位时间内第i产品的产量。假设厂商的成本函数为: C=2Q21+Q1Q2+2Q22 则其利润函数可以写成: =R-C=P10Q1+P20Q2-2Q21-Q1Q2-2Q22 下面要完成的任务是求出使最大化的产出水平Q1与Q2的组合。为此,先求出利润函数的一阶偏导数: 1()=P10-4Q1-Q2 2()=P20-Q1-4Q2(1) 令二者等于零,为满足最大化条件,得到方程组: 4114Q1Q2=P10P20 产生唯一解Q* =Q*1Q*2 =4P10-P204P20-P10 具体的,若P10=12,P20=18,则有Q*1=2,Q*2=4,这可能意味着单位时间的最大利润为*=48。 为确认此值的确是最大利润,现在检验二阶充分条件。从一阶偏导数容易得到二阶偏导数并得到如下海赛矩阵: H=111221 22=-4-1-1-4 因为|H1|=-40,|H2|=-4-1-1-4=150,所以H为负定矩阵。又因为顺序主子式的符号与它们在何处记值无关,故H在本例中处处负定,从而Q*是唯一的绝对极大值(最大值)点。 2.多产品厂商在垄断市场环境中的问题 仍假定厂商生产两种产品。但由于市场环境发生了变化,收益函数必须反映如下的事实:两产品的价格将随产出水平的变化而变化。当然,价格随产出水平变化的确切方式还有待于从厂商两种产品的需求函数中求出。 假设对垄断厂商产品的需求函数如下: Q1=40-2p1+p2 Q2=15+p1-p2 (2) 以上两个方程揭示出,两种产品在消费中存在某种联系。具体地说,它们是替代品,因为一种商品价格的提高将提高对另一种商品的需求。正如需求函数指明的,需求量Q1和Q2是价格的函数。就我们现在的目的而言,将价格表示为需求量的函数也许更方便一些。改写需求方程如下: 思想汇报 -2p1+p2 =Q1-40 p1-p2=Q2-15 解方程组得: p1=55-Q1-Q2 p2=70-Q1-2Q2 (3) 因而,厂商的总收益函数为: R=p1Q1+p2Q2 =(55-Q1-Q2)Q1+(70-Q1-2Q2)Q2 =55Q1+70Q2-2Q1Q2-Q21-2Q22 若仍然假设总成本函数为: C=Q21+Q1Q2+Q22 则利润函数将为: =R-C=55Q1+70Q2-2Q1Q2-2Q21Q22(4) 目标函数的一阶和二阶偏导数如下: 1=55-3Q2-4Q1 2=70-3Q1-6Q2 11=-4 12=21=-3 22=-6 由一阶必要条件得: 4Q1+3Q2=55 3Q1+6Q2=70 解得稳定点:Q*=Q*1Q*2= 87 又因为 H=11122121=-4 -3-3 -6 现在求取H的特征值检验二阶充分条件:解特征方程|H-I2|=0 |H-I2|=-4- -3-3 -6-=+4 33 +6=2+10+15=0 1,2=-50 由于H的两个特征值都小于零,故H处处负定,Q*确是的唯一最大值点。 将Q*分别代入价格函数和利润函数,可得: P*=3946 *=448 3.价格歧视问题 在单一产品厂商中,也会产生涉及两个或多个选择变量的最优化问题。譬如,可能会有这种情况:一个垄断厂商在两个或多个隔离的(如国内和国外)市场中销售单一产品,因此必须确定向每个市场分别供给的数量,以使利润最大化。一般而言,不同的市场会有不同的需求条件,如果在不同市场中需求弹性不同,利润最大化就会涉及价格歧视问题。 假设存在三个隔离的市场。首先使用一般函数,稍后再讨论数字的例子。假定厂商具有如下总收益函数和总成本函数: R=R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3) C=C(Q),其中Q=Q1+Q2+Q3 其中,Ri表示第i市场的收益函数。每个收益函数自然意味着特殊的需求结构,他与另外两个市场的需求结构一般有所不同。另外,在成本方面,设定仅有一个成本函数,是因为一个厂商为所有三个市场供应产品。 现在利润函数为: =R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)-C(Q) 其一阶偏导数i?鄣/?鄣Qi (i=1,2,3)如下: 1=R1(Q1)-C(Q) =R1(Q1)-C(Q) (注:=1,i=1,2,3)(5) 2=R2(Q2)-C(Q) 3=R3(Q3)-C(Q) 令上述方程等于零,同时得到: C(Q)=R1(Q1)=R2(Q2)=R3(Q3) 即MC=MR1=MR2=MR3 (注:MC为边际成本,MRi为i市场的边际收益)。 由于第i市场的收益为Ri=piQi,可以知道,边际收益必然为: MRi=pi+Qi =pi(1+)=pi(1+) 其中,di为第i市场的点弹性,通常为负。因此,MRi与pi之间的关系可由下面方程表示: MRi=pi(1-) (6) 因为|di|一般是pi的函数,因此当Q*i选定时,p*i便确定了,|di|也将取定为一具体的值,它或大于1,或等于1,或小于1。但当|di|1时,需求在该点缺乏弹性,其倒数大于1,公式(6)中括号内的式子为负值,因而MRi的值为负。同理,若|di|=1,需求在该点为单位弹性时,MRi=0。由于厂商的边际成本MC为正值,一阶条件MC=MRi要求厂商在MRi为正值的水平上经营,因此,厂商所选择的销售水平Qi必须使该市场中相对应的点弹性大于1。 根据(6),一阶条件MR1=MR2=MR3现在变换成如下形式: P1=(1-) =p2(1-) =p3(1-) 由此可以推断出:在某一特定市场中(在选定的产出水平下),|d|越小,在该市场中所要索取的价格必须越高,即实行价格歧视,才能使利润最大化。 为确保最大化,检验二阶充分条件,由公式(5)求得二阶偏导数如下: ii=Ri(Qi)C(Q) (i=1,2,3) ij=-C(Q) (i,j=1,2,3;ij) 在简化二阶导数符号后,海赛矩阵表示如下: H=R1-C -C -C-C R2-C C-C-C R3-C (7) 如果下列条件成立,H为负定矩阵,二阶充分条件便完全满足: 1)|H1|=R1-C0。 2)|H2|=(R1-C)(R1-C)-(C)20。 3)|H3|=R1R2R3-(R1R2+R1R3+R2R3)C0。 为得到更具体的印象,现给出一个数字形式的例子。假定垄断厂商具有如下具体的收益函数: p1=63-4Q1p2=105-5Q2 p3=75-6Q3 从而 R1=p1Q1=63Q1-4Q21 R2=p2Q2=105Q2-5Q22 R3=p3Q3=75Q3-6Q23 且总成本函数为:C=20+15Q 得到边际函数为: R1=63-8Q1 R2=105-10Q2 R3=75-12Q3 C=15 令C=R1=R2=R3,求得均衡数量: Q*1=6 Q*2=9 Q*3=5 Q*=Q*i=20 将上述结果代入收益和成本方程,得到*=679 。 因为这是一个具体模型,必须检验二阶条件。二阶偏导数为: R1=-8R2=-10R3-12C=0 所以如公式(7)的海赛矩阵如下: 简历大全 H=-800 0 -100 0 0 -12 因为这是一个三角对称矩阵,它的特征值就是主对角线上的元素,显然它们都是负数,所以H是负定矩阵且处处负定。于是,(Q*1,Q*2,Q*3)=(6,9,5)是唯一最大值点。进而可得到最佳定价点(p*1,p*2,p*3)=(39,60,45)。 注意到=- =- =- d1=-=- d2=-=- d3=-=-, 这也验证了前述弹性越小定价越高,即实施价格歧视的结论。 四、等式约束极值二阶充分条件在微观经济学中的运用 (一)等式约束最优化问题的理论成果回顾 1.等式约束下实对称矩阵有定性判别定理 考虑实二次型f(x1,x2,xn)=TA,其中=(x1,x2,xn)T,A=(aij)nn,AT=A,aijR。与一个由m个线性方程组成的系统B=,其中B是秩为m的mn矩阵(mN)。定义下面的加边矩阵: =OmmBBTA 考察它的m+r阶顺序主子式: r=OmmBmrBTmr Ar 其中,Ar是由A的前r行与前列构成的r阶方阵,Bmr是由B的所有行和前r列构成的mr矩阵,而BTmr则是Bmr的转置矩阵。那么,当满足约束B=时,判定A是正定或者负定的有如下结论: 定理(1) 二次型f(x1,x2,xn)=TA在约束B=下有: (1)A是正定的充要条件为:加边矩阵A的从n-m起的所有各阶顺序主子式的符号为(-1)m。即若m是偶数(奇数),则从m-n起的所有各阶顺序主子式是正数(负数)。亦即(-1)mr0,(m+1rn); (2)A是负定的充要条件为:加边矩阵的从n-m起的所有各阶顺序主子式的符号交替改变,且第一个的符号为(-1)m+1。即(-1)rr0,(m+1rn)。 2.经济分析中海赛加边矩阵的结构 假设存在n个选择变量的目标实函数f(x1,x2,xn)有连续二阶偏导数,且有形式为gj(x1,x2,xn)=cj的m个约束(mN),GJ也有连续的二阶偏导数(1JM)。那么拉格朗日函数为: Z=f(x1,x2,xn)+jcj-gj(x1,x2,xn) (1)择优的一阶必要条件。 要求得稳定点,必须保证dZ=dxi+di=0,对任意dxi与di成立。于是必须有: Z1=Z2=Zn=Z1=Z2=Zm= 0 () 其中Zi (i=1,2,n),Zi(j=1,2,m)。 这就是众所周知的一阶必要条件,稳定点可以通过求解方程组()而得到。 (2)择优的二阶充分条件。此时需要考虑如下的海赛加边矩阵: =OmmGmnBTmnZnn 其中,G=(gji)nn gji i=1,2,nj=1,2,m,GT是G的转置矩阵; Z=(zij)mnzij(i,j=1,2,n) 思想汇报 由gj=cj知道 dgj=dcj=0(1jm) 所以,若记(dx1,dx2,dxn)T 则 G=g11g11g1ng21g22g2ngm1gm2gmndx1dx2dxn= 约束矩阵满足定理(1)的约束条件。 因为gj有连续二阶偏导数,由杨定理可知Z也是对称矩阵,且TZ为二次型,满足定理(1)的二次型条件。其中,(dx1,dx2,dxn)T。 于是,在定义好海赛加边矩阵的顺序主子式 r=OmmGmrBTmrZrr (m+1rn)时,可以得到判别等式约束择优的二阶充分条件: 1)(-1)mr0,m+1rn?圳Z为正定矩阵?圯稳定点为极小值点; 2)(-1)rr0,m+1rn?圳Z为负定矩阵?圯稳定点为极大值点。 (二)海赛加边矩阵的运用 1.效用函数在预算约束下的最优化问题 考虑一个效用函数是U=x1x2的消费者,他面临的预算约束是B,给定商品的价格是p1和p2。则 选择问题是MaxU=x1x2s.tp1x1+p2x2 () 拉格朗日函数是 Z=x1x2+(B-p1x1-p2x2) 一阶必要条件是Z1=x2-p1=0Z2=x1-p2=0Z=B-p1x1-p2x2=0 用克拉默法则,解得x*1=,x*2=,*= 检验二阶充分条件,因 g1=p1,g2=p2,z11=0,z12=z21=1,z22=0 得海赛加边矩阵: =0p1p