连续信号与系统的频域分析34863ppt课件

1,第 3 章 连续信号与系统的频域分析,3.0 引 言 3.1 信号的正交分解 3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 3.5 傅里叶变换的性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 连续信号的抽样定理 3.8 连续系统的频域分析,2,3.0 引言,变换域分析就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号 ，或者说，信号 用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的完备正交集。 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。傅里叶变换主要从信号频率分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。,3,3.1 信号的正交分解,信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。,矢量的分量和矢量的分解,矢量 在矢量 上的分量示意图,图(a)中,4,从几何图上可得：, 标志着 和 相互近似程度。,矢量投影,矢量分量,5,正交,6,平面矢量分解图,和 是一组模为1的正 交矢量,平面矢量分解图,正交,7,空间中的矢量分解图,空间中的矢量分解图,8,则,N维空间中的矢量分解,9,函数的分量,设在区间 内，用函数 在另一 函数 中的分量 来近似的代表 原函数 。,取何值时，得到最佳近似？,信号的分量和信号的分解,10,代表二函数 和 间的相关联的程度。,信号的分量和信号的分解,11,地方,称 和 在区间 内为正交，构成 了一对正交函数。,称 与 正交，组成正交矢量。,信号的分量和信号的分解,地方,12,设n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足下列正交特性：,常数,正交信号空间,则称此函数集为(t1,t2)区间上的正交函数集，这n个 构成一个n维正交信号空间。 当K=1 时，则称该函数集为归一化正交函数集。,13,理论上讲,可求得,正交信号空间,则称此函数集为正交函数集，这n个 构成一个n维正交 信号空间。任意一个代表信号的函数f（t），在区间 内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似。,dddd,P141习题三3.1,14,15,如果用正交函数集 ， ， 在区间 近似表示函数 均方误差为 使均方误差 等于零的函数集称为完备正交函数集,定义1：,用完备正交函数集表示信号,16,定义2：,如果在正交函数集 之外， 不存在函数x（t）,用完备正交函数集表示信号,17,两点说明：,1，如果x（t）在区间内与 正交，则x（t）必属 于这个正交集。,2，若x（t）与 正交，但 中不包含x（t）， 则此集不完备。,用完备正交函数集表示信号,两个关于完备正交函数值的定理，见课本。,P141习题三3.3,18,19,三角函数集为完备正交函数集。,复指数函数集,是一个复变函数集，也是完备正交函数集。,和傅里叶变换有关的完备正交函数集,20,3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数,21,1822年法国数学家傅里叶（17681830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证 明了将周期函数展开为正弦级数的原理。,三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集,1、三角函数集：,3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数,22,三角函数集,23,地方,地方,信号的三角函数表示,24,复指数函数集,2、复指数函数集：,25,地方,地方,信号的复指数函数表示,26,由数学分析知，当周期信号f（t）满足狄氏条件时， 可展开为三角傅里叶级数或复指数傅里叶级数。,狄氏条件：,（1）在一周期内，间断点的数目有限；,（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；,（3）在一周期内，,电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f（t)满足 狄氏条件时， 才存在。,周期信号表示为傅里叶级数,27,1、周期信号f（t）展开为三角傅里叶级数,设f（t）是周期为T的函数,周期信号表示为三角傅里叶级数,28,周期信号表示为三角傅里叶级数,n次谐波分量,基波分量,29,其中，可取t1=0，t1=-T/2等等。显然，an为n 的偶函数，bn为n 的奇函数， 即：,周期信号表示为三角傅里叶级数,30,例 求图示信号的傅里叶级数展开式。,图示周期信号,周期信号表示为三角傅里叶级数,31,解：,这表明信号f(t)的直流分量为a0/2=E/2。,考虑到上式中=2/T，则an=0。,32,同样可得,33,据式 有,34,当f(t)为t的奇函数时，则有f(t)cosnt为t的奇函数， f(t)sinnt为t的偶函数，因而有：,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,35,f(t)为t的偶函数时，由于f(t)cosnt为t的偶函数， f(t) sinnt为t的奇函数。,即当f(t)为偶函数时，其傅里叶级数展开式中只可能有直流分量及cos nt分量， 而无sin nt分量。,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,36,2、周期信号f（t）展开为复指数傅里叶级数,周期信号表示为复指数傅里叶级数,P142习题三3.5（a）,37,38,周期信号的有限项逼近,原始信号,N=1,N=3,信号分解见课本P464 附录C,39,原始信号,N=10,N=30,周期信号的有限项逼近,40,吉布斯效应,吉布斯现象（又叫吉布斯效应）： 将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。这种现象称为吉布斯现象。,41,为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率 分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示 方法。,频谱图的概念,由上一节知周期信号f（t）可用傅立叶级数来表示。,或,3.3 周期信号的频谱,42,例：,试画出f(t)的振幅谱和相位谱。,解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据,可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分别为二、 三、六次谐波频率。且有,频谱图举例,43,例题中信号的单边频谱图：(a)振幅谱； (b)相位谱.,44,例题中信号的双边频谱图：(a)振幅谱； (b)相位谱.,45,矩形脉冲信号的频谱,周期矩形脉冲信号,F（t）,T,t,T：脉冲周期,：脉冲宽度,E：脉冲幅度,T,：三角函数公共周期,典型周期信号的频谱,矩形脉冲信号的频谱,46,为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。,矩形脉冲信号的频谱,47,取样函数定义为,这是一个偶函数， 且x0时，Sa(x)=1； 当x=k时，Sa(k)=0。,据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即,矩形脉冲信号的频谱,48,矩形脉冲信号的频谱,49,周期信号频谱普遍具有以下几个特点： 离散性 此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 谐波性 此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量。 收敛性 此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。 当n时，|Fn|0。,矩形脉冲信号的频谱,50,不同值时周期矩形信号的频谱 (a) =T/5; (b) =T/10,51,不同T值时周期矩形信号的频谱 (a) T=5; (b) T=10 ,52,周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将=0 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为,或,频带宽度,53,频谱密度函数 以周期矩形信号为例，当周期 （周期信号变为非周期信号）， （离散频谱变成连续频谱）， 即谱线长度趋于零（无穷小）。,以上 讨论了周期信号的傅里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散性、谐波性、收敛性三个特点，现在把上述傅里叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的傅里叶变换。,此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。,3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换,54,为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入 一个新的量称为“频谱密度函数”。,设周期信号,55,非周期信号的傅里叶变换,当,由周期信号,56,非周期信号的傅里叶变换,57,非周期信号的幅度频谱和相位频谱,频谱函数F(j)一般是复函数，可记为,幅度频谱： F()的关系曲线 相位频谱：()的关系曲线,它们都是的连续函数。,58,f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式导出:,式中：,频谱函数的实部和虚部,59,与周期信号的傅里叶级数相类似，F()、()与R()、 X()相互之间存在下列关系：,幅度、相位、实部和虚部关系,60,奇偶关系,在f(t)是实函数时： (1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(j)为的实函数， 且为的偶函数。 (2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(j)为的虚函数，且为的奇函数。,61,非周期信号的三角函数表示,与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即,62,从上面可以看出： 非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。 不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。 同时，三角函数振幅 ，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。 最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。,讨论：,结论,63,例1 图 (a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为， 高度为1，通常用符号g(t)来表示。试求其频谱函数。,解： 门函数g(t)可表示为,典型信号的傅里叶变换,64,图 门函数及其频谱 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱,65,例 2 求指数函数f(t)的频谱函数。,图 单边指数函数e-t及其频谱 (a) 单边指数函数e-t; (b) e-t的幅度谱,66,其振幅频谱及相位频谱分别为：,解：,指数函数f(t)的频谱函数,67,例 3 求图示双边指数函数的频谱函数。,图 双边指数函数及其频谱 (a) 双边指数函数； (b) 频谱,68,例 4 求图 示信号f(t)的频谱函数。,图 (a) 信号f(t); (b) 频谱 (虚部),69,(a0),解 图示信号f(t)可表示为,70,例 5 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。,考察例 4 所示信号f(t),71,当0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频谱函数F(j)当0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。 例 4 所示信号的频谱函数为 ，从而有,72,图 符号函数Sgn(t)及其频谱 (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱,73,例6 求单位冲激函数(t)的频谱函数。,图 信号(t)及其频谱 (a) 单位冲激信号(t); (b) (t)的频谱,解：,物理意义：在时域中变化 异常剧烈的冲激函数包含 幅度相等的所有频率分量。 因此，这种频谱常称为“均 匀谱“或”白色谱“。,74,例7 求直流信号1的频谱函数。,图 直流信号f(t)及其频谱 直流信号f(t); 频谱,解 直流信号1可表示为,75,例 8 求阶跃函数(t)的频谱函数。,由阶跃函数(t)的波形容易得到,解,从而就可更为方便地求出(t)的频谱函数， 即,76,图 阶跃函数及其频谱 (a) (t)的波形； (b) 频谱,77,表 常用傅里叶变换对,78,续表,79,根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分， 即,3.5傅里叶变换的性质,80,1. 线性,若,且设a1, a2为常数，则有,81,2. 时移性 若f(t) F(j)， 且t0为实常数(可正可负)，则有,此性质可证明如下。,82,例 3.5-1 求图 3.5-1(a)所示信号的频谱函数。,图 3.5-1 例 3.5-1 的图 (a) f(t)的波形； (b) 相位谱,83,解：,84,3. 频移性,85,频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cos0t或sin0t, 从而得到f(t) cos 0t或f(t) sin 0t 的信号。因为,调制定理,86,例 3.5-2 求高频脉冲信号f(t)(图 3.5-2(a)的频谱。,图 3.5-2 高频脉冲信号及其频谱 (a) f(t)的波形； (b) 频谱,87,解 图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数g(t)与cos 0t相乘，即,88,4. 尺度变换,图 3.5-3 信号的尺度变换,-0.1,0.1,89,图 3.5-3(a)所示的信号f1(t), 可写成宽度等于1的门函数，即,90,尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。 在尺度变换性质中， 当a=-1时，有,也称为时间倒置定理。,91,5. 对称性,例1：,例2：,92,取样函数 及其频谱,更一般地，有：,重要！,93,6. 时域卷积,在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t), 则有,在频域分析中，若知道F(j)=Ff(t)，H(j)=Fh(t)， 则据卷积性质可知,94,7. 频域卷积,f(t) cos 0t,例：,f(t) cos 0t,95,8. 时域微分,此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数， 对应于频域中用j乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换， 即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。 此性质还可推广到f(t)的n阶导数， 即,96,9. 时域积分,97,10. 帕塞瓦尔定理,设 , 则,98,表 傅里叶变换的性质,P144 习题3.17,99,P145 习题3-19,100,P145 习题3.20,101,102,3.6 周期信号的傅里叶变换,设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即,103,例 3.6-1 求图 3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(j)。,图 3.6-1 周期矩形脉冲信号及其频谱 (a) f(t)的波形； (b) 复振幅Fn; (c) 频谱函数F(j),104,解 周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为,105,例 3.6-2 图3.6-2(a)为周期冲激函数序列T(t)，其周期为T，T(t)可表示为,n为整数,图 3.6-2 周期冲激序列及其频谱,106,解 先求T(t)的复振幅Fn：,107,设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到,周期冲激函数序列T(t)频谱的应用,108,重新考虑例 3.6-1,周期冲激函数序列T(t)频谱的应用,109,3.7 连续信号的抽样定理,信号的时域抽样定理,图 3.7-1 信号的抽样,110,抽样周期,抽样频率,抽样角频率,研究两个问题：,111,图 3.7-1 所示的抽样原理从理论上分析可表述为f(t)与抽样脉冲序列PTs(t)的乘积，即,式中的抽样脉冲序列PTs如图 3.7-2 所示。它实际上就是例 3.6 - 1 所讨论过的周期矩形脉冲函数，可表示为,112,图 3.7-2 抽样脉冲序列PTs(t),113,图 3.7-3 理想抽样的过程及其有关波形,114,1. 抽样定理 连续时间信号f(t)的时域抽样定理可表述为：在频率fmHz以上没有频谱分量的带限信号，由它在均匀间隔上的抽样值惟一地决定， 只要其抽样间隔Ts小于或等于 。 由抽样定理可知，要求被抽样的信号f(t)为带限信号，即频带有限的信号。其最高频率为fm， 最高角频率m=2fm，即当|m时，F(j)=0。带限信号的概念示于图3.7-4。,115,图 3.7-4 带限信号及其频谱,116,设信号f(t)为带限信号，其最高频率分量为fm，最高角频率为m=2fm，即当|m时，F(j)=0。带限信号f(t)的波形及频谱示于图 3.7-5(a)中。,117,图 3.7-5 信号的抽样及其频谱,118,119,2. f(t)的恢复,由图 3.7-5(c)所示样值函数fs(t)及其频谱Fs(j)图形可知，样值函数fs(t)经过一个截止频率为m的理想低通滤波器，就可从Fs(j)中取出F(j)，从时域来说，这样就恢复了连续时间信号f(t)。 即,式中，H(j)为理想低通滤波器的频率特性。H(j)的特性为,(3.7-7),120,由式(3.7-7)可知:,据傅里叶变换的时域卷积性质， 得,式中，fs(t)为Fs(j)的傅里叶反变换。,121,图 3.7-6 f(t)的恢复原理,122,由式(3.7-8)所表示的理想低通滤波器的频率特性可表示为的门函数的形式，如式(3.7-10)所示：,应用傅里叶变换的对称性，得到,123,当抽样间隔 时，上式可写为,124,图 3.7-7 f(t)的恢复,3 收看动画演示,P145 习题3.26,125,126,3.8 连续系统的频域分析,127,1. 一般信号f(t)激励下的零状态响应,由此可得用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为：,系统函数的概念,128,例 3.8-1 已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)(t)，试求图 3.8-1 所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。,图 3.8-1 例 3.8-1 的图,129,130,注意到()的取样性质，并为了较方便地求得UCf(j)的逆变换，将UCf(j)按如下形式整理:,131,例 3.8-2 如图 3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入,s(t)的波形如图 3.8-2(b)所示，系统函数,132,图 3.8-2 例 3.8-2 图 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形,133,先求f(t)的傅里叶变换F(j)，由于,134,再求s(t)的傅里叶变换S(j)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有,135,图 3.8-3 y(t)的求解,136,P146 习题3.31,137,138,2. 无失真传输条件 从以上分析可知，在一般情况下，系统的响应与所加激励波形不相同。也就是说，信号在传输过程中产生了失真。 (1) 失真的概念 如果信号通过系统传输时，其输出波形发生畸变，失去了原信号波形的样子，就称失真。反之，若信号通过系统只引起时间延迟及幅度增减，而形状不变，则称不失真，如图3.85所示。,139,图 系统的无失真传输,140,通常把失真分为两大类：一类为线性失真，另一类为非线性失真。 信号通过线性系统所产生的失真称线性失真。其特点是在响应y(t)中不会产生新频率。也就是说，组成响应y(t)的各频率分量在激励信号f(t)中都含有，只不过各频率分量的幅度、相位不同而已。 反之， f(t)中的某些频率分量在y(t)中可能不再存在。 如图 3.8-6 所示的失真就是线性失真，对y(t)与f(t)求傅里叶变换可知， y(t)中决不会有f(t)中不含有的频率分量。,141,图 线性失真,142,信号通过非线性电路所产生的失真称非线性失真。其特点是在响应y(t)中产生了信号f(t)中所没有的新的频率成分。如图3.87所示，其输入信号f(t)为单一正弦波，f(t)中只含有f