江苏2018版高考数学复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教师用书文苏教版.docx

第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0).2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列.5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6.等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.【知识拓展】等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列.(2)满足或时，an是递减数列.(3)当时，an为常数列.(4)当q0时，an为摆动数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.()1.(教材改编)等比数列an中，a22，a5，则公比q_.答案解析a2a1q2，a5a1q4，q3，q.2.(教材改编)下列关于“等比中项”的说法中，正确的是_(填序号).任何两个实数都有等比中项；两个正数的等比中项必是正数；两个负数的等比中项不存在；同号两数必存在互为相反数的两个等比中项.答案解析一正数、一负数没有等比中项；两个正数的等比中项有两个，它们一正、一负；两个负数a，b的等比中项为；所以、错误，易知正确.3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6_.答案63解析根据题意知，等比数列an的公比不是1.由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.4.(教材改编)设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_.答案3解析由S64S3，所以4，所以q33(q31不合题意，舍去)，所以a4a1q3133.5.设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2015课标全国)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2_.(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则_.答案(1)(2)2n1解析(1)由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.(2)由除以可得2，解得q，代入得a12，an2()n1，Sn4(1)，2n1.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5_.(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.答案(1)(2)3n1解析(1)显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，S5.(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列.(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.综上，a24，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1).，得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12).S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.证明(1)由an13an1，得an13(an).又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列.所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1(1)，所以.题型三等比数列性质的应用例3(1)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.答案(1)50(2)解析(1)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)方法一S6S312，an的公比q1.由，得q3，.方法二an是等比数列，且，公比q1，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(1)已知在等比数列an中，a1a410，则数列lg an的前4项和等于_.(2)(2016南通一调) 设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6的值为_.答案(1)2(2)63解析(1)前4项和S4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)，又等比数列an中，a2a3a1a410，S4lg 1002.(2)方法一由等比数列的性质得，q24，所以q2.由S23，解得或所以S663或S663.方法二由S2，S4S2，S6S4成等比数列可得(S4S2)2S2(S6S4)，所以S663.13.分类讨论思想在等比数列中的应用典例(14分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*).思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式.(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.4分(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n8分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.10分当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.12分故对于nN*，有Sn.14分1.(教材改编)an，bn都是等比数列，那么下列正确的序号是_.anbn，anbn都一定是等比数列；anbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列；anbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列；anbn，anbn都不一定是等比数列.答案解析anbn不一定是等比数列，如an1，bn1，因为anbn0，所以anbn不是等比数列.设an，bn的公比分别为p，q，因为pq0，所以anbn一定是等比数列.2.(2016江苏东海中学月考)在由正数组成的等比数列an中，若a4a5a63，log3a1log3a2log3a8log3a9的值为_.答案解析a4a6a，a4a5a6a3，解得a1a9a2a8a，log3a1log3a2log3a8log3a9log3a1a2a8a93.在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.答案14解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14.4.(2016扬州模拟)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是_.答案解析根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a50)，由正项等比数列an满足a2 0152a2 013a2 014，可得a2 013q22a2 013a2 013q，q2q20，q0，q2.4a1，qmn216，mn6.(mn)，当且仅当，即m2，n4时取等号.故的最小值为.10.(2016苏锡常镇一调)设数列an是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则数列an的公差为_.答案2解析设公差为d，其中d0，则S1，S2，S4分别为1,2d,46d.由S1，S2，S4成等比数列，得(2d)246d，即d22d.因为d0，所以d2.11.(2016苏北四市期末)已知各项均为正数的数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项和，且满足anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*).(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值；(2)若，求Sn.解(1) 令n1，得a2.令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，所以a3.由aa1a3，得()2，因为0，所以1. (2)当时，anSn1an1Snanan1anan1，所以，即，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以2(n1)，即Sn1()an，当n2时，Sn11(1)an1，得，ananan1，即(n1)an(n2)an1，所以(n2)，所以是常数列，且为，所以an(n2).代入得Sn()an1.12.已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.解(1)设等差数列的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(nN*).设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(nN*).(2)由(1)知bn3n2n1(nN*)，数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为12n1.所以数列bn的前n项和为n(n1)2n1.13.(2016全国丙卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式.解(1)由题意，得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1).因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.14.(2016淮安模拟)已知等比数列an的前n项和是Sn，S18S978.(1)求证：S3