2016_2017学年高中数学3.2.1复数的加法和减法学案新人教B版选修1.docx

3.2.1复数的加法和减法1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.(重点)2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.(难点、易混点)基础初探教材整理1复数代数形式的加减运算阅读教材P57例1以上内容，完成下列问题.1.运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)z1z2(ac)(bd)i；(2)z1z2(ac)(bd)i.2.加法运算律交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)1.已知复数z134i，z234i，则z1z2()A.8iB.6C.68iD.68i【解析】z1z2(34i)(34i)(33)(44)i6.【答案】B2.已知z12i，z212i，则复数zz1z2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】zz1z2(2i)(12i)(21)(12)i1i，对应的点为(1，1)位于第四象限.【答案】D教材整理2复数加减法的几何意义阅读教材P58练习A以上内容，完成下列问题.1.复数加法的几何意义如图321，设复数z1，z2对应向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是.图3212.复数减法的几何意义如图322所示，设，分别与复数z1abi，z2cdi对应，且，不共线，则这两个复数的差z1z2与向量(即)对应，这就是复数减法的几何意义.图322这表明两个复数的差z1z2(即)与连接两个终点Z1，Z2，且指向被减数的向量对应.在复平面内，向量对应的复数为1i，向量对应的复数为1i，则对应的复数为_.【解析】由复数加法运算的几何意义知，对应的复数即为(1i)(1i)2i.【答案】2i质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型复数的加减运算计算：(1)(13i)(2i)(23i)；(2)(2i)(15i)(34i)；(3)5i(34i)(13i)；(4)(abi)(3a4bi)5i(a，bR).【精彩点拨】复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行.【自主解答】(1)原式(14i)(23i)1i.(2)原式(36i)(34i)62i.(3)原式5i(4i)44i.(4)原式(2a5bi)5i2a(5b5)i.1.复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行.2.算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加.3.准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.再练一题1.计算：(1)(23i)(5i)；(2)(1i)(1i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR).【解】(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i.(2)(1i)(1i)(11)()i2i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.复数加减运算的几何意义设及分别与复数z153i及复数z24i对应，试计算z1z2，并在复平面内作出. 【导学号：37820041】【精彩点拨】利用加法法则求z1z2，利用复数的几何意义作出.【自主解答】z153i，z24i，z1z2(53i)(4i)94i.(5，3)，(4，1)，由复数的几何意义可知，与复数z1z2对应，(5，3)(4，1)(9，4)，作出向量，如图所示. 1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.再练一题2.复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求点C对应的复数.【解】对应的复数为12i，对应的复数为3i，对应的复数为(3i)(12i)23i.又，C点对应的复数为(2i)(23i)42i.探究共研型复数加减法几何意义的综合应用探究1|z1z2|的几何意义是什么？【提示】|z1z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离.探究2满足条件|zi|34i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么曲线？【提示】|zi|34i|5，复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，5为半径的圆.已知|z1i|1，求|z34i|的最大值和最小值.【精彩点拨】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.【自主解答】法一：设wz34i，zw34i，z1iw45i.又|z1i|1，|w45i|1.可知w对应的点的轨迹是以(4，5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，|w|max1，|w|min1.(1)(2)法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(1，1)为圆心，1为半径的圆，而|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点到点(3，4)的距离，在圆上与(3，4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z34i|max1，|z34i|min1.|z1z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.再练一题3.已知|z|2，则|z34i|的最大值是_.【解析】由|z|2知复数z对应的点在圆x2y24上，圆心为O(0，0)，半径r2.而|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点与M(3，4)之间的距离，由于|OM|5，所以|z34i|的最大值为|OM|r527.【答案】7构建体系1.复数(1i)(2i)3i等于()A.1iB.1iC.iD.i【解析】(1i)(2i)3i(12)(113)i1i.【答案】A2.已知z13i，z215i，则复数zz2z1对应的点位于() 【导学号：37820042】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】zz2z1(15i)(3i)(13)(51)i24i.【答案】B3.若|z1|z1|，则复数z对应的点Z()A.在实轴上B.在虚轴上C.在第一象限D.在第二象限【解析】设zxyi(x，yR)，由|z1|z1|，得(x1)2y2(x1)2y2，化简得x0.【答案】B4.在复平面内，O是原点，对应的复数分别为2i，32i，15i，那么对应的复数为_.【解析】()，对应的复数为(2i)(32i)(15i)(231)(125)i(44i)44i.【答案】44i5.计算：(1)(109i)(87i)(33i)；(2)(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0152 016i)(2 0162 017i).【解】(1)(109i)(87i)(33i)(1083)(973)i15i.(2)原式(12342 0152 016)(23452 0162 017)i1 0081 008i.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(63i)(3i1)(22i)的结果为()A.53iB.35iC.78iD.72i【解析】(63i)(3i1)(22i)(612)(332)i78i.【答案】C2.在复平面内，复数1i和13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|()A.B.2C.D.4【解析】由复数减法运算的几何意义知，对应的复数为(13i)(1i)2i，|2.【答案】B3.复数z1a4i，z23bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()A.a3，b4B.a3，b4C.a3，b4D.a3，b4【解析】由题意可知z1z2(a3)(b4)i是实数，z1z2(a3)(4b)i是纯虚数，故解得a3，b4.【答案】A4.(2016石家庄高二检测)A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1z2|z1z2|，则AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故AOB为直角三角形.【答案】B5.设z34i，则复数z|z|(1i)在复平面内的对应点在() 【导学号：37820043】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z34i，z|z|(1i)34i1i(351)(41)i15i.【答案】C二、填空题6.计算：(27i)|34i|512i|i34i_.【解析】原式27i513i34i(253)(7134)i16i.【答案】16i7.z为纯虚数且|z1i|1，则z_.【解析】设zbi(bR且b0)，|z1i|1(b1)i|1，解得b1，zi.【答案】i8.已知z12(1i)，且|z|1，则|zz1|的最大值为_.【解析】|z|1，即|OZ|1，满足|z|1的点Z的集合是以(0，0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z12(1i)在坐标系内对应的点为(2，2).故|zz1|的最大值为点Z1(2，2)到圆上的点的最大距离，即|zz1|的最大值为21.【答案】21三、解答题9.已知z1a(a1)i，z23b(b2)i，(a，bR)，且z1z24，求复数zabi.【解】z1z23b(b2)i(ab1)i，解得z2i.10.如图323，已知复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.图323【解】法一：设正方形的第四个点D对应的复数为 xyi(x，yR)，对应的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，对应的复数为(12i)(2i)13i.，(x1)(y2)i13i，即解得故点D对应的复数为2i.法二：点A与点C关于原点对称，原点O为正方形的中心，于是(2i)(xyi)0，x2，y1，故点D对应的复数为2i.能力提升1.(2016昆明高二检测)实数x，y满足z1yxi，z2yix，且z1z22，则xy的值是()A.1B.2C.2D.1【解析】z1z2(yxi)(xyi)(yx)(xy)i2，xy1，xy1.【答案】A2.ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的() 【导学号：37820044】A.内心B.垂心C.重心D.外心【解析】由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等.所以z对应的点为ABC的外心.【答案】D3.若复数z满足z1cos isin ，则|z|的最大值为_.【解析】z1cos isin ，z1