[工学]弹性力学讲义部分.doc

目 录第一章 弹性体的内力分析31.1弹性体的受力分析31.2弹性体内力的表征应力61.3不同坐标系中应力分量的变换61.4柱坐标系和球坐标系中的应力71.5一些特殊方向上的应力分量91.5.1 剪应力为零的情况主应力问题91.5.2主坐标系中等倾面上应力分量101.5.3最大正应力及其方向的确定101.5.4最大剪应力及其方向的确定111.6几种特殊的应力状态111.6.1简单应力状态单向拉/压111.6.2特殊的平面应力状态纯剪切121.6.3特殊的三维应力状态三向等拉/压121.7应力张量的球形分解131.8应力对位置的变化规律平衡方程131.8.1直角坐标系下的平衡方程131.8.2柱坐标系下的平衡方程141.8.3球坐标系下的平衡方程16第二章 弹性体的变形分析182.1 弹性体变形程度的表征应变182.2 直角坐标系中位移与应变的关系几何方程222.3不同坐标系中的应变分量的转换232.4 柱角坐标系和球坐标系下的应变252.5 应变分量定义的统一形式262.6 特殊方向上的应变分量272.6 由柯西应变求位移292.6.1线积分法292.6.2位移单值可积的条件应变协调方程332.6.3位移解中积分常数的讨论37第三章 弹性体的变形与受力的关系433.1弹性体应力-应变关系一般理论433.2弹性体应力-应变关系的方向性453.3弹性体应力-应变关系的均匀性54第四章 弹性力学一般方程及其退化574.1 三维线弹性力学定解问题574.2 三维线弹性力学定解问题基本解法624.2.1 位移法624.2.2 应力法634.3线弹性力学定解问题的退化664.3.1 二维线弹性力学定解问题664.3.2 一维线弹性力学定解问题69第五章 弹性力学的一般原理835.4 最小势能原理835.4.1最小势能原理的分量展开推导835.4.2最小势能原理的指标记法推导855.5 虚功原理875.6 最小余能原理885.6.1最小余能原理的分量展开推导88附录 张量分析概要92矢量和张量的记法92张量代数96直角坐标变换的指标记法96张量判别准则97第一章 弹性体的内力分析1.1弹性体的受力分析弹性体是一种特殊的变形体，当卸去所受载荷后，弹性体将完全恢复成原来的形状。弹性力学是研究弹性体在力系作用下如何变形以及如何传递所受力系的科学。所谓力系是指作用于同一物体或物体系统上的一群力1。实践表明，力对物体的作用效应取决于力的大小、方向和作用点1。对于质点（系）或刚体，我们关心的是力的运动效应或外效应，而对于弹性体等变形体，我们除了关心力的运动效应之外，更重要的是，我们要关心力的变形效应或内效应。正是由于这种不同，弹性体的受力分析与刚体有所不同。在刚体力学中，为了便于了解力系的总效应，常常采用一个简单的与之等效的力系进行替换。对于复杂的一般力系，我们可以将其向任意一点O简化，得到一个力FR（称为主矢）和一个力偶MO（称为主矩）。由于刚体的特殊性，这种等效是可以实现的。为此，力系的简化也成了刚体力学中的一项重要内容。根据主矢FR和主矩MO的结果，我们可以判断给定力系的最简单形式，如下表1.1所示。表1.1 一般力系的简化的最简单形式1FR（主矢）MO（主矩）FR MO力系最简单形式=0=0=0平衡=00=0合力偶0=0=0合力00=0合力000力螺旋对于变形体，由于我们主要关心的是力的变形效应，而力的变形效应与力的三要素（即大小、方向与作用点）均密切相关，因此在变形体力学中，除了一些近似计算的情况，我们通常不能对给定的力系进行简化。但是，为了便于建立合适的数学模型，我们需要将微观上并不连续的变形体假设为连续体，从而我们可以将变形体描述为表面封闭的几何区域。这一假设对变形体力学来说是根本性的，解除连续性假设，将会引起整个思维体系和数学手段的根本改变2。另外，连续性假设也对变形体的受力分析产生重大影响。基于连续性假设，我们为此可以将作用在物体上的力处理成两种不同形式的分布力，分别为体力和面力。所谓体力是指分布在物体体积内的力，常见的可以处理成体力的作用力有万有引力、惯性力和磁力等。体力可以用一个分布在体积上的定位矢量函数表示。对任意点，可以取包含该点的体积，假设作用在该体积上的合力为，则点P上的体力矢量为反之，如果已知体积V上的体力分布为，在该体积上所受体力的合力为相应地，所谓面力是指分布在物体表面上的力，常见的可以处理成面力的作用力有接触力、流体对容器的压力等。面力可以用一个分布在面积上的定位矢量函数表示。对任意点，可以取包含该点的面积，假设作用在该面积上的合力为，则点P上的面力矢量为反之，如果已知面积S上的面力分布为，在该面积上所受面力的合力为例1：试给出图1所示重力作用下简支梁的体力分布函数。yzxo图1 重力作用下的简支梁建立如图1所示的坐标系，假设梁上任意点处的密度为，重力加速度大小为，方向为-y方向，任意选取包含该点的体积，则作用在该体积上的重力为则点P上的体力矢量为假设和均为连续函数，则由积分中值定理可以得到，特别地，如果该梁的密度是均匀的，同时忽略梁上不同点处重力加速度的差异，则梁上各点的体力也是相同的。例2：试给出图2所示坝体所受水压作用的合力，假设水的密度为及重力加速度g均为常数。oxyBAh1h2图2 水压作用下的坝体建立如图2所示的坐标系，依据流体静力学理论可以知道，坝体OA边上的任意点处的所受水压假设坝体厚度（即z方向上的尺寸）为L，则所受水压的合力为 即所受水压的合力大小为，方向为负x轴方向。值得指出的是，由于外力的变形效应，变形体上的外力若随时间变化，则其作用点的位移也会随时间变化，此时，即便物体上所受外力的合力、合力矩均为零，物体也不能处于平衡状态。1 梅凤翔 主编. 工程力学（上册）P155. 北京：高等教育出版社，20032 黄怡筠，程兆雄. 弹性理论基础P5. 北京：北京理工大学出版社，19881.2弹性体内力的表征应力弹性体的内力，是指在外力作用下弹性体内部质点与质点之间产生的相互作用。为了分析弹性体内任意一点承受的周围介质的作用，可以假想地采用通过该点的平面将弹性体截开成部分I和部分II。两部分之间的相互作用可以采用截面上的面力xOyzIIIP(x,y,z)要描述任意点的受力状态假设1.3不同坐标系中应力分量的变换根据应力的定义可以知道，当我们采用由原坐标系通过平移变换生成的新坐标系（即不同于o，但坐标轴，分别与坐标轴x，y，z平行）时，变形体上任意点上的应力分量与原坐标系中的应力分量将完全相同。但是，当我们采用的新坐标系与原坐标系存在一定夹角时，应力分量将会发生相应的变化。下面，我们来推导新坐标系中的应力分量与原坐标系中的应力分量的关系。根据应力分量的定义，新坐标系中的应力分量实际为原坐标系中的应力分量为=xxxyxzyxyyyzzxzyzz新坐标系中的应力分量为1.4柱坐标系和球坐标系中的应力柱坐标系中的应力分量的定义=rrrrzrzzrzzz球坐标系中的应力分量的定义=rrrrrr注意到点P(x,y,z)在柱坐标系中坐标为(r,z)，点P处的柱坐标与直角坐标的方向余弦矩阵为x=rcosy=rsinz=zL=cossin0-sincos0001所以点P处柱坐标系中应力分量与直角坐标系中应力分量的关系为=rrrrzrzzrzzz=cossin0-sincos0001xxxyxzyxyyyzzxzyzzcossin0-sincos0001T展开可得到：rr=zz=r=r=z=z=zr=rz=同样地，注意到点P(x,y,z)在球坐标系中坐标为(r,)，点P处的柱坐标与直角坐标的方向余弦矩阵为x=rsincosy=rsinsinz=rcosL=sincossinsincoscoscoscossin-sin-sincos0所以点P处球坐标系中应力分量与直角坐标系中应力分量的关系为=rrrrrr=sincossinsincoscoscoscossin-sin-sincos0xxxyxzyxyyyzzxzyzzsincossinsincoscoscoscossin-sin-sincos0T展开可得到：rr=r=r=r=r=1.5一些特殊方向上的应力分量1.5.1 剪应力为零的情况主应力问题通过前面的分析我们已经知道，变形体任意点处在不同方向上的内力一般是不同的。在给定坐标系的情况下，柯西公式给出了任意方向上的内力与应力分量之间的关系。自然地，我们会问，是否存在方向n，在该方向上的内力方向与n相同？也就是说在该方向上的剪应力分量为零。假设存在方向n，该方向上的内力Tn方向与n是相同的，其大小为n。则Tn在三个坐标方向的分量分别为n与n的三个方向余弦的乘积，同时根据柯西公式，我们有TnxTnyTnz=nlnxlnylnz=xxxyxzyxyyyzzxzyzzlnxlnylnz （）由于lnx，lny，lnz为n的三个方向余弦，因此lnx2+lny2+lnz2=1 （）虽然联立方程组（）和（），我们可以求出lnx，lny，lnz和n，但要直接求解上述方程组却并非易事。注意到方程组（）可以写为，xx-nxyxzyxyy-nyzzxzyzz-nlnxlnylnz=0 （）因此若要存在非零的lnx，lny和lnz，则方程组（）的系数矩阵的行列式必须为零，即xx-nxyxzyxyy-nyzzxzyzz-n=0 （）展开行列式，得到关于n的三次代数方程，n3-I1n2+I2n-I3=0 （）其中I1=xx+yy+zz （）I2=xxxyyxyy+yyyzzyzz+xxxzzxzz （）I3=xxxyxzyxyyyzzxzyzz （）可以证明（作为习题，请读者自行证明），I1，I2和I3不会随着坐标轴的旋转而变化，我们称其为应力不变量，习惯上我们分别称I1，I2和I3为应力第一、第二、第三不变量。应力不变量很多。例如，由于I1，I2和I3为不变量，因此方程（）的根也为不变量。显然，上述问题即是线性代数中讨论过的矩阵特征值问题。采用线性代数的概念，n即为应力矩阵的特征值，n为特征向量。由于应力矩阵为对称矩阵，因此可以证明 （1）n的解均为实数；（2）n的不同的解对应的方向互相正交。当特征方程无重根时，三个主应力方向必两两正交。当特征方程有一对重根时，可在两个相同主应力作用面内任选两个正交的方向作为主方向。当特征方程出现三重根时，空间中的任意三个相互正交的方向都可以作为主方向。总之，对于任何应力状态，至少能找到一组三个相互正交的主方向。结合代数方程理论，方程（）有三个实根（可能有重根），假设为1，2和3，且123，我们分别称其为第一、第二、第三主应力。同时，我们分别称1，2和3对应的方向为第一、第二、第三主方向。至此，我们实际上回答了本节开头提出的问题。对于受力变形体上一点，当其应力分量确定时，至少可以找到三个方向，在这些方向上的剪应力分量为零。另一个相关的问题是，是否存在方向n，在该方向上的内力方向与n垂直？也就是说在该方向上的正应力分量为零。这一问题我们将在1.6节中讨论。1.5.2主坐标系中等倾面上应力分量主坐标系中的应力分量1.5.3最大正应力及其方向的确定在主坐标系中讨论此问题。Tn1Tn2Tn3=100020003ln1ln2ln3=1ln12ln23ln3 （）n=1ln12+2ln22+3ln32 （）ln12+ln22+ln32=1 （）n=1-1-2ln22-1-3ln32n=3+1-3ln22+2-3ln321n31.5.4最大剪应力及其方向的确定在主坐标系中讨论此问题。Tn1Tn2Tn3=100020003ln1ln2ln3=1ln12ln23ln3 （）Tn2=n2+n2=12ln12+22ln22+32ln32 （）n=1ln12+2ln22+3ln32 （）ln12+ln22+ln32=1 （）122232123111ln12ln22ln32=n2+n2n1 （）注意到系数矩阵122232123111的行列式为范德蒙行列式，其值为1-22-31-3由此可以解出ln12=ln22=ln32=1.6几种特殊的应力状态1.6.1简单应力状态单向拉/压=xxxyxzyxyyyzzxzyzz=000000001=，2=3=0当0称为单向拉伸状态；当0称为双向拉伸状态；当0称为双向拉伸状态；当0称为双向压缩状态；莫尔圆退化为一个点。nn0123nn0123图 三向等拉/压应力状态的莫尔圆（左：三向拉应力状态 右：三向压应力状态）1.7应力张量的球形分解令0=13xx+yy+zz=xxxyxzyxyyyzzxzyzz=xx-0xyxzyxyy-0yzzxzyzz-0+000000000=xx-0xyxzyxyy-0yzzxzyzz-00I=000000000称为应力偏量，0I为应力球量。1.8应力对位置的变化规律平衡方程1.8.1直角坐标系下的平衡方程直六面体的平衡xxx+yxy+zxx+fx=0xyx+yyy+zyx+fy=0xzx+yzy+zzx+fz=0任意体积的平衡平衡方程的指标记法ij,i+fj=0平衡方程的整体记法+f=01.8.2柱坐标系下的平衡方程正交六面体的平衡变换法根据柱坐标与直角坐标的关系，x=rcosy=rsinz=zr=x2+y2=tan-1yxz=zx=rrx+x=y=rry+yz=zrrrr+r+rzrz+rr-+rfr=0rrr+rzz+2r+rf=0rrzr+z+rzzz+rz+rfz=0当r=0时r+rr-=0+2r=0z+rz=01.8.3球坐标系下的平衡方程正交六面体的平衡变换法根据柱坐标与直角坐标的关系，x=rsincosy=rsinsinz=rcosr=x2+y2+z2=cos-1zx2+y2+z2=tan-1yxx=rrx+x=y=rry+yz=zrrrr+r+2rr-+rfrsin+rcos+r=0rrr+3r+rfsin+-cos+=0rrr+3r+rfsin+2cos+=0当时，将上述式（5.10）（5.12）两边除以可以得到 （5.13） （5.14） （5.15）当时 （5.10） （5.11） （5.12）当时 （5.10） （5.11） （5.12）第二章 弹性体的变形分析2.1 弹性体变形程度的表征应变 弹性体是一类特殊的变形体，特殊在卸载后其变形将完全恢复。要研究弹性力学，一个重要的前提就是要采用合适的方式来表征弹性体的变形。 在数学上，一个物体的形状通常采用长度和角度两个量来描述。因此，我们容易想到是，物体的变形也应该采用长度的变化和角度的变化来描述。例如，对于一个圆截面的柱件（如图1.1.1(a)所示），如果在柱的两端作用一对大小相同的拉力F，则该柱的长度将会由原来的l伸长为l（如图1.1.1(b)所示），由此我们说该柱体发生了变形；而如果在柱的两端作用一对大小相同的扭矩M，则该柱体的柱面将发生扭转（如图1.1.1(c)所示），扭转的程度可以采用柱体上下端面相对转动的角度来表示，llFFA AlMM(a)(b)(c)图1.1.1 圆截面柱体及其典型的变形形式要完整地描述物体变形的程度，实际上就是需要知道物体上每一点与任意其它点连线的长度变化率和这些连线间夹角的变化。NMPMNPmnN N1M1P1MNPnmM1N1图1.1.2 变形前后的点和线段 图1.1.3 两条相互垂直的线段变形后在原所在平面上的投影 如图1.1.2所示，设P点为变形前物体上的任意一点，要完整地描述物体变形的程度，就是需要描述清楚P点处任意方向n上线段PN的长度的变化率，以及线段PN与任意方向为m上的线段PM之间夹角的变化。为了计算方便，通常取PMPN，即MPN=2。显然，可以采用很多种方式描述PN的长度变化率，如，同样地，描述PN与PM之间夹角的变化方式也有很多种，如，究竟采用何种形式，则要取决于后续计算的方便性、结果的简洁性等多方面的因素。另外，为了使采用的描述方式不受线段PN 和PM的长度任意性的影响，我们需要采用极限的形式，令，从而得到反映P点处变形程度的表示。但是，由于过P点处可以作无数条线段PN 和PM，因此P点处变形程度这一量可能需要无穷多个分量才能表示，除非这无穷多个分量具有一定的内在规律，或者只需要采用有限个分量表示，而其余任意分量均可以通过这有限个分量即可完全表达。非常幸运和有趣的是，运用变形的连续性假设，我们的确可以证明，在一般的三维情况下，P点处变形程度这一量只需要采用三个互不平行方向上线段的长度变化率以及它们两两间角度的变化共九（六）个量即可完全表达。如前所述，为了计算方便，这里的三个互不平行方向上线段通常取成是三个互相垂直方向上的线段。在一般有限变形的情况下，P点处任意方向n上线段PN的长度变化率可以采用如下形式进行定义， （1.1.1）而P点处任意方向n上线段PN和任意方向m上线段PM之间夹角度的变化表示为 （1.1.2） 利用（1.1.1）式，可以得到 （1.1.2）当变形很小时， （1.1.3） （1.1.4）在给定的坐标系的三维情况下，只要令上述式中n和m方向分别为某坐标轴的方向，即可得到用于描述P点处变形程度的六个分量表达式。例如，对于一般的有限变形情形，在三维直角坐标系Oxyz下，令上述式中n和m方向分别为x，y，z坐标轴的方向，则得到基于(1.1.1)式和(1.1.2)式定义的三个用于x，y，z方向长度变化率的，和六个表示x，y，z坐标轴方向两两间角度变化的，；类似地，在三维柱坐标系下，这九个分量分别为 ，和，；而三维球坐标系下，这九个分量分别为，和，。如果变形为小变形时，在三维直角坐标系Oxyz下，则得到基于(1.1.3)式和(1.1.4)式定义的三个用于x，y，z方向长度变化率的，和六个表示x，y，z坐标轴方向两两间角度变化的，；类似地，在三维柱坐标系下，这九个分量分别为 ，和，；而三维球坐标系下，这九个分量分别为，和，。通常，我们称上述表示长度变化率的量（）为P点处的n方向的正应变，称表示角度变化率的量（）为n和m方向上剪应变。下面，我们首先就采用直角坐标系的情形，根据物体上各点的位移，详细推导P点处各正应变分量，和剪应变分量，的表达式，并证明对于P点处任意方向n以及任意与之垂直方向m，正应变（）以及剪应变（）均可以采用上述分量表达，从而证明，在直角坐标系中，P点处变形程度可以采用三个正应变分量，和六个剪应变分量，进行表达。之后 ，我们再进一步应变具有的性质，并针对采用柱坐标系和球坐标系的情形，详细推导各正应变分量和剪应变分量的表达式。2.2 直角坐标系中位移与应变的关系几何方程xyzoP(x+u,y+v,z+w)P(x,y,z)将物体绕z轴逆时针转0角，计算物体上任意点P(x,y,z)处的应变点P的位移为u=x2+y2costan-1yx+-xv=x2+y2sintan-1yx+-yw=0ux=cos-1 uy =-sin uz =0vx=sin vy =cos-1 vz =0wx=0 wy =0 wz =0柯西应变exx=ux=cos-10eyy= vy =cos-10ezz= wz =0exy=eyx=12uy+vx=0eyz=ezy=12vz+wy=0ezx=exz=12wx+uz=0格林应变Exx=ux+12ux2+vx2+wx2=0Eyy=vy+12uy2+vy2+wy2=0Ezz=wz+12uz2+vz2+wz2=0Exy=Eyx=12uy+vx+uxuy+vxvy+wxwy=0Eyz=Ezy=12vz+wy+uyuz+vyvz+wywz=0Ezx=Exz=12wx+uz+uzux+vzvx+wzwx=0 显然，物体做刚性转动时是没有变形的，也就是说其应变值应该为零。柯西应变之所以不为零，是因为它实质上是变形程度的一种近似表示。2.3不同坐标系中的应变分量的转换xOyzP(x,y,z)yzxABCDEF （3.52）若将x,y,z3根坐标轴分别用1,2,3表示，则式3.52可用指标记法记为： （i,j=1,2,3） （3.53）那么我们可以定义一个量 （i,j=1,2,3） （3.54）式3.54也可以用矩阵记法记为： （3.55）Exx=lxxlyxlzxExxExyExzEyxEyyEyzEzxEzyEzzlxxlyxlzxEyy=lxylyylzyExxExyExzEyxEyyEyzEzxEzyEzzlxylyylzyEyy=lxzlyzlzzExxExyExzEyxEyyEyzEzxEzyEzzlxzlyzlzzExy=lxxlyxlzxExxExyExzEyxEyyEyzEzxEzyEzzlxylyylzyExxExyExzEyxEyyEyzEzxEzyEzz=lxxlyxlzxlxylyylzylxzlyzlzzExxExyExzEyxEyyEyzEzxEzyEzzlxxlxylxzlyxlyylyzlzxlzylzz（i,j=1,2,3）和（i,j=1,2,3）是否是一个张量呢？可以证明其满足转轴公式。以（i,j=1,2,3）为例进行说明。设原坐标系的坐标轴为1、2、3，旋转后的坐标轴为、。PD是任意线段，其长度变化量在不同的坐标系下是相同的。在原坐标系中，有： （3.64）在新坐标系中有： （3.65）由式3.64和式3.65可得： （3.66）即（i,j=1,2,3）满足转轴公式，称其为格林应变张量。同理可得（i,j=1,2,3）满足转轴公式，称其为柯西应变张量。可见应变是张量。2.4 柱角坐标系和球坐标系下的应变将物体绕z轴逆时针转0角，计算物体上任意点P(x,y,z)处的应变点P的位移为ur=0u=uz=0err=urr=0e=1r u +ur =0ezz= uzz =0er=er=121r ur +ur-ur =-2r 0ez=ez=12uz+1r uz=0ezr=erz=12uzr+urz=02.5 应变分量定义的统一形式NMPMNPmnNnNmbcaacb定义1：P点处沿方向n的伸长比n为该方向上线段PN变形前后线段长度的比值。n=limPN0PNPN定义2：P点处沿方向n和方向m的形变为Enm=Emn=limPN0PM012b2+c2-a2-b2+c2-a22bc=limPN0PM012PNPMcosn,m-PNPMcosn,mPNPM=limPN0PM012PNPM-PNPMPNPM=limPN0PM012nmPNPMcosn,m-PNPMcosn,mPNPMlim=PN0PM012nmcosn,m-cosn,m当变形很小时Enmnm=limPN0PM012b2+c2-a2-b2+c2-a22bc显然，当方向n和方向m相同时Enm=Enn=12n2-1=limPN0PN2-PN22PN2此即为P点处沿方向n 的Green正应变分量。当方向n和方向m垂直时Enm=12nmcosn,m=limPN0PNPM2PNPM此即为P点处沿方向n 和m的Green剪应变分量。2.6 特殊方向上的应变分量根据上述应变分量的统一定义，我们可以直角坐标系中点P处任意方向n与x轴、y轴和z轴方向之间的应变分量xOyzP(x,y,z)ABCDEnx=limPA0PD012nxcosn,x-cosn,x=Exxlnx+Eyxlny+EzxlnzEny=limPB0PD012nycosn,y-cosn,y=Exylnx+Eyylny+EzylnzEnz=limPC0PD012nzcosn,z-cosn,z=Exzlnx+Eyzlny+Ezzlny写成矩阵形式EnxEnyEnz=ExxEyxEzxExyEyyEzyExzEyzEzzlnxlnylnzEnj=Eijlni 对比上式与应力分析中柯西公式可以看出二者形式上完全相同，不妨称之为应变柯西公式，它表示了P处任意方向n与x轴、y轴和z轴方向之间的变形程度与该点处应变分量之间的关系。如果存在方向n，它与x轴、y轴和z轴方向之间的应变分量之比等于相应的方向余弦之比，也就说EnxEnyEnz=ExxExyExzEyxEyyEyzEzxEzyEzzlnxlnylnz=Enlnxlnylnz显然，求n的问题便是关于应变分量的特征值问题。注意到应变矩阵与应力矩阵一样，是一个对阵矩阵，因此在主应力分析中得到的有关结论在这里都成立，包括：（1） 主应变值均为实数；（2） 互不相同的主应变值对应的特征方向相互垂直；（3） 正应变的取值范围介于第一主应变和第三主应变之间；E3EnE1（4） 最大剪应变的等于第一主应变和第三主应变之差的一半；maxEnm=E1-E32如果以三个主应变方向为坐标方向，则一点处的应变矩阵变为E1000E2000E3 也就是说，在主应变方向之间，只存在正应变，剪应变退化为零。由于正应变只反映了单一方向上长度的变化，而剪应变同时包含两个方向上的形变（长度的变化和角度变化），主应变方向间的剪应变为零，说明主应变方向间的形变（长度变化和角度变化）为零。 这些结论也完全适用于柯西应变矩阵。2.6 由柯西应变求位移2.6.1线积分法要求出物体的变形，也就是要求出物体上各点的位移。这里讨论的是在微小变形的情形下，如何根据给定的应变函数求出变形体对应的变形。xOyzP0IIIP微小变形的情形下，我们定义的应变与位移的关系即为如下的几何方程。 （0.1）根据几何方程可知，微小变形情况下，应变本质上是位移对位置坐标的一阶偏导数的函数。若要由应变求位移，数学上其实就是要由偏导数求原函数。如图？所示，如果选择物体上的某一点为位移参考点，则任意点P的位移分量分别为 （0.2） （0.3） （0.4）要由（0.2）（0.4）式求出三个位移分量，除给出参考点的位移u0，v0，w0外，还必须给出式中的9个一阶偏导数函数，当然这些偏导数必须满足单值可积性条件。当已知应变（通常以工程应变的形式给出）时，我们可以依据几何方程，令 （0.5） （0.6） （0.7） （0.8） （0.9） （0.10）由上述（0.5）（0.10）式，我们实际上只直接给出了，和，则还必须求出其余6个偏导数、。但是，这余下的6个偏导数无法通过上述（0.5）（0.10）式简单求出。下面通过积分的方式进行求解。（1） 的求解一般地，可以通过如下的积分求得， （0.11）为了给定上述积分式中的被积函数，我们可以依据（0.5）（0.10）式，令 （0.12） （0.13） （0.14）因此（0.11）式可以写为 （0.15）（2） 的求解类似地，可以通过如下的积分求得， （0.19）同样，为了给定上述积分式中的被积函数，我们可以依据（0.5）（0.10）式，令 （0.20） （0.21） （0.22）因此（0.19）式可以写为 （0.23）（3）的求解类似地，可以通过如下的积分求得， （0.27）同样，为了给定上述积分式中的被积函数，我们可以依据（0.5）（0.10）式，令 （0.28） （0.29） （0.30）将（0.28）（0.30）代入（0.27）得到 （0.31）（4）的求解类似地，可以通过如下的积分求得， （0.35）同样，为了给定上述积分式中的被积函数，我们可以依据（0.5）（0.10）式，令 （0.36） （0.37） （0.38）将（0.36）（0.38）代入（0.35）得到 （0.39）（5）的求解类似地，可以通过如下的积分求得， （0.43）同样，为了给定上述积分式中的被积函数，我们可以依据（0.5）（0.10）式，令 （0.44） （0.45） （0.46）将（0.44）（0.46）代入（0.43）得到 （0.47）（6）的求解类似地，可以通过如下的积分求得， （0.51）同样，为了给定上述积分式中的被积函数，我们可以依据（0.5）（0.10）式，令 （0.52） （0.53） （0.54）将（0.52）（0.54）代入（0.51）得到 （0.55）（7）位移的积分求解将（0.5）（0.15）（0.23）代入到（0.2）式，（0.6）（0.31）（0.39）代入到（0.3）式，（0.7）（0.47）（0.55）代入到（0.4）式，得到 （0.65） （0.66） （0.67）2.6.2位移单值可积的条件应变协调方程（1）位移偏导数单值可积的条件为了保证（0.15）式单值可积，假定物体体积为单连通域（下同），根据Stokes定理要求即 （0.16） （0.17） （0.18）为了保证（0.23）式单值可积，根据Stokes定理，应该有 即 （0.24） （0.25） （0.26）为了保证（0.31）式单值可积，根据Stokes定理，应该有 即 （0.32） （0.33） （0.34）为了保证（0.39）式单值可积，根据Stokes定理，应该有 即 （0.40） （0.41） （0.42）为了保证（0.47）式单值可积，根据Stokes定理，应该有 即 （0.48） （0.49） （0.50）为了保证（0.47）式单值可积，根据Stokes定理，应该有即 （0.56） （0.57） （0.58）综合（0.16）（0.18）、（0.24）（0.26）、（0.32）（0.34）、（0.40）（0.42）、（0.48）（0.50）、（0.56）（0.58）式，同时注意到许多等式是相同的，可以得到，为了保证有关的一阶偏导数能够通过积分形式求出，根据Stokes定