2016_2017学年高中数学2.2.1椭圆的标准方程学案新人教B版选修.docx

2.2.1椭圆的标准方程1了解椭圆标准方程的推导2理解椭圆的定义及椭圆的标准方程(重点)3掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程(重点、难点)基础初探教材整理1椭圆的定义阅读教材P39前4自然段，完成下列问题平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这_叫做椭圆的焦点，_叫做椭圆的焦距【答案】常数(大于|F1F2|)两个定点两焦点的距离判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆()(2)在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于F1F2”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段()(3)到两定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆()【答案】(1)(2)(3)教材整理2椭圆的标准方程阅读教材P39第5自然段P40“思考与讨论”，完成下列问题.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_1(ab0)焦点(c,0)与(c,0)_与_a，b，c的关系c2_【答案】1(ab0)(0，c)(0，c)a2b2椭圆1的焦点在_轴上，焦距为_，椭圆1的焦点在_轴上，焦点坐标为_【解析】由259可判断椭圆1的焦点在x轴上，由c225916，可得c4，故其焦距为8.由169，可判断椭圆1的焦点在y轴上， c21697，故焦点坐标为(0，)和(0，)【答案】x8y(0，)和(0，)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，2)和点B(2，1)【自主解答】(1)由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)a5，c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)a2，b1.故所求椭圆的标准方程为x21.(3)法一当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得因为ab0，所以无解所以所求椭圆的标准方程为1.法二设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为1.1利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)因为它包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算再练一题1已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0,2)和B，求椭圆的标准方程. 【导学号：15460025】【解】设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，将A，B两点坐标代入方程得解得所求椭圆方程为x21.椭圆的定义及其应用设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2的面积【精彩点拨】(1)由椭圆方程，你能写出|PF1|PF2|与|F1F2|的大小吗？(2)在F1PF2中，根据余弦定理可以得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|之间的关系式吗？(3)怎样求F1PF2的面积？【自主解答】由椭圆方程知，a225，b2，c2，c，2c5.在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即25|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.由椭圆的定义得10|PF1|PF2|，即100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|.得3|PF1|PF2|75，所以|PF1|PF2|25，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 60.1椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.2椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解再练一题2在本例中，若把椭圆方程改为“1”，把“F1PF260”改为“PF1F290”，其余条件不变，试求PF1F2的面积【解】由椭圆方程1，知a2，c1，由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F290.|PF2|2|PF1|2|F1F2|2.从而(4|PF1|)2|PF1|24，则|PF1|，因此SPF1F2|F1F2|PF1|.故所求PF1F2的面积为.探究共研型与椭圆有关的轨迹问题探究1如图221，P为圆B：(x2)2y236上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程图221【提示】用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.所求点Q的轨迹方程为1.探究2如图222，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？为什么？图222【提示】当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点法求解用相关点法求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可所求点M的轨迹方程为y21.一个动圆与圆Q1：(x3)2y21外切，与圆Q2：(x3)2y281内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程【精彩点拨】由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹【自主解答】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(3,0)，R11；Q2(3,0)，R29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图由题设有|MQ1|1R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a5，c3.所以b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为1.1求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)再练一题3(2016北大附中高二检测)已知圆C：x2y24，过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设直线m与y轴的交点为N，若向量，则动点Q的轨迹方程为_. 【导学号：15460026】【解析】设点M的坐标为(x0，y0)，点Q的坐标为(x，y)，点N的坐标为(0，y0)，(x，y)(x0,2y0)，即x0x，y0，又xy4，x24.由已知，直线m平行于x轴，得y0，Q点的轨迹方程是1(y0)【答案】1(y0)构建体系1若椭圆1过点(2, )，则其焦距为()A2B2C4 D4【解析】将点(2, )代入椭圆方程求得b24，于是焦距2c24.【答案】D2已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.1 By21C.1 Dx21【解析】c1，a()2，b2a2c23.椭圆的方程为1.【答案】A3已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_【解析】由已知2a8,2c2，a4，c，b2a2c216151.又椭圆的焦点在y轴上，椭圆的标准方程为x21.【答案】x214若方程1表示椭圆，则m满足的条件是_. 【导学号：15460027】【解析】由方程1表示椭圆，知解得m且m1.【答案】5已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4,3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程【解】设所求椭圆的标准方程为1(ab0)设焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)F1AF2A，0，而(4c,3)，(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F2(5,0)2a|AF1|AF2|4.a2，b2a2c2(2)25215.所求椭圆的标准方程为1.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016潍坊高二检测)如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A(3，)B(，2)C(3，)(，2)D(3，)(6，2)【解析】由于椭圆的焦点在x轴上，所以即解得a3或6a2，故选D.【答案】D2已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是()A.x21B.y21或x21C.y21D以上都不对【解析】设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，则椭圆的方程为x21.【答案】A3(2016合肥高二月考)设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|21，则F1PF2的面积等于()A5B4C3D1【解析】由椭圆方程，得a3，b2，c，|PF1|PF2|2a6，又|PF1|PF2|21，|PF1|4，|PF2|2，由2242(2)2，可知F1PF2是直角三角形，故F1PF2的面积为|PF1|PF2|424，故选B.【答案】B4椭圆mx2ny2mn(mn0)的焦点坐标为() 【导学号：15460028】A(0，) B(，0)C(0，) D(，0)【解析】将mx2ny2mn(mn0)化成标准方程得1，由mnn0，得焦点在y轴上，即a2m，b2n，得c2a2b2nm，故选C.【答案】C5设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形【解析】由椭圆定义知，|PF1|PF2|2a8，又|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c24，即|F1F2|2|PF2|2|PF1|2，PF1F2为直角三角形【答案】B二、填空题6已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.【解析】依题意，有可得4c2364a2，即a2c29，故有b3.【答案】37已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为_【解析】法一：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，则解得b212或b23(舍去)，从而a216，所以椭圆C的标准方程为1.【答案】18已知P是椭圆1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是_【解析】如图，依题意，|PF1|PF2|2a(a是常数且a0)又|PQ|PF2|，|PF1|PQ|2a，即|QF1|2a.由题意知，a2，b，c1.|QF1|4，F1(1,0)，动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，动点Q的轨迹方程是(x1)2y216.【答案】(x1)2y216三、解答题9设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标【解】椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，2a4，a24，点是椭圆上的一点，1，b23，c21，椭圆C的方程为1.焦点坐标分别为(1,0)，(1,0)10求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)ca513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.【解】(1)由焦距是4，可得c2，且焦点坐标为(0，2)，(0,2)由椭圆的定义知，2a8，所以a4，所以b2a2c216412.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为1.(2)由题意知，2a26，即a13，又因为ca513，所以c5，所以b2a2c213252144，因为焦点所在的坐标轴不确定，