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课时分层作业(二十一)空间的角的计算(建议用时:40分钟)基础达标练一、填空题1已知A(0,1,1),B(2,1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB与直线CD所成角的余弦值为_解析(2,2,1),(2,3,3),cos,直线AB,CD所成角的余弦值为.答案2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值是_. 【导学号:71392207】解析依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N.,cos,故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.答案3已知点E,F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_解析如图,建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1,平面ABC的法向量为n1(0,0,1),平面AEF的法向量为n2(x,y,z)所以A(1,0,0),E,F,所以,则即取x1,则y1,z3,故n2(1,1,3),所以cosn1,n2,所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ,sin ,所以tan .答案4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA12AB2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则(0,1,0),(1,1,0),(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x,y,z),则n,n,所以有令y2,得平面BDC1的一个法向量为n(2,2,1)设CD与平面BDC1所成的角为,则sin |cosn,|.答案5已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是_. 【导学号:71392208】解析以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),E,F,D1(0,0,1)所以(1,0,1),.设平面AEFD1的法向量为n(x,y,z),则取y1,则n(2,1,2),而平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1),cosn,u.答案6在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱长AA1和BB1的中点,则sinC,_.解析建立如图直角坐标系,设正方体的棱长为2.可知C(2,2,1),(2,2,1),cosC,sinC,.答案7. 如图3229,在四面体ABCD中,AB1,AD2,BC3,CD2,ABCDCB,则二面角ABCD的大小为_图3229解析二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小.,而22222|cos ,即1214922cos,cos,AB与CD所成角为,即二面角ABCD的大小为.答案8在空间四边形OABC中,OBOC,AOBAOC,则cos,的值为_解析()|cos |cos |(|)0.cos,0.答案0二、解答题9如图3230,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,DABDCB,EAEBAB1,PA,连接CE并延长交AD于F.图3230(1)求证:AD平面CFG;(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值解(1)证明:在ABD中,因为E是BD中点,所以EAEBEDAB1,故BAD,ABEAEB,因为DABDCB,所以EABECB,从而有FEDBECAEB,所以FEDFEA,故EFAD,AFFD.因为PGGD,所以FGPA.又PA平面ABCD,所以GFAD,故AD平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C,D(0,0),P,故,.设平面BCP的一个法向量n1(1,y1,z1),则解得即n1.设平面DCP的一个法向量n2(1,y2,z2),则解得即n2.从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos .10如图3231,在几何体ABCDE中,DA平面EAB,CBDA,EAAB,M是EC的中点,EADAAB2CB.图3231(1)求证:DMEB;(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值;(3)求二面角MBDA的余弦值. 【导学号:71392209】解以直线AE,AB,AD为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,设CBa,则A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a),所以M,(1)证明:,(2a,2a,0),a(2a)a2a00,即DMEB.(2)(0,2a,0),(2a,2a,a),设异面直线AB与CE所成的角为,则cos ,即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.(3)DA平面EAB,AD平面DAB,平面DAB平面EAB.EA平面EAB,平面EAB平面DABAB,EAAB.EA平面DAB.(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量设平面MBD的一个法向量为n(x,y,z),(0,2a,2a),则即令za,则n,设二面角MBDA的平面角为,则cos .即二面角MBDA的余弦值为.能力提升练1如图3232,在三棱锥VABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x,y,z轴上,D是线段AB的中点,且ACBC2,VDC.当时,则异面直线AC与VD所成角的余弦值是_图3232解析由于ACBC2,D是AB的中点,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,1,0)当时,在RtVCD中,CD,故V(0,0,)所以(2,0,0),(1,1,),所以cos,所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.答案2如图3233,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_图3233解析不妨令CB1,则CACC12.可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),(0,2,1),(2,2,1),cos,0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案3在三棱锥OABC中,三条棱OA,OB,OC两两垂直,且OAOBOC,M是AB边的中点,则OM与平面ABC所成角的正切值是_解析如图所示,建立空间直角坐标系,设OAOBOC1,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),M,故(1,1,0),(1,0,1),.设平面ABC的法向量为n(x,y,z),则由得令x1,得n(1,1,1)故cosn,所以OM与平面ABC所成角的正弦值为,其正切值为.答案4如图3234,PA平面ABC,ACBC,BC,PAAC1,求二面角APBC的余弦值. 【导学号:71392210】图3234解法一:建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,取PB的中点D,连接DC,则DCPB,作AEPB于E.则向量与的夹角的大小为二面角APBC的大小A(1,0,0),B(0,0),C(0,0,0),P(1,0,1),又D为PB的中点,D.在RtPAB中,E,.又|,|1,cos,即二面角APBC的余弦值为.法二:以C为坐标原点,直线CA,CB分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,0),C(0,0,0),P(1,0,1
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