高考数学函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用高考AB卷理.docx

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第8节 函数的模型及其综合应用高考AB卷 理函数的综合应用1.(2012全国，12)设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A.1ln 2 B.(1ln 2)C.1ln 2 D.(1ln 2)解析由题意知函数yex与yln(2x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，两曲线上点之间的最小距离就是yx与yex最小距离的2倍，设yex上点(x0，y0)处的切线与yx平行，有ex01，x0ln 2，y01，切点到直线yx的距离d，所以|PQ|的最小值为(1ln 2)2(1ln 2).答案B2.(2013全国，21)设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd).若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围.解(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1).设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1).由题设可得F(0)0，即k1.令F(x)0，得x1ln k，x22.()若1ke2，则2x10.从而当x(2，x1)时，F(x)0.即F(x)在(2，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增.故F(x)在2，)上的最小值为F(x1).而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立.()若ke2，则F(x)2e2(x2)(exe2).从而当x2时，F(x)0，即F(x)在(2，)上单调递增.而F(2)0，故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立.()若ke2，则F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围是1，e2.函数的实际应用1.(2016四川，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2018年 B.2019年C.2020年 D.2021年解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(112%)x200，解得xlog1.123.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年.选B.答案B2.(2015北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/小时的速度行驶10 km，消耗1升汽油.故D正确.答案D3.(2014湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.1解析设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1p)(1q)aa(1x)2，解得x1，故选D.答案D4.(2013陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A.15，20 B.12，25C.10，30 D.20，30解析设矩形另一边长为y，则x40y，y40x.由xy300，即x(40x)300，解得10x30，故选C.答案C5.(2015四川，13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.解析由题意e22k，e11k，x33时，ye33kb(e11k)3ebeb19224.答案246.(2015江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5，20.设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5，10)时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(10，20)时，g(t)0，g(t)是增函数.从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.答：当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米.函数的综合应用7.(2016山东，10)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.ysin x B.yln xC.yex D.yx3解析对函数ysin x求导，得ycos x，当x0时，该点处切线l1的斜率k11，当x时，该点处切线l2的斜率k21，k1k21，l1l2；对函数yln x求导，得y恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yex求导，得yex恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yx3，得y2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为1.故选A.答案A8.(2014辽宁，12)已知定义在0，1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0，1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x，y0，1，|f(x)f(y)|k恒成立，则k的最小值为()A. B. C. D.解析不妨令0yx1，当0xy时，|f(x)f(y)|xy|；当xy1时，|f(x)f(y)|f(x)f(1)f(y)f(0)|f(x)f(1)|f(y)f(0)|x1|y0|(1x)y(yx).综上，|f(x)f(y)|，所以k.答案B9.(2013天津，8)已知函数f(x)x(1a|x|).设关于x的不等式f(xa)0时，易知f(0)0，x0时，f(x)x(1a|x|)0，于是f(0a)0f(0)，而由已知A可得0A，即f(0a)0也不满足条件，故a0.易知f(x)在坐标系中画出yf(x)与yf(xa)的图象如图所示，由图可知满足不等式f(xa)f(x)的解集A(xA，xB).由x(1ax)(xa)1a(xa)可得xA；由x(1ax)(xa)1a(xa)，可得xB.A(a0).由A得解得a0，对任意a0，b0，若经过点(a，f(a)，(b，f(b)的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b).例如，当f(x)1(x0)时，可得Mf(a，b)c，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数.(1)当f(x)_(x0)时，Mf(a，b)