结构力学-静定结构的内力分析.ppt

第三章 静定结构的内力分析 静定梁 静定刚架 静定拱 静定桁架 静定结构习题课 目录 一、单跨静定梁：一、单跨静定梁： 3-1 3-1 静定梁的内力分析静定梁的内力分析 简支梁 悬臂梁 外伸梁 m P q 静定梁：由静力学方程可求出支反力的梁。静定梁：由静力学方程可求出支反力的梁。 （一）分类（一）分类 （二）截面法求梁的内力 P1 YA XA o P1 P2 l A B n n N Q My x 轴力： 剪力： 弯矩： （三）内力的正负规定: 3. 弯矩M： Q() Q() Q(+) Q(+) M(+) M(+) M()M() 1. 轴力N：拉为正，压为负。 2. 剪力Q: （四）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 q(x ) Q(x)+d Q(x) M(x)+d M(x) Q(x) M(x) dx v剪力图上某点处的切线斜率等 于该点处荷载集度的大小。 v弯矩图上某点处的切线斜率等 于该点处剪力的大小。 dx x q(x ) （1）q0 时，剪力图为一水平直线，弯矩图为斜直线。 （2）q常数时，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线 。 绘 Q、M 图时，可按载荷情况分段，由各段的竖标绘 出内力图。 v 梁的内力图的特点： 内力图规定： 弯矩图：画在梁的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在上 侧），但须注明正、负号。 （五）按叠加原理作弯矩图 v 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每 个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。 适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必须与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。 叠加法作内力图的步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加。 （注意：不是图形的简单拼凑） v对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q 图反对称，M 图正对称； 对称结构在反对称载荷作用下，Q 图正对称 ，M 图反对称。 简单梁的内力图 ： M PL P L Q P M qL L q M M m m m/2 m/2 m mm m Pl/4 P l/2l/2 q l ql2/8 mm P m+Pl/4 m m ql2/8 P mq J K q q MJ MKMK MJ QJ QK VK VJ MK MJ q MK MJ MJ MK ql2/8 vv 区区段段叠加法叠加法 （1）求得区段两端截面的弯矩竖标，用虚线将两 竖标相连。 （2）以虚线为基线，将相应简支梁在均匀分布载 荷或集中力作用下的M 图叠加上去。 （3）最后所得图线与原定基线之间包含的图形即 为实际的M 图。 v 区段叠加法作M图的步骤： 例1按叠加原理作静定梁的弯矩图和剪力图 q=10KN/mP=15KN A C DB E m=20KNm 2m3m3m4m 解： （1）求支反力。 VA VB （2）作剪力图 q=10KN/mP=15KN A C DB E m=20KNm 2m3m3m4m 31 24 31 Q（KN） 9 1515 9 （3）作弯矩图 q=10KN/mP=15KN A C DB E m=20KNm 2m3m3m4m 31 24 44 M（KNm） 17 3 30 20 例2按叠加原理作静定梁的弯矩图和剪力图 解： （1）求支反力。 VA VB q=20KN/m P1=30KN A B CDE 2m2m2m4m P2=70KN （2）作剪力图 90 Q（KN） 30 60 10 70 160 60 q=20KN/m P1=30KN A B CDE 2m2m2m4m P2=70KN 10 60 （3）作弯矩图 M（KNm） 100 100 160 60 q=20KN/m P1=30KN A B CDE 2m2m2m4m P2=70KN 10 70 40 例3按叠加原理作静定梁的弯矩图和剪力图 q=40KN/m P2=40KN A BCDF m=80KNm 2m 1m 2m 4m 解： （1）求支反力。 VA VB 1m E P1=160KN （2）作剪力图 130 Q（KN） 3030 120 40 q=40KN/m P2=40KN A BCDF m=80KNm 2m 1m 2m 4m 130 310 1m E P1=160KN 130 190 （3）作弯矩图 340 M（KNm） 130 160 80 q=40KN/m P2=40KN A BCDF m=80KNm 2m 1m 2m 4m 130 310 1m E P1=160KN 210 280 （六）斜梁 1. 求反力。 2. 求截面C的内力 。 VA VB VA C q l A B x C q QC NC MC ql2/8 N 图 （六）斜梁 3. 作内力图。 q l A B VA VB C Q 图 M 图 定义：若干根梁用铰连接而成，用来跨越几 个相连跨度的静定梁。 用途：桥梁结构。 计算简图： （整体上是几何不变的） 二、多跨静定梁二、多跨静定梁 ABCDEF 几何不 变部分 在竖向 载荷作用下 能独立维持平衡 依靠基础部 分部分才能 保持几何不 变性 基础部分基础部分 从属部分从属部分 q基础部分：可不依靠从属部分而保持其几何不变性 。 q从属部分：依靠基础部分才可保持其几何不变性。 q层次图：表明多跨梁基本部分和从属部分的支承关 系。 二、多跨静定梁二、多跨静定梁 ABCDEF EFAB CD v作图示多跨梁的层次图 E F A B CD ABCDEFGHIJ I J GH P1 P2 P3 P4P5 n作用在基本部分上的载荷对附属部分没有影响。 n作用在附属部分上的载荷将使基本部分产生反力和 内力。 v作图示多跨梁的层次图 P1 P2 P3 n计算多跨梁的原则：先附属，后基本。 ABCDEF AB CD EF 多跨梁单跨梁单跨梁内力图多跨梁内力图 例1 作多跨静定梁的弯矩图和剪力图 40KN/m 120KN A BC D 2m6m8m 3m 40KN/m 120KN 解： （1）作层次图 A B CD 2m6m8m 3m 40KN/m 120KN （2）求反力 A B CD 40KN/m A B 120KN C D 60KN 60KN 60KN 235KN 145KN （3）作Q 图 2m6m8m 3m 40KN/m 120KN A B C D 60KN 60KN 60KN 235KN 145KN 145KN 175KN 60KN 60KN （4）作弯矩图 2m6m8m 3m 40KN/m 120KN A B C D 60KN 60KN 60KN 235KN 145KN 180KNm 120KNm 320KNm 例2 作多跨静定梁的弯矩图和剪力图 qqa A 2qa2 B CD E F a/2a/2 a/2a/2aa 7qa/8 3qa/8 3qa/8 11qa/8 6qa/8 q ABCD qa2qa2 D EF 作弯矩图： M图 7qa/8 3qa/8 q ABCD 3qa/8 11qa/8 6qa/8 qa2qa2 D EF 作Q 图： Q图 7qa/8 3qa/8 q ABCD 3qa/8 11qa/8 6qa/8 qa2qa2 D EF 32 32 平面刚架的内力分析平面刚架的内力分析 一、平面刚架的特征及应用 1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接（用刚结点）而组成的结构。 2. 刚结点：各杆端不可相对移动与转动，受力变形时杆 端仍联接在一起，并保持夹角不变。 q AB l C D P 能承受和传递弯矩 削减弯矩的峰值使分布均匀 内部空间大便于利用 直杆组成，制作方便 工民建、钢筋混凝土 一、平面刚架的特征及应用 q AB l C D P 3. 平面刚架的分类： （1）简支刚架 AB CD （2）悬臂刚架 （3）三铰刚架 （4）双铰刚架 （5）框架 AB C D AB C D A B CD 二、 平面刚架的内力计算： 2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正 值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。 3. 计算步骤： （1）求反力。 （2）逐渐用截面法计算各杆端内力。 （3）画内力图。 1. 平面刚架内力的 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。 例1 试作图示刚架的内力图。P1 P2 a l A B C N 图 + Q 图 + M 图 P1a+ P2 l P2 P1 P1 P1a 分段 定点 连线 例2 作图示刚架的内力图 32 16 M图 (KNm) A B 2KN/m 8KN D 4m 4m C 4m 16 B 32 16 16 Q图 N图 A B 2KN/m 8KN D 4m 4m C 4m 8KN 8KN 16KN B 8KN 8KN 16KN 例3 作图示刚架的内力图 180 60 M图 A B 30KN 20KN/m D 4m 2m 6m C E 30 4080 180 90 Q图 (KN) A B 30KN 20KN/m D 4m 2m 6m C E 30 4080 30 30 80 40 N图 (KN) 30 40 80 AB q D l/2 l/2 l CE 例4 作图示刚架的内力图 ql2 /8 ql2 /8 ql/8 ql/2ql/2 ql2 /8 ql2 /8 ql/8 M图 作Q 图 ql /2 ql /2 ql/8 ql/2ql/2 AB q D l/2 l/2 l CE ql/8 ql /8 ql /8 Q图 作N图 ql/8 ql/2ql/2 AB q D l/2 l/2 l CE ql/8 ql /2 ql /8 ql /2 N图 例5 作图示刚架的 M 图 120 20 8080 120 20 BEC: AB 20KN/m D 4m 4m 6m C E 2m A B D l l C E l l m 例6 作图示刚架的内力图 m /2 m M图 m /2 0 m/2l m/2l m /2 作Q 图 m /2l Q图 A B D l l C E l l m m /2l 0 m/2l m/2l 作N 图 m /2l N图 A B D l l C E l l m 0 m/2l m/2l 33 33 静定拱的内力分析静定拱的内力分析 一、静定拱的特征及分类 1. 静定拱：杆轴线为曲线，在竖向载荷作用下会产生水平 反力的结构。 拱高 f 跨度 l 拱轴线：拱身各截面形心连线。 C A B 拱趾 起拱线 拱顶 高跨比：拱高和跨度之比。 在竖向载荷作用下会产生水水平反力推力 拱的弯矩比跨度和载荷相同的梁小，且主要承受 压力，拱截面上应力分布均匀。可用抗压好的材 料（砖、石、混凝土）建造。 内部空间大便于利用 支座承受水平推力，要求地基或支承结构坚固。 2. 拱的特征 C A B FP FAVFBV FBH FAH 3. 拱的分类： （1）三铰拱 （2）两铰拱 （3）无铰拱 （4）带拉杆拱 C A B A B AB C A B 二、 静定拱的反力计算（三铰拱） 以拱整体为对象： C A B FAV FBH FAH l f FP1 a1 FP2 a2 以左半拱为对象： FP2 FP1 C A B FBV 三、 静定拱的内力计算： 弯矩：使拱内侧受拉为正。 剪力：绕隔离体顺时针转动为正。 轴力：压为正。 2. 计算方法：截面法 1. 静定拱的内力有： M、 FQ 、FN 。 C A B FP2 FAVFBV FH FH FP1 l f a1 x y xk yk K FP1 A xK yK K FNK FQK MK FH FAV C A B FP2 FP1 xK C A B 4KN D 1KN/m 8m 4m 4m4m C A B D 4KN1KN/m 例1：试求图示三铰拱的支反力和截面D的内力。 解 ： （1）作与三铰拱对应的简支梁并求反力 FAVFBV F H F H （2）求D截面的内力 C A B 4KN 7KN5KN 6KN 6KN D 1KN/m 8m 4m 4m4m C A B D 4KN1KN/m x y 7KN 5KN （2）求D截面的内力 C A B 4KN 7KN5KN 6KN 6KN D 1KN/m 8m 4m 4m4m C A B D 4KN1KN/m x y 7KN 5KN 四、拱的合理轴线 条件：拱截面上弯矩为零。 0 任一截面 C A B FP2 FAVFBV FH FH FP1 l f a1 x y xk yk K C A B q x 例2：试求图示三铰拱在均布载荷作用下的合理轴线。 解 ： （1）作与三铰拱对应的简支梁并列弯矩方程 （2）计算三铰拱的水平推力 （3）求合理轴线 C A B q l f x y FAVFBV F H F H 3-4 3-4 平面桁架的内力分析平面桁架的内力分析 桁架：由若干杆件在其端部相互用铰接组成的一种结构。 节点 杆件 3-4 3-4 平面桁架的内力分析平面桁架的内力分析 上弦杆竖杆 斜杆 下弦杆 节向长度 桁高 桁架的计算假定： 各杆两端用绝对光滑的理想铰互相联结。 各杆轴线绝对为直线且在同一平面内并通过 铰的几何中心。不计自重，各杆均为二力杆 ； 外力与支座反力都作用在节点上并位于桁架 平面内。 (a) 三角形有稳定性 (b)(c) v力学中的桁架模型： ( 基本三角形基本三角形) ) v结构力学中常见的桁架简化计算模型 内力的计算方法：内力的计算方法： 节点法节点法 截面法截面法 解：研究整体，求支座反力 一、结点法 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？例 1 取桁架的结点为分离体，由结点平衡方程 计算汇交于该结点的各杆的内力。 1 3 2 2m2m 30o P 4 H1 V1V4 依次取1、2、3结点研究，计算各杆内力。 1 3 2 2m2m 30o P 4 0 5KN5KN 5KN N13 1 N12 结点1： 节点3的另一个方程可用来校核计算结果 N21 N24 N23 2 3 N32 N31 N34 P 结点2： 结点3： 1 3 2 30o P 4 -10-10 10 8.668.66 N(KN) 解：1. 研究整体，求支座反力 已知：如图 ，求各杆内力？例 2 20KN 20KN20KN 10KN10KN2m 2m 2m2m2m 2 1 3 4 57 6 8 V8 V1 H1 2. 研究各结点，求各杆内力 20KN 20KN20KN 10KN10KN2m 2m 2m2m2m 2 1 3 4 57 6 8 40 40 0 结点1： 10KN 40KN 1 N13 N12 20KN 20KN20KN 10KN10KN2m 2m 2m2m2m 2 1 3 4 57 6 8 40 40 0 结点2： 2 N23 N25 N21 20KN 20KN20KN 10KN10KN2m 2m 2m2m2m 2 1 3 4 57 6 8 40 40 0 结点3： 20KN 0 3 N34 N35 N32 x 20KN 20KN20KN 10KN10KN2m 2m 2m2m2m 2 1 3 4 57 6 8 40 40 0 结点4： 20KN 4 N43 N46 N45 x 3. 校核 20KN 20KN20KN 10KN10KN2m 2m 2m2m2m 2 1 3 4 57 6 8 40 40 0 2 1 3 4 57 6 8 0 20 -44.7 -22.4-67.1 6060 -44.7 0 -67.1 6060 N 图（KN） 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆 。 四杆节点无载荷、其中两两在 一条直线上，同一直线上两杆 内力等值、同性。 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。 v 特殊杆件的内力判断 1 2 4 35 7 911 12 10 8 6 1357 9 108642 判断零杆？ 1357 9 10 864 2 40KN40KN 40KN 20KN20KN 已知：如图 ，求各杆内力？例 3 解：1. 研究整体，求支座反力 V10 V2 H2 43=12m 4m 1357 9 10 864 2 40KN40KN 40KN 20KN20KN 80 80 0 2. 研究各结点，求各杆内力 结点2： 80KN 2 N21 N24 -80 0 1357 9 10 864 2 40KN40KN 40KN 20KN20KN 80 80 0 结点1： -80 0 20KN 1 N12 N13 N24 75 -45 1357 9 10 864 2 40KN40KN 40KN 20KN20KN 80 80 0 结点4： -80 0 75 -45 4N46 N42 N43 45 -60 结点3： 25 -60 结点5： -40 已知：如图 ，求各杆内力？例 4 解：1. 研究整体，求支座反力 43=12m 4m 1 2 4 3 7 8 6 40KN60KN80KN 5 V8 V1 H1 2. 研究各结点，求各杆内力 结点1： 80KN 1 N13 N12 -100 60 1 2 4 3 7 8 6 40KN60KN80KN 5 100 80 0 结点2： 60 40 结点3： 结点5： -100 60 1 2 4 3 7 8 6 40KN60KN80KN 5 100 80 0 60 40 3 N34 N35 N31 N32 50 -90-90 0 结点4： 结点6： -100 60 1 2 4 3 7 8 6 40KN60KN80KN 5 100 80 0 60 40 50 -90-90 0 4 N47 N46 N43 60 N42 75 25 75 80 结点8： -125 二、截面法二、截面法 以一适当截面截取桁架中某一部分（至少包 括两个结点）为研究对象，作用在研究对象 上的载荷、支反力、轴力为一平面任意力系 ，利用平衡条件可求解。 被载取杆件一般不超过三根。 根据所选平衡方程类型不同，截面法分为： 力矩法 投影法 1. 研究整体求支反力 力矩法 如图，求：24，34，35杆的内力。 V7 V1 H1 h 1 2 4 3 7 6 5 ddd d/2 P1 P2 P3 求：24，34，35杆的内力。 V7 V1 0 h 1 2 4 3 7 6 5 ddd d/2 P1 P2 P3 I I 4 N24 N35 N34 A 外力对结点4取矩的代数和 2. 作截面II： M3 外力对结点3取矩的代数和 r MA 外力对A点取矩的代数和 解： 研究整体求支反力 例5 已知：如图，求：24，34，35杆的内力。 V7 V1 H1 1 2 4 3 7 6 5 4m4m4m 2m 30KN 2m1m V7 10 0 1 2 4 3 7 6 5 4m4m4m 2m 30KN 2m1m 求：24，34，35杆的内力。 I I 4 N24 N35 N34 A 作截面II： x N24 h A a B 6d P1 P2P3 b 1. 研究整体求支反力 投影法 如图，求：a，b 杆的内力。 VB VA HA h A a B 6d P1 P2P3 b 2. 截面法求a 杆轴力 投影法 如图，求：a，b 杆的内力。 VB VA HA Na N1 N2 h A B 6d P1 P2P3 b 2. 截面法求b 杆轴力 投影法 如图，求：a，b 杆的内力。 VB VA HA Nb N3 N4 解： 研究整体求支反力 例6 已知：如图，h，a，P。 求：4，5，6杆的内力。 选截面 I-I ，取左半部研究 A I I 说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力, 与所设方向相反。 A 如何取截面求指定杆的内力。如何取截面求指定杆的内力。 P1 A B P2 a P A B a 如何取截面求指定杆的内力。如何取截面求指定杆的内力。 A B P a C A a B P1P2 P5P4P6 P3 P7 静定结构习题课 叠加原理 静定梁 静定刚架 静定桁架 静定结构小结 叠加原理叠加原理 多个载荷同时作用于结构引起的内力等于每 个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。 适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性范围内，满足虎克定律。 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可 （注意：不是图形的简单拼凑）。 叠加法步骤： q P AB P A B q AB 例1按叠加原理作弯矩图 （1）AB=2a，力P作用在梁AB的中点处。 = + M图 （2） 作下列图示梁的内力图 。 P PL P PL LL LL LL 0.5P 0.5P 0.5P 0.5P P0 P Q 0.5PL 0.5PL 0.5PL PL (3) 50kN aa 20kNm = + 20kNm 50kNm 20kNm 50kN 20kNm 20kNm 20kNm 30kNm 20kNm (4) aa m =+ m q q m 例2按叠加原理作多跨静定梁的弯矩图和剪力图 qqa A 2qa2 B CD E F a/2a/2 a/2a/2aa 7qa/8 3qa/8 3qa/8 11qa/8 6qa/8 q ABCD qa2qa2 D EF 静定梁静定梁 作弯矩图： M图 7qa/8 3qa/8 q ABCD 3qa/8 11qa/8 6qa/8 qa2qa2 D EF 作Q图： Q图 7qa/8 3qa/8 q ABCD 3qa/8 11qa/8 6qa/8 qa2qa2 D EF 例3 作图示刚架的内力图 静定刚架静定刚架 3ql2 /2 3ql2 /2 2ql2 ql2 /4 M图 AB ql q ql D l/2 l/2 l C 例3 作图示刚架的内力图 AB ql q ql D l/2 l/2 l C Q图 ql 2ql ql 例3 作图示刚架的内力图 AB ql q ql D l/2 l/2 l C N图 2ql 例4 作图示刚架的内力图 ql2 /2 ql2 /2 M图 A B ql qD l/2 l/2 l C E 0 00 ql2 /2 ql2 /2 例4 作图示刚架的内力图 ql Q图 A B ql qD l/2 l/2 l C E 0 00 ql 例4 作图示刚架的内力图 N图 A B ql qD l/2 l/2 l C E 0 00 qlql AB q D l/2 l/2 l CE 例5 作图示刚架的内力图 ql2 /8 ql2 /8 ql/8 ql/2ql/2 ql2 /8 ql2 /8 ql/8 M图 例5 作图示刚架的内力图 ql /2 ql /2 ql/8 ql/2ql/2 AB q D l/2 l/2 l CE ql/8 ql /8 ql /8 Q图 例5 作图示刚架的内力图 ql/8 ql/2ql/2 AB q D l/2 l/2 l CE ql/8 ql /2 ql /8 ql /2 N图 A B D l l C E l l m 例6 作图示刚架的内力图 m /2 m M图 m /2 0 m/2l m/2l m /2 例6 作图示刚架的内力图 m /2l Q图 A B D l l C E l l m m /2l 0 m/2l m/2l 例6 作图示刚架的内力图 m /2l N图 A B D l l C E l l m 0 m/2l m/2l 解： 研究整体求支反力 例7 求：a，b 杆的内力。 VB VA A B P aa 静定桁架静定桁架 P aaaaaa a b 求：a 杆的内力。 A aa 静定桁架静定桁架 P aaa a b VB VA B P aaa VA A P aaa a b C Na 求：b 杆的内力。 静定桁架静定桁架 VB VA A aa P aaa a b B P aaa VA A P b Na Nb x 解： 研究整体求支反力 例8 求：a，b 杆的内力。 VB AB P aa 静定桁架静定桁架 P aaa a b 1.5P HA VA 求：a，b 杆的内力。 静定桁架静定桁架 Na Nb Nc P aa P a b 1.5P c P HA VA A C VB AB aaa HA VA 静定结构小结 v几何组成：没有多余联系的几何不变体系。