高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单性质学业分层测评含解析北师大版选修.docx

2.1.2 椭圆的简单性质(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若椭圆1的离心率e，则m的值是()A3B3或C.D或【解析】若焦点在x轴上，则a，由得c，b2a2c23，mb23.若焦点在y轴上，则b25，a2m.，m.【答案】B2椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A8,2 B5,4C5,1D9,1【解析】由题意知a5，b3，c4，ac9，ac1，故点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1.【答案】D3(2016梅州高二检测)焦点在x轴上，长、短轴长之和为20，焦距为4，则椭圆的方程为()A.1B1C.1D1【解析】c2，a2(2)2b2，又ab10，可解得a6，b4.故椭圆方程为1.【答案】A4设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A.BC.D【解析】由题意可得|PF2|F1F2|，22c.3a4c.e.【答案】C5已知P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，则m2n2的取值范围是()A(0,1 B1,2C(0,2D2，)【解析】因为P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，所以m21，即n222m2，所以m2n22m2，又1m1，所以12m22，所以1m2n22，故选B.【答案】B二、填空题6椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是_. 【解析】由题意2b2c，即bc，即c，a2c2c2，则a22c2.，0eb0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos AF2B，求椭圆E的离心率【解】(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cos AF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0.而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.能力提升1已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且0，则点M到y轴的距离为()A.BC.D【解析】由题意，得F1(，0)，F2(，0)设M(x，y)，则(x，y)(x，y)0，整理得x2y23.又因为点M在椭圆y21上，即y21.将代入，得x22，解得x.故点M到y轴的距离为.【答案】B2已知F1、F2是椭圆的两个焦点满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1)BC.D【解析】0，M点轨迹方程为x2y2c2，其中F1F2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x2y2c2外部，设点P为椭圆上任意一点，则|OP|c恒成立，由椭圆性质知|OP|b，其中b为椭圆短半轴长，bc，c22c2，e.又0e1，0e.【答案】C3椭圆E：1内有一点P(2,1)，则经过点P并且以P为中点的弦所在直线方程为_【解析】设所求直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.相减得0.又x1x24，y1y22，kAB.因此，所求直线方程：y1(x2)，即x2y40.【答案】x2y404(2014全国卷)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.【解】(1)根据c及题设，知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，