海岸动力学复习题.pdf

- 1 - 第第二二章章 波浪理论波浪理论 2.1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设? （1）流体是均质和不可压缩的，密度 为一常数； （2）流体是无粘性的理想流体； （3）自由水面的压力均匀且为常数； （4）水流运动是无旋的； （5）海底水平且不透水； （6）作用于流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计； （7）波浪属于平面运动，即在 xz 水平面内运动。 2.2 试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。 波浪运动基本方程是 Laplace 方程： 0 2 2 2 2 zx 或写作： 0 2 。该方程属二元二阶 偏微分方程，它有无穷多解。为了求得定解，需有包括初始条件和边界条件的定解条件： 初始条件：因波浪的自由波动是一种有规则的周期性运动，初始条件可不考虑。 边界条件： （1）在海底表面，水质点垂直速度应为 0，即 0 hz w 或写为在 z=-h 处， 0 z （2）在波面 z= 处，应满足两个边界条件，一是动力边界条件、二是运动边界条件 A、动力边界条件 0 2 1 22 g zxt zz 由于含有对流惯性项 22 2 1 zx ，所以该边界条件是非线性的。 B、运动边界条件，在 z= 处 0 zxxt 。该边界条件也是非线性的。 （3）波场上下两端面边界条件 ),(),(zctxtzx 其中 c 为波速，x-ct 表示波浪沿 x 正向推进。 2.3 试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。 微幅波理论的基本方程为： 0 2 2 2 2 zx 或写作 0 2 定解条件：z=-h 处， 0 z - 2 - z=0 处， 0 2 2 z g t z=0 处， tg 1 ),(),(zctxtzx 求解方法：分离变量法 2.4 线性波的势函数为 tkx kh zhkgH sin cosh cosh 2 ， 证明上式也可写成 tkx kh zhkHc sin sinh cosh 2 【证明】 ： cosh sin 2cosh k hz gH kxt kh 由弥散方程：khgk tanh 2 波动角频率, T 2 k波数, L k 2 cosh sin 2costanhh 2 k T gkkh hz gH kxt kh cosh si sinh n 2 2 k hz gH kxt kh T gk 2 cosh s s n n i i h2 2 k hz T k g L H kxt g h cosh sin 2sinh k hz H kxt L hTk cosh sin 2sinh k hz Hc kxt kh 即证。 - 3 - 2.7 证明只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。 【证明】 ：微幅波波浪水质点运动轨迹方程为：1 )()( 2 2 0 2 2 0 b zz a xx 式中) )sinh( )(cosh 2 ( 0 kh hzkH a 为水平长半轴，) )sinh( )(sinh 2 ( 0 kh hzkH b b 为垂直短半轴。 在深水的情况下，即 h无穷大， 有： )()()( 0 000 2 1 2 1 )(sinh hzkhzkhzk eeehzk ， khkhkh eeekh 2 1 2 1 )sinh( ， )()()( 0 000 2 1 2 1 )(cosh hzkhzkhzk eeehzk 那么，水平长半轴 0 00 222)sinh( )(cosh 2 )( 0 kz kh khkz kh hzk e H e eeH e eH kh hzkH a 垂直短半轴 0 00 222)sinh( )(sinh 2 )( 0 kz kh khkz kh hzk e H e eeH e eH kh hzkH b 所以当水深无限深时，长半轴 a 与短半轴 b 相等，水质点运动轨迹是圆。问题得证。 2.8 证明线性波单位水柱体内的平均势能和平均动能为 2 16 1 gH 【证明】 ： 单位水柱体内的平均势能dxdzgz LL E l p 0 0 1 dx g L l 0 2 2 1 其中: tkx H cos 2 L Ep dxtkx L gH l 0 2 2cos1 2 1 8 L gH 8 2 L tkx k x 0 2sin 4 1 2 1 = 2 16 1 gH 单位水柱体内的平均动能dxdzwu LL E l h k22 0 0 2 1 其中: tkx kh zhk T H u cos sinh cosh tkx kh zhk T H w sin sinh sinh - 4 - tkxzhktkxzhk khT H wu 2222 22 22 22 sinsinhcoscosh sinh tkxhzk khT H 22 22 22 cossinh sinh dxdztkxhzk khLT H L E l h k 0 0 22 22 22 cossinh sin2 ll hh dxdztkxdxdzhzk khLT H 00 0 2 0 2 22 22 )(cosh)(sinh sin2 l h tkxtkx k h khkz k Lkhkz k L khLT H 0 0 22 22 )()sinh( 2 1 2 )22sinh( 4 ) 2 ( sin2 )2sinh( 4sin2 22 22 kh k L khLT H )cosh()sinh(2 24sin2 2 22 22 khkh L khLT H )tanh( 2 16 2 2 khgT LgH = 2 16 1 gH 2.9 在水深为 20m 处,波高 H=1m,周期 T=5s,用线性波理论计算深度 z=-2m,-5m,-10m 处水质 点轨迹直径。 解：首先求波数（或波长） ，采用试算法 由弥散方程： khgk tanh 2 T 2 , L k 2 T 2 =1.256，1.577tanhgkkh L k gktanh(kh) 10 0.628 6.1544 20 0.314 3.0771784 25 0.2512 2.461546958 30 0.209333 2.050519336 35 0.179429 1.755715753 38 0.165263 1.615224503 38.5 0.163117 1.593862845 38.6 0.162694 1.589654168 38.7 0.162274 1.585466313 - 5 - 38.8 0.161856 1.581299116 38.9 0.16144 1.577152412 38.91 0.161398 1.576738862 38.92 0.161357 1.576325516 38.93 0.161315 1.575912372 38.94 0.161274 1.575499432 可得 L=38.9 k=0.161 h/L=20/38.90.5150.5 为深水波 故此时质点运动轨迹为一直径 D 为 0 kz He的圆。 不同 0 z值下的轨迹直径可见下表： Z0 -2 -5 -10 D 0.723 0.445 0.198 2.11 在某水深处的海底设置压力式波高仪,测得周期 T=5s,最大压力 pmax=85250N/m2(包括静 水压力,但不包括大气压力),最小压力 pmin=76250N/ m2,问当地水深波高值。 解：波动公式 pz cosh cos 2cosh k zh H gzgkxt kh 在海底 z=-h, coshcosh01k zh tkxcos-1 时压力最小,即： pmin 1 2 cosh H ghg kh 76250N/m2 (1) tkxcos1 时压力最大,即: pmax 1 2 cosh H ghg kh 85250 N/m2 (2) (1)+(2)可得，h=8.24m 由弥散方程： khgk tanh 2 其中 T 2 , L k 2 ，T=5s,h=8.24m 试算得，L=35,k=0.179 （2）-（1）可得，H=2.11m - 6 - 2.12 若波浪由深水正向传到岸边，深水波高 H0=2m,周期 T=10s，问传到 1km 长的海岸上的波浪能量 （以功率计） 有多少？设波浪在传播中不损失能量。 解：通过 1km（单宽）波峰线长度的平均能量传输率，即波能流 P，假设波浪在传播中不 损失能量时，浅水区等于深水区，即 Ps = P0，有： （Ecn）0=（Ecn）s s ss kh kh cgH kh kh cgH )2sinh( 2 1 2 1 8 1 )2sinh( 2 1 2 1 8 1 2 0 0 2 0 因深水时 sinh（2kh）2kh，则上式左边= 2 1 8 1 0 2 0c gH 浅水时 sinh（2kh）2kh，则上式右边= ssc gH 2 8 1 那么，Ps=（Ecn）s = ssc gH 2 8 1 =（Ecn）0= 2 1 8 1 0 2 0c gH= 216 1 2 0 gT gH =102 32 1 22 g =38310.55（N/s） 第第三三章章 波浪传播波浪传播和和破碎破碎 3.1 试述波浪守恒和波能守恒的意义？何谓波浪浅水变形？ 答： 波浪守恒：波数向量随时间的变化必为角频率的局部变化所平衡。在稳定波场，因 波数向量不随时间变化，使得浅水区周期不随水深变化而变化，周期不变的特性不但为 分析波浪浅水变形提供了方便，而且为实验模拟实际波浪提供了理论依据。 波浪正向行进海岸传播时，单宽波峰线上的波能流保持不变，即为波能守恒。这为 研究波浪的浅水变形提供了理论依据。 当波浪传播至水深约为波长的一半时，波浪向岸传播时，随着水深的变化其波速、 波长、波高及波向都将发生变化，此现象即为浅水变形。 3.2 何谓波浪折射？斯奈尔折射定律意义何在？ 答：当波浪斜向进入浅水区后，同一波峰线的不同位置将按照各自所在地点的水深决定其波 速，处于水深较大位置的波峰线推进较快，处于水深较小位置的推进较慢，波峰线就因 此而弯曲并渐趋于与等深线平行，波峰线则趋于垂直于岸线，这种波峰线和波向线随水 深变化而变化的现象就是波浪折射。 斯奈尔定律就是对波峰线和波向线随水深变化而变 化这一现象的数学描述。按此定律即可绘制波浪折射图。 3.3 若深水波高H0=1m,周期T=5s,深水波向角 0=45,等深线全部平行,波浪在 传播中不损失能量,计算水深 h=10m,5m,2m 处的波高。(用线性波理论) - 7 - 解：由弥散方程khgk tanh 2 T 2 , L k 2 利用题 2.6 可得当 T=5s,h=10m 时,L=36.563m,c=7.313m/s,kh=1.72,h/L=0.270.5 h=5m 时,L=30.289m,c=6.058m/s,kh=1.035,h/L=0.1650.5 h=2m 时,L=20.942m ,c=4.188m/s,kh=0.600,h/L=0.0950.5 故 h/L0.5，均视为浅水区，应考虑波浪的浅水变形和折射影响。 当水深 h=10m 时 浅水变形系数 ii s nc c k 2 0 其中 14. 32 58 . 9 2 0 gT c=7.8m/s i c7.313m/s )2sinh( 2 1 2 1 kh kh ni= 577.15 44. 3 1 2 1 =0.61 故 61. 0313. 72 8 . 7 s k0.935 波浪折射系数 i r k cos cos 0 有 00 sin sin c ci i 可得 i 41.5 故 5 .41cos 45cos r k0.97 则 0 HkkH rsi 0.9350.9710.907m 同理 当水深 h=5m 时， 0 c=7.8m/s i c6.058m/s i n0.765 i 33.31 765. 0058. 62 8 . 7 s k0.917 31.33cos 45cos r k0.92 0 HkkH rsi 0.9170.9210.844m 当水深 h=2m 时， 0 c=7.8m/s i c4.188m/s i n0.897 i 22.31 897. 0188. 42 8 . 7 s k1.019 31.22cos 45cos r k0.87 0 HkkH rsi 1.0190.8710.886m - 8 - 3.9 若海滩坡度为 1/20, 深水波高 H0=1m,周期 T=5s,等深线完全平行, 求波浪 正向入射时，波浪在海滩上破碎时破碎水深及破波高. 解：由(3-84)或（3-85）可得，tg=1/20=0.050.07 则：b=(1.4-6.85tg)-1=0.946 有 Hb/hb=0.946 而深水波长 Lo=gT2/2=39.01m 由（3-87）可得破波高 1/71/41/71/4 000 0.76(tan)(/)1 0.76 (1/20)(1/39.01) b HHHL （正向入射，没有折射，因此 00 1HHm） 所以破碎水深 hb=Hb/0.946 3.10 上题若波浪斜向入射，深水波向角 0=45，求破波水深及破波高。 解：因深水波长 2 0 9.81 25 L39.05 26.28 gT m ，波速 0 9.81 5 c7.81 26.28 gT m/s 按教材公式（3-88）即下式可计算波浪破碎处的破波角。 000 (0.25 5.5/)45 (0.25 5.5 1/39.05)17.59 b HL 那么波浪折射系数 kr为：861. 0 cos cos 0 b r k 考虑折射后的等价水深考虑折射后的等价水深 00 0.861 r Hk Hm 由（3-87）可得可得破波高破波高 1/71/41/71/4 000 0.76(tan)(/)0.861 0.76 (1/20)(0.861/39.01) b HHHL 应用公式（3-85）可得破碎指标b=0.72+5.6tg0.72+5.6（1/20） 所以破碎水深 / bbb hH 第第五五章章 海岸波生海岸波生流流 5.2 简述辐射应力在浅水区和破波带的变化规律。 答：考虑波浪正向入射、岸线平直、等深线与岸线平行的一维情况，则辐射应力的表达式为 )2sinh( 2 2 1 8 1 2 kh kh gHSxx 在浅水区，水深沿程减小，即 h0 时，sinh（kh）kh，那么，上式变为 2 8 1 2 3 gHSxx 又由于在浅水区，随着水深的逐渐变小，波高 H 在逐渐增大，则 xx S沿程增大； - 9 - 在破波带，波浪破碎发生能量损失，破碎后波高衰减，破后波波高 H 随着水深 h 的减小而减小，则 xx S沿 程变小。 5.3 波浪增减水是如何发生的? 答：波浪传到浅水区发生浅水变形，波高增大直至破碎，破碎后波高衰减。波高的这种先增大再减小的 变化，势必引起辐射应力的沿程变化。 考虑波浪正向入射、岸线平直、等深线与岸线平行的一维情况，此时时均流速为 0，底摩阻和紊动应 力消失，那么，x 向的动量方程变为： x hg x Sxx )( 在破波带外的浅水区，波高随水深减小而增大，因而辐射应力也沿程增大，即0 x Sxx ，那么，由 上式