2018届高考数学不等式推理与证明算法初步与复数39数学归纳法试题理.DOC

考点测试39数学归纳法一、基础小题1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1 B2 C3 D0答案C解析边数最少的凸n边形是三角形2用数学归纳法证明“1aa2an，a1，nN*”，在验证n1时，左边是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案B解析当n1时，代入原式有左边1a.故选B.3对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时， 11，不等式成立(2)假设nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立上述证法()A过程全都正确Bn1检验不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析n1的验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故应选D.4利用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10答案B解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.故选B.7下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)答案D解析(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36，这就是说，kn1时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任何kN*都成立故选D.8设f(n)，nN，那么f(n1)f(n)()A. B.C. D.答案D解析f(n1)f(n).9用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1时正确，再推n2k3正确(kN)B假使n2k1时正确，再推n2k1正确(kN)C假使nk时正确，再推nk1正确(kN)D假使nk(k1)时正确，再推nk2时正确(kN)答案B解析因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n2k1正确，再推第k1个正奇数，即n2k1正确10已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a、b、c答案A解析等式对一切nN*均成立，n1,2,3时等式成立，即整理得解得a，bc.11在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_答案an解析因为Snn(2n1)an，当n2,3,4时，得出a2，a3，a4.a1，a2，a3，a4.an.12已知f(n)1(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k1)f(2k)_.答案解析f(2k1)1，f(2k)1，f(2k1)f(2k).二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型三、模拟小题132016山东淄博质检设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，那么下列命题总成立的是()A若f(1)2成立，则f(10)11成立B若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立C若f(2)1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)nln (n1)证明如下：证法一：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln .下面用数学归纳法证明当n1时，ln 2，结论成立假设当nk时结论成立，即ln (k1)那么，当nk1时，ln (k1)ln (k1)ln ln (k2)，即结论成立由可知，结论对nN成立证法二：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln .故有ln 2ln 1，ln 3ln 2，ln (n1)ln n，上述各式相加可得ln (n1).结论得证证法三：如图，dx是由曲线y，xn及x轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，dxdxnln (n1)，结论得证二、模拟大题32016甘肃诊断已知等差数列an的公差d大于0，且a2，a5是方程x212x270的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn1bn(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn1的大小，并给出证明解(1)由(x9)(x3)0，且d0，可得a23，a59，从而公差d2，a11，an2n1(nN*)Tn1bn，令n1，可得b1T11b1，解得b1.当n2时，bnTnTn1bn1bn，得(n2)，数列bn是以为首项，为公比的等比数列bnn1(nN*)(2)Snn2，Sn1(n1)2，.当n1时，S24，S2；当n2时，S39，S3；当n3时，S416，S5；猜想：n4时，Sn1.以下用数学归纳法证明：n4时，不等式成立假设当nk(kN*，k4)时，不等式成立，即(k1)2，则当nk1时，33(k1)23k26k3(k24k4)(2k22k1)k24k4(k2)2Sk2，当nk1时，不等式也成立由可知，当nN*，n4时，Sn1成立综上所述，当n1,2,3时，Sn1.42017山东济南模拟已知函数f(x)aln x(aR)(1)当a1时，求f(x)在x1，)内的最小值；(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)求证ln (n1)(nN*)解(1)当a1时，f(x)ln x，定义域为(0，)因为f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以f(x)在x1，)内的最小值为f(1)1.(2)f(x)，因为f(x)存在单调递减区间，所以f(x)0有正数解，即ax22(a1)xa0有正数解当a0时，明显成立当a0时，h(x)ax22(a1)xa是开口向下的抛物线，所以ax22(a1)xa0时，h(x)ax22(a1)xa是开口向上的抛物线，即方程ax22(a1)xa0有正根因为x1x210，所以方程ax22(a1)xa0有两正根，所以解得0a.综合知，a1，ln 2，