基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案.pdf

基本不等式及其应用 1基本不等式 若a0,，b0，则，当且仅当 时取“” 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均 数 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值（三 相等） 2常用不等式 (1)a2b2(a，bR) (2) 注：不等式a2b22ab和它们成立的条件不同，前者只要求a、b都 是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab（）2. (3) ab (a，bR) (4)2(a，b同号且不为0) (5)(a，bR). （6） (7)abc; (8)； 3利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a0，b0，当ab为定值时，ab，a2b2有 ， 即ab ，a2b2 . (2)求最大值：a0，b0，当ab为定值时，ab有最大值，即 ；或a2b2为定值时，ab有最大值(a0，b0)，即 . 设a，bR，且ab3，则2a2b的最小值是( ) A.6 B.4 C.2 D.2 解：因为2a0，2b0，由基本不等式得2a2b224，当且仅 当ab时取等号，故选B. 若a0，b0，且a2b20，则ab的最大值为( ) A. B.1 C.2 D.4 解：a0，b0，a2b2，a2b22，即ab.当且仅当a 1，b时等号成立.故选A. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均 时速为v，则( ) A.av B.v C.v D.v 解：设甲、乙两地之间的距离为s. ab，v. 又vaa0，va.故选A. ()若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_. 解：由xy1得x22y2x22，当且仅当x时等号成立.故填2. 点(m，n)在直线xy1位于第一象限内的图象上运动，则log2m log2n的最大值是_. 解：由条件知，m0，n0，mn1， 所以mn， 当且仅当mn时取等号， log2mlog2nlog2mnlog22，故填2. 类型一 利用基本不等式求最值 (1)求函数y(x1)的值域. 解：x1，x10，令mx1，则m0，且ym 5259，当且仅当m2时取等号，故ymin9. 又当m或m0时，y，故原函数的值域是9，). (2)下列不等式一定成立的是( ) A.lglgx(x0) B.sinx2(xk，kZ) C.x212(xR) D.1(xR) 解：A中，x2x(x0)，当x时，x2x. B中，sinx2(sinx(0，1)； sinx2(sinx1，0). C中，x22|x|1(|x|1)20(xR). D中，(0，1(xR).故C一定成立，故选C. 点拨： 这里(1)是形如f(x)的最值问题，只要分母xd0，都可以将f(x) 转化为f(x)a(xd)h(这里ae0；若ae0，可以直接利用单调性 等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值. (2)牢记基本不等式使用条件一正、二定、三相等，特别注意等 号成立条件要存在. (1)已知t0，则函数f(t)的最小值为 . 解：t0，f(t)t42， 当且仅当t1时，f(t)min2，故填2. (2)已知x0，y0，且2x8yxy0，求： ()xy的最小值； ()xy的最小值. 解：()由2x8yxy0，得1，又x0，y0， 则12，得xy64， 当且仅当x4y，即x16，y4时等号成立. ()解法一：由2x8yxy0，得x，x0，y2， 则xyy(y2)1018， 当且仅当y2，即y6，x12时等号成立. 解法二：由2x8yxy0，得1， 则xy(xy)1010218，当且仅当y6，x12时等 号成立. 类型二 利用基本不等式求有关参数范围 若关于x的不等式(1k2)xk44的解集是M，则对任意实常 数k，总有( ) A.2M，0M B.2M，0M C.2M，0M D.2M，0M 解法一：求出不等式的解集：(1k2)xk44x(k21) 2x22(当且仅当k21时取等号). 解法二(代入法)：将x2，x0分别代入不等式中，判断关于k的不 等式解集是否为R. 故选A. 点拨： 一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成 立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数 的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题： (1) af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min； (3)af(x)有解af(x)min； (4)af(x)有解af(x)max. 已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数.若关于x的 不等式 mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围. 解：由条件知m(exex1)ex1在(0，)上恒成立. 令tex(x0)，则t1，且m 对任意t1成立. t11213， ， 当且仅当t2，即xln2时等号成立. 故实数m的取值范围是. 类型三 利用基本不等式解决实际问题 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利 用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙 上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修 建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总 费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m， 则y45x180(x2)1802a225x360a360. 由已知xa360，得a， 所以y225x360(x2). (2)x0，225x210800， y225x36010440， 当且仅当225x，即x24时等号成立. 答：当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的 无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体 的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的 乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排 出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计). 解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数， 根据题意可知：y，其中k是比例系数且k0. 依题意要使y最小，只需ab最大. 由题设得：4b2ab2a60(a0，b0)， 即a2b30ab(a0，b0). a2b2， 2ab30，得03. 当且仅当a2b时取“”号，ab最大值为18，此时得a6，b3. 故当a6 m，b3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少. 解法二：同解法一得b，代入y求解. 1.若a1，则a的最小值是( ) A.2 B.a C.3 D. 解：a1，aa1121213，当a2时等号成 立.故选C. 2.设a，bR，ab，且ab2，则下列各式正确的是( ) A.ab1 B.ab1 C.1ab D.ab1 解：运用不等式ab2ab1以及(ab)22(a2b2)2a2b2(由于 ab，所以不能取等号)得，ab1，故选A. 3.函数f(x)在(，2)上的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解：当x2时，2x0，因此f(x)(2x)22，当且仅当 2x时上式取等号.而此方程有解x1(，2)，因此f(x)在(， 2)上的最小值为2，故选C. 4.()要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容 器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的 最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解：假设底面的长、宽分别为x m， m，由条件知该容器的最低总 造价为y8020x160，当且仅当底面边长x2时，总造价最低，且 为160元.故选C. 5.下列不等式中正确的是( ) A.若a，bR，则22 B.若x，y都是正数，则lgxlgy2 C.若x0，则x24 D.若x0，则2x2x22 解：对于A，a与b可能异号，A错；对于B，lgx与lgy可能是负数， B错；对于C，应是x24，C错；对于D，若x0，则2x2 x22成立(x0时取等号).故选D. 6.()若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是( ) A.62 B.72 C.64 D.74 解：因为log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a 4bab，且 即a0，b0，所以1(a0，b0)，ab(ab)7 7274，当且仅当时取等号.故选D. 7.若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是. 解：因为x0，所以x2(当且仅当x1时取等号)， 所以有， 即的最大值为，故填a. 8.()设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxy m30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_. 解：易知定点A(0，0)，B(1，3). 且无论m取何值，两直线垂直. 所以无论P与A，B重合与否，均有 |PA|2|PB|2|AB|210(P在以AB为直径的圆上). 所以|PA|PB|(|PA|2|PB|2)5. 当且仅当|PA|PB|时，等号成立.故填5. 9.(1)已知0x，求x(43x)的最大值； (2)点(x，y)在直线x2y3上移动，求2x4y的最小值. 解：(1)已知0x，03x4. x(43x)(3x)(43x)， 当且仅当3x43x，即x时“”成立. 当x时，x(43x)取最大值为. (2)已知点(x，y)在直线x2y3上移动，所以x2y3. 2x4y2224. 当且仅当 即x，y时“”成立. 当x，y时，2x4y取最小值为4. 10.已知a0，b0，且2ab1，求S24a2b2的最大值. 解：a0，b0，2ab1，4a2b2(2ab)24ab1 4ab.且12ab2，即，ab，S24a2b22(14ab)2 4ab1.当且仅当a，b时，等号成立. 11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有 的墙，其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时， 可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少 时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x6y36， 即2x3y18. 设每间虎笼的面积为S，则Sxy. 解法一：由于2x3y22， 218，得xy，即S. 当且仅当2x3y时等号成立. 由解得 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大. 解法二：由2x3y18，得x9y. x0，0y6. Sxyy(6y)y. 0y6，6y0.S. 当且仅当6