医用物理学第08章课后习题解答.pdf

第八章第八章 振动和波振动和波 通过复习后，应该通过复习后，应该: 1.掌握简谐振动方程、波的产生和传播、波动方程、波的能量和强度、波的干涉掌握简谐振动方程、波的产生和传播、波动方程、波的能量和强度、波的干涉; 2.理解简谐振动的能量、简谐振动的合成、惠更斯原理、波的衰减理解简谐振动的能量、简谐振动的合成、惠更斯原理、波的衰减; 3.了解衰减振动、受迫振动、共振、复杂振动的分解、驻波。了解衰减振动、受迫振动、共振、复杂振动的分解、驻波。 8-1 试解释下列名词:简谐振动、振幅、频谱分析、基频、频谱图、波动、横波、纵波、波 阵面、波的强度。 答答: 简谐振动:质点在弹性力（或准弹性力）作用下所作的振动叫简谐振动，其加速度与 离开平衡位置的位移成正比，且方向相反。振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离称为 振幅。 频谱分析:将任一周期性振动分解为多个简谐振动之和的过程，称为频谱分析。 基频:一个复杂的振动可以分解为若干个频率不同的简谐振动之和，这些分振动频率中最 低的频率称为基频，它与原振动的频率相同。 频谱图:将组成一个复杂振动的各分振动的频率和振幅找出来，按振幅与频率关系列出谱 线，这种图称为频谱图。 波动:振动在介质中的传播现象叫波动，它也是一种重要的能量传播过程。其中简谐振动 在介质中传播所形成的波叫简谐波。 横波:波在介质中传播时，如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向垂直，则该波叫 做横波。 纵波:如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向相互平行，则这种波称为纵波。 波阵面:在波传播的介质中，质点振动相位相同的各点连成的面称为波阵面。 波的强度:单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积上的平均能量，称为波的强度。 8-2 有一质点作简谐振动，试分析它在下列位置时的位移、速度、加速度的大小和方向: 平衡位置，向正方向运动;平衡位置，向负方向运动;正方向的端点;负方向的端点。 解解: 设该质点的振动方程为:)cos(tAx 将它对时间 t 分别求一阶导数、二阶导数，可得到速度 v 和加速度 a 的表达式: ) 2 cos()sin( tAtA dt dx v )cos()cos( 22 2 2 tAtA dt xd a 由此可以看出，速度的相位超前位移 2 ，加速度与位移的相位相反。下面根据上面三式来 回答本题中的四个问题。 质点在平衡位置，向正方向运动时: x=0， v=A， a=0 质点在平衡位置，向负方向运动时: x=0， v=-A， a=0 质点在正方向的端点时: x=A， v=0， a=-A2 质点在负方向的端点时: x=-A， v=0， a=A2 8-3 一个作简谐振动的质点，在 t=0 时，离开平衡位置 6cm 处，速度为零，振动周期为 2s， 求该简谐振动的位移、速度、加速度的表达式。 解解:根据题意，t=0 时，质点速度为零，离开平衡位置 6cm，这说明该振动的振幅为 A=6cm， 这时质点可能位于平衡点右侧 6cm 处，或位于平衡点左侧 6cm 处。下面分这两种情况进行 讨论，设该振动方程为: )cos(tAx （a） 第一种情况:位于平衡点右侧 6cm 处，这时位移 x=6cm，将 t=0，A=6cm，x=6cm 代 入（a）式得 cos66 6 解之得， =0。已知 T=2 秒，则 2 2 ，将 A、值代入（a）式可得第一种情况 的位移表达式为 txcos6（cm） （b） 再将（b）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第一种情况的速度、加速度表达式 t dt dx vsin6（cms -1 ） t dt xd acos6 2 2 2 （cms -2 ） 第二种情况:位于平衡点左侧 6cm 处， 这时位移 x=-6cm， 将 t=0， A=6cm， x=-6cm 代入 （a） 式得 -6=6cos 解之得， =。已知=，=，A=6cm，代入（a）式可得第二种情况的位移表达式 ttxcos6)cos(6 （c） 再将（c）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第二种情况的速度、加速度表达式 t dt dx vsin6（cms -1 ） t dt xd acos6 2 2 2 （cms -2 ） 8-4 两个物体作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，分别是 0.1m 和 2s，当 t=0 时，一 物体的位移为 0.1m，另一物体的位移为-0.1m，问两者的相位差是多少?当 t=1s 时，它们的 位移各是多少? 解解: 已知 A=0.1m，T=2s，则=2T=rads -1 ，设它们的振动方程分别为 )cos( 11 tAx （a） )cos( 22 tAx （b） 已知 t=0 时，x 1 =0.1m，x 2 =-0.1m，则由（a）式和（b）式可得 x 1 =0.1cos 1 =0.1 x 2 =0.1cos 2 =-0.1 分别解上面两式得 1 =0， 2 =，因此两者的相位差 2 - 1 =。两振动的方程分别为 x 1 =0.1cos（t） （c） x 2 =0.1cos（t+） （d） 当 t=1s，由上面的（c）式和（d）式可得到它们的位移分别为 x 1 =0.1cos（+0）m=-0.1m x 2 =0.1cos（+）m=0.1m 8-5 两个同频率、同方向的简谐振动，周期为 20ms，振幅分别为 1.0cm 和 3.0cm，求:两 者合振动的圆频率;当两者的相位差分别为 0、3、2、时，合振动的振幅各是多少? 解解: 由于是两个同频率、同方向的振动合成，所以合振动的频率不变，即其圆频率为 02 . 0 14 . 3 22 21 T rads -1 =100rads -1 314rads -1 已知分振动的振幅 A 1 =1.0cm，A 2 =3.0cm，合振动的振幅 A 与两个分振动的振幅 A 1 、 A 2 及相位差 1 - 2 有以下关系: )cos(2 2121 2 2 2 1 AAAAA 当相位差 2 - 1 =0 时，两个分振动同相位，合振动的振幅为 A=A 1 +A 2 =（1.0+3.0）cm=4.0cm 当相位差 3 12 时，合振动的振幅为 ) 3 cos(31231 22 A cm=13cm3.6cm 当相位差 2 - 1 = 2 时，合振动的振幅为 ) 2 cos(31231 22 A cm=10cm3.2cm 当相位差 2 - 1 =时，两个分振动相位相反，合振动的振幅为 A=|A 1 -A 2 |=|1.0-3.0|cm=2.0cm 8-6 有三个同方向的简谐振动，它们的频率分别为 100Hz、200Hz、300Hz，问:三者合成 后是否仍为简谐振动?合振动的周期是多少? 解解: 由于分振动的频率不同， 所以它们合成后将不是简谐振动。 合振动的频率为 100Hz， 周期 T= 100 1 s=0.01s。 8-7 弹簧振子作简谐振动时，若其振幅增为原来的两倍，而频率降为原来的一半，它们的能 量怎样改变? 答答: 弹簧振子作简谐振动时，其能量为 22 2 1 AmE，若其振幅 A 增为原来的两倍，而频 率降为原来的一半，结果能量没有改变。 8-8 什么叫阻尼振动、受迫振动、共振?在受迫振动中振子受到哪三个力的作用?受迫振动达 到稳定时有什么特点? 答: 在振动中，由于各种因素的影响，能量会减少，振幅也随之减小，这种振幅随时 间而减小的振动，称为阻尼振动。 振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动，叫做受迫振动。在受迫振动中，振子同 时受到三个力的作用:弹性力、阻尼力、周期性外力。受迫振动达到稳定状态时，振幅保持 一定，如果外力是按简谐运动规律变化，则稳定后的受迫振动也是简谐振动，且振动频率等 于外力变化的频率。 在受迫振动中，当周期性外力的频率接近系统的固有频率时，振动的振幅急剧增大，这种 现象叫做共振。 8-9 要产生机械波必须具备哪两个条件?当波动在通过不同介质时，它的波长、频率、速度 中哪些会发生变化?哪些不会改变? 答答: 要产生机械波必须具备两个条件:第一，要有作机械振动的物体，即波源;第二，要有 能够传播这种机械振动的弹性介质。 当波动通过不同的介质时，波长和波速会发生变化，而频率不会改变。 8-10 已知波动方程式 y=Msin（bt-ax） ，试求该波的振幅、波速、频率和波长。 解解: 先将题目给的波动方程进行变换: 2 )(cos)(sin)sin( b ax tbM b ax tbMaxbtMy （a） 而波动方程的通用形式为 )(cos c x tAy （b） 将（a）式和（b）式比较可得 振幅: A=M 波速: a b u 频率: 2 b f 波长: a 2 。 8-11 有一沿 X 轴正方向传播的简谐波，在原点处质点的振动方程为t T Ay 2 cos，已知 A=0.02m，T=3s，波速 u=2ms -1 。求:波动方程;在 X 轴正方向离原点 5m 处质点的振 动方程;当 t=2.5s 时，原点处质点的位移;当 t=2.5s 时，在 X 轴正方向离原点 5m 处质点 的位移。 解解: 已知 A=0.02m，T=3s，则=2T=23，根据题意，可得原点的振动方程为 tt T Ay 3 2 cos02.0 2 cos 已知波速 c=2ms -1 ，由上式可进一步得到波动方程为 ) 2 ( 3 2 cos02. 0 x ty （1） 已知 x=5m，可得在 X 轴正方向离原点 5m 处质点的振动方程为 ) 3 5 3 2 cos(02.0) 2 5 ( 3 2 cos02.0 tty ) 33 2 cos(02.0 t 已知在（1）式中，t=2.5s，x=0，则有 ) 3 2cos(02. 0 3 5 cos02. 0 ym =0.01m 已知在（1）式中，t=2.5s，x=5m，有 ) 2 5 5 . 2( 3 2 cos02. 0ym =0.02m 8-12 在空气中 P 点声波的强度为 2.010 5 Wm -2 ，振动幅度为 2mm，空气的密度为 1.29kgm -3 ，波速为 344ms -1 。求:声波的波长;P 点的平均能量密度。 解解: 求波长:已知 I=2.010 5 Wm -2 ，A=2mm=210 -3 m，=1.29kgm -3 ，由声波强 度公式 22 2 1 AuI，可得角频率 23 5 2 )102(34429. 1 100 . 222 uA I rads -1 =1.510 4 rads-1 由=2f，可得 f=/2=1.510 4 /6.28=2.3910 3 Hz。由 u=f，可得声波的波长为 3 1039. 2 344 f u m0.144m 求 P 点平均能量密度:比较平均能量密度公式 22 2 1 Aw 和波的强度公式 22 2 1 AuI ，可得 P 点的平均能量密度w为 344 100 . 2 5 u I wJm -3 581Jm -3 8-13 一物体作周期为 0.005s 的谐振动， 振幅为 0.2cm， 该振动在空气中形成以 332m s -1 速 度传播的平面波（设波在传播中无衰减） ，空气的密度为 1.29kgm -3 。求该平面波的波 动方程;该波的强度。 解解:波动方程:已知 005. 0 22 T =400rad s -1 ， A=0.2cm=210 -3 m， c=332m s -1 ， 则该平面波的波动方程为 ) 332 (400cos102)(cos 3 x t u x tAy 波的强度:又知=1.29kgm -3 ，将、A、u、值代入波的强度公式得 22 2 1 AuI =121.29332（400）2 （210 -3 ）2 Wm -2 1351Wm -2 8-14 已知波源 O 的振动方程为ty 9 cos06. 0 （单位为 m） ，以 2ms-1 的无衰减地向 x 轴正方向传播。求:x=10m 处的振动方程;10m 处质点与波源 O 的振动相位差。 解解: 已知波源 O 的振动方程为ty 9 cos06. 0 ，则其振幅为 A=0.06m，角频率 9 ， 又知 u=2ms -1 ，则该波的波动方程为 ) 2 ( 9 cos06. 0 x ts 由它可得 x=10m 处的质点振动方程为 )5( 9 cos06. 0ty ） 由上式和波源的振动方程可得波源 O 与 x=10m 处质点的相位差为 9 5 )5( 99 tt 8-15 设某列波的波动方程为) 100 (10sin10 x tycm，求在波线上 x 等于一个波长处的 质点位移方程。 解解: 由本题的波动方程可知=10，f=5Hz，u=100cms -1 ，由 u=f可得波长为 5 100 f u cm=20cm 在 x=20cm 处的质点位移方程为 )210sin(10) 5 1 (10sin10tty=10sin10t（cm） 8-16 什么叫波的干涉、相干波?初相位相同的两列相干波发生干涉时，合振动的振幅什么时 候最大?什么时候最小? 答: 当频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两列波在空间相遇时，使得某 些点的振动始终加强，而另一些点的振动始终减弱或完全抵消，这种现象叫做波的干涉。能 产生干涉现象的两列波叫做相干波。 初相位相同的两列相干波发生干涉时， 如果两波的波程差等于半波长的偶数倍 （或波长的 整数倍） ，则合振动的振幅最大;如果波程差等于半波长的奇数倍，则合振动的振幅最小。 8-17 O 1 和 O 2 是两个同方向、同频率、同相位、同振幅的波源所在处，设它们在介质中产 生的波列的波长为，O1 、O2 之间的距离为 1.5，P 是 O1 、O2 连线上 O2 点外侧的任 意点。求:O1 、O2 两点发出的波到达 P 点时的相位差;