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第二章习题答案 2- 2 验证验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。的状态变化为一个生灭过程。 解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间(), t tt+ 内从状态k转移到k+1（k=0）的概 率为()tot +，为状态k的出生率； 当有顾客服务完毕离去时，在时间(), t tt+ 内从状态k转移到k- 1（k=1）的概率为 ()tot +，为状态k的死亡率； 在时间(), t tt+ 内系统发生跳转的概率为()ot； 在时间(), t tt+ 内系统停留在状态k的概率为()()1tot+ +； 故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。 2- 3 对于一个概率分布对于一个概率分布 k p，令，令( ) = =+= 0 2 210 . k k kx pxpxppXg 称为分布称为分布 k p的母函数。的母函数。 利用母函数求利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。队长的均值和方差。 解：对于M/M/1 )1 (= k k p 0k () 1 222 12 11 1 ( )(1)(1).(1) 1 ( )/ 1 ( )/ ( ) 1 z kkz kk g zz z E kg z Var kk pkpgzE kE k = = = =+= = =+= 2- 4 两个随机变量两个随机变量 X,Y 取非负整数值，并且相互独立，令取非负整数值，并且相互独立，令 Z=X+Y，证明：，证明：Z 的的 母函数为母函数为 X,Y 母函数之积。根据这个性质重新证明性质母函数之积。根据这个性质重新证明性质 2- 1。 证：设 Z(!此处应为 X ?)的分布为：., 210 ppp，Y 的分布为：., 210 qqq 由于 = = =+= k r rkr k r k r qprkYprXprkYrXpkYXpkZp 000 , PDF created with pdfFactory trial version ()()()(). 011001100 2 210 2 210 0 +=+ k kkk xqpqpqpxqpqpqpxqxqqxpxpp 所以 g(Z)=g(X)g(Y) 对于两个独立的 Poisson 流，取任意一个固定的间隔 T，根据 Poisson 过程性质，到达 k 个 呼叫的概率分别为： T k i k i e k T Tp = ! )( )( i=1,2 这两个分布独立 分布列的母函数分别为： )1( 00 ! )( )( = = = xTTTx k Tk k i k k k iiii eeeex k T xTp 他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积 ) 1()()1()1( 2121 + = xTxTxT eee 所以 合并流为参数 21 +的 Poisson 过程。 2- 7 求求 k+1 阶爱尔兰（阶爱尔兰（Erlang）分布）分布 1+k E的概率密度。的概率密度。 可以根据归纳法验证， 1+k E的概率密度为 x k e k x ! )( x=0 证明： 利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求ZXY=+的分布，当 X 和 Y 相互独立时， 且边缘密度函数分别为( ) X fx和( ) Y fy，则( )( )() ZXY fzfx fzx dx = 。 1k +阶 Erlang 分布是指1k +个彼此独立的参数为的负指数分布的和。 用归纳法。 当1k =时，需证 2 阶 Erlang 分布的概率密度为 2x xe ( ) ()22 1 tt t xxtt fteedxedxte = 令nk=时成立，即( ) () ! k t k t fte k = 则当1nk=+时， PDF created with pdfFactory trial version ( )( )() () () 1 21 () ! () !1 ! k tt t xx kk kk t tkt x ftfx f tx dxeedx k t ex dxe kk + + = = + PDF created with pdfFactory trial version 第三章习题答案 3- 1 证明：证明： ), 1( ), 1( ),( asaBs asaB asB + = 证： 11 0 111 000 ! (1, )(1)!(1)! ! ( , ) (1, ) ! (1)!(1)! sss k s k sssss kkk kkk aa a a a k aB sass s B s a aasaB sa aaa sas kkk ss = = = + + 3- 2 证明： （证明： （1）as asBas assB asC =, ),(1 ),( ),( （2）asaB asaBas asC= + = ，且1), 0( ), 1()(1 1 ),( 1 （1）证： ),( /1 1 ! ! )/1 ( ! ! ! ! ! ! ! ),(1 ),( 0 1 0 1 000 1 0 0 asC sa p s a k a sa s a s a k a s a k a s a k a k a as k a s a s asBas assB s s k k s s s k k s k k s s k k s k k s k k s = = + = = = = = = = （2）证： ),( /1 1 ! ! )/1 ( ! ! )!1( ! )(1 1 ), 1()(1 1 0 1 0 1 1 0 1 asC sa p s a k a sa s a s a s a a k a as asaBas s s k ks s s s k k = = + = + = + = = 3- 3 在例在例 3.3 中，如果呼叫量分别增加中，如果呼叫量分别增加 10，15，20，请计算呼损增加的，请计算呼损增加的 幅度。幅度。 PDF created with pdfFactory trial version 话务量 a=21.9 24.09 25.185 26.28 s=30 0.020 0.041 0.054 0.069 增加的幅度 103% 170% 245% 话务量 a=5.08 5.588 5.842 6.096 s=10 0.020 0.031 0.038 0.046 增加的幅度 55% 90% 130% 3- 4 有大小有大小 a10erl 的呼叫量，如果中继线按照顺序使用，请计算前的呼叫量，如果中继线按照顺序使用，请计算前 5 条中继 线每条通过的呼叫量。 条中继 线每条通过的呼叫量。 解： 第一条线通过的呼叫量：a1=a1- B(1,a)=101- 0.9090=0.910erl 第二条线通过的呼叫量：a2=aB(1,a)- B(2,a)=100.9090- 0.8197=0.893erl 第三条线通过的呼叫量：a3=aB(2,a)- B(3,a)=100.8197- 0.7321=0.876erl 第四条线通过的呼叫量：a4=aB(3,a)- B(4,a)=100.7321- 0.6467=0.854erl 第五条线通过的呼叫量：a5=aB(4,a)- B(5,a)=100.6467- 0.5640=0.827erl 3- 6 对对 M/M/s 等待制系统，如果等待制系统，如果 sa，等待时间为，等待时间为 w，对任意，对任意 t0。 请证明：请证明： ts easCtwP )( ),( =。 证：sa = = = sk kk k kk ptwPptwPtwP 0 = = sk r ts r k e r ts twP 0 ! )( ， skp s a s a p sk s k = 0 )( ! )( ! )( ! )( ! )( ! )( ! . ! )( 00 0 0 00 0 = = = = = = = l l l r r ts s sk sk sk r r ts s sk sk s sk r ts r s a r ts ep s a lsk s a r ts ep s a p s a s a e r ts twP 令 交换次序，得： PDF created with pdfFactory trial version 00 00 ()() 0 ()1() ( )( ) !1/! 1 ( , ) !1/ srsr s tls tr rl rr s stst aas taas t P wtp ep e ssrssa sr a p eC s a e sa s = = = 3- 12 考虑考虑 Erlang 拒绝系统拒绝系统，或或 M/M/s（s）系统系统，a/。一个。一个观察者观察者随机随机观察观察 系统系统并且并且等待到下等待到下一个呼叫一个呼叫到来到来。 请证明：请证明：到来到来的呼叫的呼叫被拒绝被拒绝的概率为：的概率为：),(asB sa a p + =。 证： 随机观察系统， 下一个到来的呼叫被拒绝的必要条件为系统在随机观察时处于状 态 s，其概率为 B(s,a)。 其次，下一个到来的呼叫被拒绝必须在到达间隔 T 内，正在服务得 s 个呼叫没有 离去，这个事件的概率为 P。 T 服从参数为 的负指数分布，在 T 内没有呼叫离去的概率为： Ts e ， 则： as a s dTeeP TTs + = + = 0 最后，到来的呼叫被拒绝的概率为：),(asB as a + PDF created with pdfFactory trial version 第四章习题答案 4.1 解：),( RRR asBaaa+= 现 10,10, 5 . 0=sa 令 ),10(5 . 010)( ),()( RRR RRR aBaaF asBaaaF += += 迭代起点 67.11287 . 0 *65.11*5 . 010)65.11( 65.11285 . 0 *61.11*5 . 010)61.11( 61.11281 . 0 *51.11*5 . 010)51.11( 51.11270 . 0 *25.11*5 . 010)25.11( 25.112373 . 0 * 5 . 10*5 . 010) 5 . 10( 5 . 10 =+ =+ =+ =+ =+ = F F F F F aR 总呼叫量 erlaR65.11 总呼损 287 . 0 )65.11,10(),(= BasB R 4.4 解： 617 . 2 20 . 1 120 . 0 *10)10,12(*10 872 . 1 95 . 0 132 . 0 *2 . 7)2 . 7 , 9(*2 . 7 = = = = AC AC AB AB B B 在 AD 上，溢出呼叫流的特征 489 . 4 15 . 2 =+= =+= ACAB ACAB 利用 Rapp 方法：088 . 2 = z 811.10 ) 1)(1( ,11 64.111 1 )( 304.11) 1(3 = + + = = = + + = =+= z zs a s z za s zza 则向下取整 故等效系统为：a10.811erl,而 s11 PDF created with pdfFactory trial version 查表得，在 AD 中继线为 8 时，B（11+8，10.811） 0.01 4.5 解：a10，s14 (1) 通过呼叫量 erlBaa44 . 9 )056 . 0 1 (*10)10,14(1 (* = 根据例 4.3 方查80 . 6 )056 . 0 084 . 0 (101*44 . 9 ),(), 1(1 =asBasBaav 峰值因子72 . 0 = a v z （2）根据 Wilkinson 定理 到达得呼叫量erl56. 0056. 0*10= 237 . 2 254 . 1 ) 1 1 ( = = + += v z as a v 峰值因子 4.7 解：首先，在直达路由时 B（2，1）0.2 B(2,2)=0.4 B(2,3)=0.53 所以，在 a1，2，3erl 时，网络平均呼损分别为 0.2，0.4，0.53 在由迂回路由时，由于对称关系，假定边阻塞率为 b，边上到达的呼 叫量为 A，则 A=a+2b(1-b).a 考虑方程：b=B(s,A)=B(2.A) 在 a=1 时，迭代求解为 b=0.28 网络平均呼损13 . 0 )1 (1 2 =bb 56 . 0 64 . 0 3 41 . 0 53 . 0 2 = = 网络平均呼损时在 网络平均呼损时在 ba ba PDF created with pdfFactory trial version 第五章习题答案 5.2. 证性质 5.1(2)：对于有向图，每条边有两个端，它们和边的关系不同。( ) v V dv + 是按端来计 数，恰好将每条边计数一次。( ) v V dv 类似。所以有( )( ) v Vv V dvdvm + = 。 证性质 5.6：首先( )2 v V d vmn = g，所以 2m n 。 一定存在某个端， 它的度为， 则与该端关联的边构成一个大小为的割边集， 所以。 考虑一个大小为的割边集，将每条边换成它的邻端，这是一个大小最多为的割端集， 所以。 综上， 2m n 。 5.4. 证明：考虑树( ,),|,|1TV EVn En=。 某个端不妨设为 n v，()( ) n d vT= 。考虑其余1n个端 121 , n v vv L，如果悬挂点最多只 有( ) 1T个，则： 1 ( )( )( ( ) 1) 12 (1)( ( ) 1) ( )( ) 122 ( )21 n i i d vTTnT TTnTn = + + = + + = 但等式左边22n=，矛盾。 所以T中至少有( )T个悬挂点。 5.6. 2 (1) (1)(1) (1) 111100 11110 ()detdet 11110 n n nnnn n nn t Kn nn = LL LL LLLLLLLL LL 3 ()(2) n n t Kenn = PDF created with pdfFactory trial version 5.7 () , (1) (1) (1) (1) 0 1 0 ()det 0 1 0 n n n m mm n mn m m m t K n n + + = L LLL L L LLL L 将第1,2,1nnnm+L列加到第 1 列，再将第 1 列加回，得： () , (1)(1) (1) (1) (1) () 1 (1)(1) (1) (1) (1) 10 1 1 ()det 010 010 10 0 1 det 010 010 n n n m mnmm n mn m n n mn mnmm n mn m m t K n n m nm n n + + + + = = L LLL L LL LLLLLL LL L LLL L g LL LLLLLL LL 1 5.8. 用 Kruskal 算法： 依次选的边为：(3,6)，(1,3)，(6,7)，(1,2)，(5,6)，(1,4) 用破圈法： 依次去掉的边为：(2,7)，(4,5)，(2,3) 5.10. （1） 用 D 算法： v1 v2 v3 v4 v5 v6 置定端 距离 路由 0 1 0 1 9.2 1.1 3.5 3 1.1 1