一元一次方程知识点及经典例题.doc

一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1.方程：含有_的_叫方程注意：a.必须是等式 b.必须含有未知数。易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程：例：下列式子：(1).8-7=1+0 (2).1、 一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a0)。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是1次； （3） 整式方程2、方程的解： 判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么；(c为一个数或一个式子)。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。即：（其中m0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：=1.6，将其化为： =1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。2、解一元一次方程的一般步骤： 解一元一次方程的一般步骤 变形步骤具 体 方 法变 形 根 据注 意 事 项去分母 方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质2 1不能漏乘不含分母的项； 2分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律、去括号法则 1分配律应满足分配到每一项 2注意符号，特别是去掉括号移 项 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质1 1移项要变号； 2一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同类 项 把方程中的同类项分别合并，化成“”的形式（）合并同类项法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1” 方程两边同除以未知数的系数，得等式性质2 分子、分母不能颠倒要点诠释：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: a0时，方程有唯一解； a=0，b=0时，方程有无数个解； a=0，b0时，方程无解。牛刀小试例1、解方程（1）y- 例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程的解与方程的解相同，求m的值.二、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式： 2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x3y4z0；8；x0。其中方程的个数是()A、5B、6C、7D、8举一反三：变式1判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)变式2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60是一元一次方程，求a的值。变式3（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2xa=1的解,则a的值是( )A5 B5 C7 D2类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1巧凑整数解方程： 2、举一反三：变式解方程举一反三：变式（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。解：原方程可变形为 (_)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_)去括号，得9x+15=4x-2. （_）(_),得9x-4x=-15-2. (_)合并，得5x=-17. (合并同类项)（_）,得x=. （_）6巧组合解方程： 7、8利用整体思想解方程： 9、思路点拨：因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。三、课堂练习一、选择题1、已知下列方程：（1）x-2=;(2) 0.3x=1;(3) =5x-1;(4) x-4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 52、下列四组变形中，正确的是（ ）A 由5x+7=0,得5x= -7 B 由2x-3=0,得2x-3+3=0 C 由=2,得x= D由5x=7,得x=353、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2小时可把空池灌满；单独开乙水龙头3小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（ ）A小时 B小时 C2小时 D3小时4、下列方程中，是由方程7x-8=x+3变形而得到的是（ ）A 7x=x+5 B 7x+5=x C 6x=11 D -8+3=-6x 5、下列方程的变形中，是移项的是（ ）A由3=x，得x=3 B由6x=3+5x，得6x=5x+3 C由2x=-1，得x=- D 由2x-3=x+5，得2x-x=5+36、方程6x=3+5x的解为（ ）A x=2 B x=3 C x=-2 D x=-3 7、方程4(a-x)-4(x+1)=60的解是x=-1，则a为（ ） A -14 B 20 C 14 D -168、动物园的门票售价：成人50元张，儿童30元张。某日动物园售出门票700张，共得29000元。设儿童票售出x张，依题意可列出下列哪个一元一次方程（ ）A、30x+50(700-x)=29000 B、50x+30(700-x)=29000 C、30x+50(700+x)=29000 D、 50x+30(700+x)=290009、解方程-=1，去分母正确的是（ ） A 2(X-1)-3(4X-1)=1 B 2X-1-12+X=1 C 2(X-1)-3(4-X)=6 D 2X-2-12-3X=610、如果-2的倒数是3，那么x的值是（ ）A、 -3 B、 -1 C 、 1 D 、 311、超市同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20，另一台亏本20，则这次出售中商场（ ）A 不赔不赚 B 赚160元 C 赚80元 D 赔80元12、笼中有鸡兔共12只，共40条腿，设鸡有X只，根据题意，可列方程为（ ）A2(12-X)+4X=40 B4(12-X)+2X=40 C 2X+4X=40 D-4(20-X)=X12、已知下列方程：； ；其中一元一次方程的个数是（ ）A2B3 C4 D513、已知关于的方程的解是，则的值是（ ）A-5 B-6 C-7 D814、方程移项后，正确的是 （ ）A B C D 15、方程，去分母得（ ）A B C D 16、甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑25 km，则乙的时速是（ ）A125 km B15 km C175 km D20 km17、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25，另一件赔25，那么这两件衣服售出后商店是（ ）A不赚不赔B 赚8元 C亏8元 D 赚15元二、填空题： 1、圆的周长为4，半径为x,列出方程为 。2、已知方程（m-2）x+5=9是关于x的一元一次方程，则m = .3、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是 。4、3ab与2ab是同类项，则m = .5、若+（y+1）=0,则x-y= .6、某商品的进价为250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8折销售，结果每件商品仍获利10元，那么原来标价为 。7、当x= 时，的值是0.8、7.1班发作业本，若每人发4本，则还余12本，若每人发5本，则还少18本，那么该班有 名学生。9、使为关于的一元一次方程的_（写出一个你喜欢的数即可）10、当_ 时，式子的值是-311、若与在某运算中可以合并，则，12、设某数为，根据下列条件列出方程：（1）某数的比它的相反数大5_；（2）某数的与的差刚好等于这个数的2倍_13、某次数学竞赛共出了15道选择题，选对一题得4分，选错一题扣2分若某同学得36分，他选对了_道题（不选算错）14、某商场对某种商品作调价，按原价8折出售，此时商品的利润率为10，此商品的进价是1000元，则商品的原价是_.15、某人将1000元存入银行，定期两年，若年利率为2.27，则两年后利息为_元，若扣除20的利息税，则实际得到的利息为_元，银行应付给该储户本息共_元三、解答题：1、解方程（1）6x-3(5x-2)=0 (2) 20-2x=x-1 （3）=x-2 (4) -=2（5） （6） （7） （8） 四、 家庭练习一、 填空题：1、已知方程（a-2）x|a|-1=1是一元一次方程，则a=_，x=_2、下列说法：、等式是方程； 、x=4是方程5x+20=0的解； 、x=-4和x=6都是方程x-1=5的解其中说法正确的是_ _（填序号）3、已知代数式与的值互为相反数，那么的值等于_ 4、如果方程 _5、三个连续奇数的和是75，则这三个数分别是_。6、我校球类联赛期间买回排球和足球共16个，花去900元钱，已知排球每个42元，足球每个80元，设排球买了x个。则可列程为 ，7、小慧在一张日历的一横列上圈了连续的四个数，它们的和为22，这四个数为 8、数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是 ，9、自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按0.8元收费，超过10吨的部分按每吨1.5元收费，王老师三月份平均水费为每吨1.0元，则王老师家三月份用水_吨.二、选择题： 1、若ab，则下列式子正确的有（ ）a2b2 ab ab 5a15b1（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2、下列变形中，正确的是A、若ac=bc，那么a=b。 B、若，那么a=bC、，那么a=b。 D、若a=b那么a=b3、给出下面四个方程及其变形：；其中变形正确的是（ ）ABCD4、如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ）A. B. C. - D.- 5、将方程去分母，得到，错在（）A、最简公分母找错B、去分母时，漏乘3项C、去分母时，分子部分没有加括号D、去分母时，各项所乘的数不同6、初一（一）班举行了一次集邮展览，展出的邮票比平均每人3张多24张，比平均每人4 张少26张，这个班共展出邮票的张数是 （ ） A.164 B.178 C.168 D.1747、某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了1200元，其中一个盈利50%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商场（ ）A.不赔不赚B.赔100元 C.赚100元D.赚360元8、某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共70只, 已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条,则鸵鸟的头数比奶牛多 ( )A、20只 B、14只 C、15只 D、13只三、运算题： 1、 2、 3、 4、 5. 6.四当x为何值时，代数式与的值大2.三、一元一次方程应用题（找出等量关系）一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案1、数字问题 要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。 例1、 若三个连续的偶数和为18，求这三个数。例2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程2、日历中的规律：横行相邻两数相差_竖行相邻两数相差_。例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期_例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被_整除。A 3 B 4 C 5 D 6例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？3、等积变形问题常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。例1、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g，应截圆钢多长？例2. 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数）4、 和、差、倍、分问题： 倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。（1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化. 例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？ 例2甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。（2）配套问题：例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）例2. 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 分析：列表法。每人每天人数数量大齿轮16个x人16x小齿轮10个人 等量关系：小齿轮数量的2倍大齿轮数量的3倍 解：设分别安排x名、名工人加工大、小齿轮 答：略.（3）分配问题：例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。例2. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？（比例分配问题 常用等量关系：各部分之和总量。）（4）年龄问题：例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。5、工程问题 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。例1. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(+)3+=1， .例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？6、 打折销售问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）基本关系式：利润售价进价；售价=标价折数；利润率利润/进价 。由可得出利润标价折数进价。由可得出利润率 。 市场经济问题 （1）商品利润商品售价商品成本价 （2）商品利润率100% （3）商品销售额商品销售价商品销售量 （4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售例1、一件衣服标价是200元，现打7折销售。问：买这件衣服需要多少钱？若已知这件衣服的成本（进价）是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？例2、 某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）要掌握行程中的基本关系：路程速度时间。相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间=乙的时间 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 例1. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 （1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390 x=1答：略.（2）分析：相背而行，画图表示为：等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。 解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=