2019届高考数学总复习模块五解析几何限时集训十七圆锥曲线中的定点定值存在性问题文.docx

限时集训（十七）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题基础过关1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,以椭圆的短轴为直径的圆与直线x-y+6=0相切.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆中过右焦点F的弦为AB、过原点的弦为CD,若CDAB,求证:|CD|2|AB|为定值.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,经过椭圆C的右焦点的弦中最短弦的长为2.(1)求椭圆C的方程.(2)已知椭圆C的左顶点为A,O为坐标原点,以AO为直径的圆上是否存在一条切线l交椭圆C于不同的两点M,N,且直线OM与ON的斜率的乘积为716?若存在,求出切线l的方程;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴上,且抛物线上有一点P(m,5)到焦点的距离为6.(1)求该抛物线C的方程.(2)已知抛物线上一点M(4,t),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MDME,判断直线DE是否过定点?并说明理由.4.已知抛物线C:x2=8y与直线l:y=kx+1交于A,B两个不同的点,分别过点A,B作抛物线C的切线,所得的两条切线相交于点P.(1)求证:OAOB为定值(O为坐标原点);(2)求ABP的面积的最小值及此时直线l的方程.能力提升5.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l.已知点A在抛物线C上,点B在l上,ABF是边长为4的等边三角形.(1)求p的值.(2)在x轴上是否存在一点N,当过点N的直线l与抛物线C交于Q,R两点时,1|NQ|2+1|NR|2为定值?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点A1,32,且两个焦点F1,F2的坐标依次为(-1,0),(1,0).(1)求椭圆C的标准方程.(2)设E,F是椭圆C上的两个动点,O为坐标原点,直线OE的斜率为k1,直线OF的斜率为k2,求当k1k2为何值时,直线EF与以原点为圆心的定圆相切?并写出此定圆的标准方程.限时集训(十七) 基础过关1.解:(1)依题意,原点到直线x-y+6=0的距离为b,则有b=612+(-1)2=3.由a2-b2a=12,得a2=43b2=4.椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,易求得|AB|=3,|CD|=23,则|CD|2|AB|=4.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的斜率为k,依题意k0,则直线AB的方程为y=k(x-1),直线CD的方程为y=kx.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).由x24+y23=1,y=k(x-1)得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k28k23+4k22-44k2-123+4k2=12(1+k2)3+4k2.由x24+y23=1,y=kx得x2=123+4k2,则|x3-x4|=433+4k2,|CD|=1+k2|x3-x4|=43(1+k2)3+4k2.|CD|2|AB|=48(1+k2)3+4k23+4k212(1+k2)=4.综合得,|CD|2|AB|=4,为定值.2.解:(1)由题意有ca=22,2b2a=2,又a2-b2=c2,得a2=4,b2=2,所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)由题意可设切线l的方程为y=kx+b,以AO为直径的圆的圆心为(-1,0),半径为1,则有d=|-k+b|k2+1=1,得k=12b-1b.由y=kx+b,x24+y22=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-4kb1+2k2,x1x2=2b2-41+2k2,又kOMkON=y1x1y2x2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2x1x2=716,得b2-32k2+14=0,将k=12b-1b代入上式,有b2-3214b2-2+1b2+14=0,即(b2-4)(7b2-2)=0,所以b=2或b=147.所以b=2时,k=34;b=-2时,k=-34;b=147时,k=-51428;b=-147时,k=51428.所以切线l的方程为y=34x+2或y=-34x-2或y=-51428x+147或y=51428x-147.3.解:(1)由题意设抛物线方程为x2=2py(p0),其准线方程为y=-p2.由于P(m,5)到焦点的距离等于P到准线的距离,所以5+p2=6,所以p=2.所以抛物线方程为x2=4y.(2)由(1)可得点M(4,4),设直线MD的方程为y=k(x-4)+4,且k0,由y=k(x-4)+4,x2=4y,得x2-4kx+16k-16=0.设D(x1,y1),E(x2,y2),则xMx1=16k-16,x1=16k-164=4k-4,y1=(4k-4)24=4(k-1)2.同理可得x2=-4k-4,y2=41k+12,所以直线DE的方程为y-4(k-1)2=4(k-1)2-4(1k+1)24k-4+4k+4(x-4k+4),即y-4(k-1)2=(k+1k)(k-1k-2)k+1k(x-4k+4)=k-1k-2(x-4k+4),化简得y=k-1k-2x+4k-4k=k-1k-2(x+4)+8,直线DE过定点(-4,8).4.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=8y,y=kx+1,消去y得x2-8kx-8=0,方程的两个根为x1,x2,则=64k2+320恒成立,x1+x2=8k,x1x2=-8.A,B在抛物线C上,y1=x128,y2=x228,y1y2=x128x228=(x1x2)264=1.(1)证明:OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),OAOB=x1x2+y1y2=-8+1=-7,为定值.(2)由x2=8y,得y=18x2,则y=14x,kAP=14x1,kBP=14x2,切线AP:y-x128=14x1(x-x1),即y=14x1x-18x12.同理得切线BP:y=14x2x-18x22.由y=14x1x-18x12,y=14x2x-18x22,得2x(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2),而x1x2,故有x=x1+x22=4k,y=x1x28=-1,即点P(4k,-1).|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)(64k2+32)=42(1+k2)(2k2+1),点P(4k,-1)到直线l:y=kx+1的距离d=|4k2+2|1+k2,SABP=12|AB|d=1242(1+k2)(2k2+1)|4k2+2|1+k2=42(2k2+1)32.k20,当k2=0,即k=0时,SABP有最小值42,此时直线l的方程为y=1. 能力提升5.解:(1)由题知,|AF|=|AB|,则ABl.设准线l与x轴交于点D,则ABDF.又ABF是边长为4的等边三角形,ABF=60,所以BFD=60,|DF|=|BF|cosBFD=412=2,即p=2.(2)设点N(t,0),由题意知,直线l的斜率不为零.设直线l的方程为x=my+t,点Q(x1,y1),R(x2,y2).由x=my+t,y2=4x得y2-4my-4t=0,则=16m2+16t0,y1+y2=4m,y1y2=-4t.又|NQ|2=(x1-t)2+y12=(my1+t-t)2+y12=(1+m2)y12.同理可得|NR|2=(1+m2)y22.则有1|NQ|2+1|NR|2=1(1+m2)y12+1(1+m2)y22=y12+y22(1+m2)y12y22=(y1+y2)2-2y1y2(1+m2)y12y22=16m2+8t16(1+m2)t2=2m2+t(2m2+2)t2.若1|NQ|2+1|NR|2为定值,则t=2,此时点N(2,0)为定点.又当t=2,mR时,0,满足题意,所以,存在点N(2,0),当过点N的直线l与抛物线C交于Q,R两点时,1|NQ|2+1|NR|2为定值14.6.解:(1)由椭圆的定义得2a=(1+1)2+(32-0)2+(1-1)2+(32-0)2=4,即a=2,又c=1,所以b2=3,得椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)当直线EF的斜率存在时,设直线EF的方程为y=kx+n,E(x1,y1),F(x2,y2).将直线EF的方程与椭圆方程联立,消去y得(3+4k2)x2+8knx+4n2-12=0,则判别式=48(3+4k2-n2)0,x1+x2=-8kn3+4k2,x1x2=4n2-123+4k2.设k1k2=m,由点E,F在直线y=kx+n上,得(kx1+n)(kx2+n)=mx1x2,整理得(k2-m)x1x2+nk(x1+x2)+n2=0,即(k2-m)4n2-123+4k2+nk-8k