高中数学第三章推理与证明1.2类比推理学案北师大版.docx

1.2类比推理学习目标1.了解类比推理的含义，能进行简单的类比推理.2.正确认识合情推理在数学中的重要作用知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理？答案类比推理梳理类比推理的定义及特征定义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理特征类比推理是两类事物特征之间的推理；利用类比推理得出的结论不一定是正确的知识点二合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假梳理合情推理的定义及分类定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式分类：常见的合情推理有归纳推理与类比推理1由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理()2类比推理是从特殊到特殊的推理()3合乎情理的推理一定是正确的()类型一平面图形与立体图形间的类比例1如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则h12h23h34h4，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，若K，则H12H23H34H4等于多少？考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论解对平面凸四边形：Sa1h1a2h2a3h3a4h4(kh12kh23kh34kh4)(h12h23h34h4)，所以h12h23h34h4；类比在三棱锥中，VS1H1S2H2S3H3S4H4(KH12KH23KH34KH4)(H12H23H34H4)，故H12H23H34H4.反思与感悟(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练1在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2AC2BC2”拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则SSSS解析类比条件：两边AB，AC互相垂直侧面ABC，ACD，ADB互相垂直结论：AB2AC2BC2SSSS.类型二数列中的类比推理例2在等差数列an中，若a100，证明：等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立，并类比上述性质相应的在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)解析在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n.相应地，类比此性质在等比数列bn中，可得b1b2bnb1b2b17n(nbacbc”；由“a(bc)abac”类比得到“sin(AB)sinAsinB”；由“平面内，垂直于同一直线的两直线相互平行”，类比得到“空间中，垂直于同一直线的两直线相互平行”；由“分数的分子、分母同乘一个非零的数，分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子，分数值不变”其中正确结论的个数为()A0B1C2D3考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案B解析当c0时，中类比的结论不正确；显然中类比的结论不正确；空间中，垂直于同一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故中类比的结论不一定成立；中类比的结论是正确的反思与感悟运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，例如实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位因此我们可以从这四个方面进行类比跟踪训练3若椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，当FBAB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为()A.B.C.1D.1考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案A解析在RtABF中，由ABBF可得，则b2ac，即c2a2ac，可得e2e1，又由e1，则e.1下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A三角形B梯形C平行四边形D矩形考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2下面使用类比推理，得出的结论正确的是()A若“a3b3，则ab”类比出“若a0b0，则ab”B“若(ab)cacbc”类比出“(ab)cacbc”C“若(ab)cacbc”类比出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比出“(ab)nanbn”考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案C解析显然A，B，D不正确，只有C正确3根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心4若等差数列an的前n项和为Sn，则Sn(a1an)，类似地正项等比数列bn的前n项积Tn等于()C.(b1bn) D.(b1bn)考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案B解析等差数列an的前n项和为Sn(a1an)，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列bn的前n项积Tn，故选B.5已知圆：x2y2r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0xy0yr2，类比以上结论有：双曲线1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为_考点类比推理的应用题点平面曲线之间的类比答案1解析圆x2y2r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0xy0yr2，可以看作是由x0x代替圆的方程中的x2，由y0y代替y2而得，故类比过圆上一点的切线方程，可类比推理得出过双曲线1上一点P(x0，y0)处的切线方程为1.1进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2多用下列技巧会提高所得结论的准确性(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面一、选择题1在平面上，若两个正三角形的边长之比为12，则它们的面积之比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为12，则它们的体积之比为()A14B16C18D19考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析平面上，若两个正三角形的边长之比为12，则它们的面积之比为14，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出在空间内，若两个正四面体的棱长之比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积之比为18，故选C.2已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b4b5b6b7b8b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929Ba1a2a3a929Ca1a2a3a929Da1a2a3a929考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案D3我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线AxByC0的距离公式为d，通过类比的方法可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x2y2z30的距离为()A3B5C.D3考点类比推理的应用题点平面曲线之间的类比答案B解析类比点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离d，可知在空间中，点P(x0，y0，z0)到直线AxByCzD0的距离d，点(2,4,1)到直线x2y2z30的距离d5，故选B.4设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆的半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，四面体ABCD的体积为V，则R等于()A.B.C.D.考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积的和则四面体的体积为V(S1S2S3S4)R，R.5如图，在梯形ABCD中，ABCD，ABa，CDb(ab)若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF，用类比的方法，推想出下列问题的结果，在上面的梯形ABCD中，延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设OAB，OCD的面积分别为S1，S2，EFAB，且EF到CD与AB的距离之比为mn，则OEF的面积S0与S1，S2的关系是()AS0BS0C.D.考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析在平面几何中类比几何性质时，一般为：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线段的性质，类比推理空间几何中面积的性质，故由“EF”，类比到关于OEF的面积S0与S1，S2的结论是.故选C.6已知双曲线正弦函数shx和双曲线余弦函数chx与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，则下列类比结论中错误的是()Ashx为奇函数，chx为偶函数Bsh2x2shxchxCsh(xy)shxchychxshyDch(xy)chxchyshxshy考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案D解析容易验证A，B，C正确，(exyexyexyexyexyexyexyexy)(2exy2exy)(exyexy)ch(xy)，ch(xy)chxchyshxshy，故选D.二、填空题7等差数列有如下性质：若数列an为等差数列，则当bn时，数列bn也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列cn是正项等比数列，当dn_时，数列dn也是等比数列考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案解析在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列an是等差数列，则当bn时，数列bn也是等差数列，类比推断：若数列cn是各项均为正数的等比数列，则当dn时，数列bn也是等比数列8已知tan且tanx是以为周期的周期函数若a0，且f(xa)，通过类比，f(x)是以T_为周期的周期函数考点类比推理的应用题点函数性质之间的类比答案4a(答案不唯一)解析类比tan与f(xa)可知，与a对应而tanx是以4为周期的周期函数，所以猜想f(x)应是以T4a为周期的周期函数事实上f(x2a).所以f(x4a)f(x)故此类比猜想正确9已知点A(x1,2)，B(x2,2)是函数y2x的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数ysinx(x(0，)的图像上的不同两点，则有_成立考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案sin解析函数ysinx(x(0，)的图像是向上凸的，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，故由类比推理可知，b0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：为定值b2a2；(2)类比(1