高中数学第一章不等关系与基本不等式2.1绝对值不等式学案北师大版.docx

2.1绝对值不等式学习目标1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值不等式|ab|a|b|的代数及几何解释.3.会用|ab|a|b|解决一些简单的绝对值不等式问题知识点绝对值不等式定理思考1实数a的绝对值|a|的几何意义是什么？答案|a|表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离思考2代数式|x2|x3|的几何意义是什么？答案表示数轴上的点x到点2,3的距离之和思考3画画图，看看|x2|x3|与|(2)3|的关系答案由数轴可以看出数轴上的点x到点2,3的距离之和大于等于点2到3的距离，即|x2|x3|(2)3|.梳理(1)实数的绝对值|a|由定义易得|ab|a|b|；(b0)；|a|2a2；|a|；|a|a|a|.(2)绝对值的几何意义设a是任意一个实数，在数轴上：|a|表示实数a对应的点与原点O的距离；|xa|表示实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离；|xa|表示实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离(3)绝对值不等式(定理)对任意实数a和b，有|ab|a|b|.拓展|a|b|ab|a|b|.类型一含绝对值不等式的证明例1设函数f(x)x22x，|xa|1.求证：|f(x)f(a)|2|a|3.证明f(x)x22x，且|xa|1，|f(x)f(a)|x22xa22a|(xa)(xa)2(xa)|(xa)(xa2)|xa|xa2|xa2|(xa)(2a2)|xa|2a2|1|2a|2|2|a|3，|f(x)f(a)|2|a|3.反思与感悟两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明跟踪训练1已知|Aa|，|Bb|，|Cc|，求证：|(ABC)(abc)|s.证明|(ABC)(abc)|(Aa)(Bb)(Cc)|(Aa)(Bb)|Cc|Aa|Bb|Cc|，又|Aa|，|Bb|，|Cc|，|Aa|Bb|Cc|s，|(ABC)(abc)|s.类型二利用绝对值不等式求最值例2(1)求函数y|x3|x1|的最大值和最小值；(2)如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集为空集，求参数a的取值范围解(1)|x3|x1|(x3)(x1)|4，4|x3|x1|4，ymax4，ymin4.(2)只要a不大于|x3|x4|的最小值，则|x3|x4|a的解集为空集，而|x3|x4|x3|4x|x34x|1，当且仅当(x3)(4x)0，即3x4时等号成立当3x4时，|x3|x4|取得最小值1.a的取值范围为(，1反思与感悟(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键跟踪训练2(1)已知xR，求f(x)|x1|x2|的最值；(2)若|x3|x1|a的解集不是R，求a的取值范围解(1)|f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，3f(x)3，f(x)min3，f(x)max3.(2)|x3|x1|(x3)(x1)|4，|x3|x1|4.当a4时，|x3|x1|a的解集为R.又|x3|x1|a的解集不是R，a4.a的取值范围是4，)类型三绝对值不等式的综合应用例3设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围(1)证明由a0，可得f(x)|xa|a2，所以f(x)2.(2)解f(3)|3|3a|，当a3时，f(3)a，由f(3)5，得3a；当0a3时，f(3)6a，由f(3)5，得a3.综上可知，a的取值范围是.反思与感悟含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件跟踪训练3设f(x)ax2bxc，当|x|1时，恒有|f(x)|1，求证：|f(2)|7.证明因为当|x|1时，有|f(x)|1，所以|f(0)|c|1，|f(1)|1，|f(1)|1，又f(1)abc，f(1)abc，所以|f(2)|4a2bc|3(abc)(abc)3c|3f(1)f(1)3f(0)|3|f(1)|f(1)|3|f(0)|3137，所以|f(2)|7.1已知|xm|，|yn|，则|4x2y4m2n|小于()AB2C3D.答案C解析|4x2y4m2n|4(xm)2(yn)|4|xm|2|yn|423.2已知a为实数，则“|a|1”是“关于x的绝对值不等式|x|x1|a有解”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案B解析由|a|1得a1或a1.因为关于x的不等式|x|x1|a有解，而|x|x1|x1x|1，所以a1.故“|a|1”是“关于x的绝对值不等式|x|x1|a有解”的必要不充分条件3已知|a|b|，m，n，则m，n的大小关系是()AmnBmnCmnDmn答案D解析m1.又n1，mn.4已知关于x的不等式|x1|xa|8的解集不是空集，则a的最小值是_答案9解析|x1|xa|x1(xa)|a1|，且关于x的不等式|x1|xa|8的解集不是空集，|a1|8，解得9a7，即a的最小值是9.5下列四个不等式：|logx10lgx|2；|ab|a|b|；2(ab0)；|x1|x2|1.其中恒成立的是_(把你认为正确的序号都填上)答案解析|logx10lg x|lg x|2，正确；当ab0时，|ab|a|b|，不正确；ab0，与同号，|2，正确；由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1恒成立，正确1求含绝对值的代数式的最值问题的综合性较强，直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用求|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，当ab0时，|a|b|ab|的定理，达到目的2求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有(1)借助绝对值的定义，即零点分段；(2)利用绝对值的几何意义；(3)利用绝对值不等式的性质定理一、选择题1已知h0，a，bR，命题甲：|ab|2h；命题乙：|a1|h且|b1|h，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案B解析“乙甲”，|a1|h，|b1|h，|a1|b1|2h，又|a1|b1|(a1)(b1)|ab|，|ab|2h.“甲乙”当ab5，h1时，甲乙2设|a|1，|b|1，则|ab|ab|与2的大小关系是()A|ab|ab|2B|ab|ab|2C|ab|ab|2D不能比较大小答案B解析当(ab)与(ab)同号或(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2.当(ab)与(ab)异号时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|2.3对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1B2C3D4答案C解析|x1|x|y1|y1|(x1)x|(y1)|3.4设变量x，y满足|x1|ya|1，若2xy的最大值是5，则实数a的值是()A2B1C0D1答案B解析由|x1|ya|1，得|x1|1，0x2，且|xy1a|1，axy2a，2xy4a，又2xy的最大值为5，4a5，a1.5已知不等式|xm|1成立的一个充分不必要条件是x，则实数m的取值范围为()A.B.C.D.答案B6对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为()A5B4C8D7答案A解析由题意，得|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.二、填空题7若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_答案2,4解析|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4.8已知函数f(x)|x3|xa|.若存在实数x，使得不等式f(x)a成立，则实数a的取值范围为_答案解析由不等式性质可知，f(x)|x3|xa|(x3)(xa)|a3|，所以若存在实数x，使得不等式f(x)a成立，则|a3|a，解得a，所以实数a的取值范围是.9以下三个命题：若|ab|1，则|a|b|1；若a，bR，则|ab|2|a|ab|；|x|2，|y|3，则.其中正确命题的序号为_答案解析因为|a|b|ab|1，所以|a|b|1，故正确；因为|ab|2|a|ab|2a|(ab)2a|ab|.故正确；显然正确10若不等式|2a1|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析因为|x|2，所以由已知得|2a1|2，即22a12，解得a.11已知函数f(x)|x3|2，g(x)|x1|4，若函数f(x)g(x)m1的解集为R，则m的取值范围是_答案(，3解析f(x)g(x)|x3|x1|6，因为xR，由绝对值不等式，得f(x)g(x)|x3|x1|6|3x|x1|6|(3x)(x1)|6462，于是有m12，得m3，即m的取值范围是(，3三、解答题12求证：(1)|ab|ab|2|a|；(2)|ab|ab|2|b|.证明(1)|ab|ab|(ab)(ab)|2a|2|a|，|ab|ab|2|a|.(2)|ab|ab|(ab)(ab)|2b|2|b|，|ab|ab|2|b|.13设aR，函数f(x)ax2xa(1x1)(1)若|a|1，证明：|f(x)|.(2)求使函数f(x)有最大值的实数a的值(1)证明|x|1，|a|1，|f(x)|a(x21)x|a|x21|x|x21|x|1|x|2|x|2.(2)解当a0时，f(x)x；当1x1时，f(x)的最大值为f(1)1不可能满足题设条件，a0.又f(1)a1a1，f(1)a1a1，故f(1)均不是最大值f(x)的最大值为，应在其对称轴上，即顶点位置取得a0，命题等价于得