高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦教案.docx

31.1两角和与差的余弦设计思路整堂课大致分两部分，一是探究发现；二是知识应用探究过程由物理情景出发，尝试解决物理问题后抽象出数学模型向量，再转化问题的表述，回归数学本质，探究“cos()能否用，的三角函数表示出来？如何表示？”这一问题经历“猜想验证证明”的体验过程，感受向量方法证明的简洁美和数学探究的成功体验以几何画板为探索平台，完成公式推导，并体验，的任意性证明过程由粗至精，在直观形象的基础上进一步去体验数学的科学严谨通过例1、例2和练习1学会运用公式进行简单三角函数的化简、求值，例3有一定技巧，意在让学生初步体会角的变换的灵活性教学目标1经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2掌握两角和与差的余弦公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数的化简、求值；3培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力，掌握数形结合这一重要数学思想；4引导学生注意养成有条理地逐步解决问题的习惯，培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神情景创设1物理情景如图1所示，倾角为30的斜坡上，一物体在力F的作用下前进了1 m，已知|F|1 N，力F的方向与水平方向成45角，求此过程中力F所做的功图1设问1：力F与位移s的夹角不是我们熟知的那些特殊角，有办法求此过程中力F所做的功W吗？将力F正交分解，得水平方向和竖直方向的两个分力F1、F2，将位移s也按同样的方向做正交分解为s1、s2，可以具体计算出W1、W2，再求出和功W.发现：由FsF1s1F2s2，有cos(4530)cos45cos30sin45sin30.设问2：一般地，斜坡倾角为，力F的方向与水平方向所成角为，还会有类似的结果吗？2数学情境将上述问题中的数学模型抽象出来：我们知道，力、位移这些矢量在数学中抽象为向量，下面我们将前面的探索翻译成数学语言、向量语言设问3：(设问2的转化)cos()能否用，的三角函数表示出来？如何表示？猜猜看？学生活动：举例验证各自的猜想是否正确，然后班级交流(猜想cos()coscossinsin，诱导公式就是极好的验证例子)设问4：所猜想的等式有什么结构特点？你能推导出这一猜想吗？说说你的推导思路建构数学探究1：cos()看成两个向量的夹角的余弦，用向量的数量积来研究(严谨性不必一步到位，采用学生们的说法“为两向量夹角”)师生活动：从“为两向量夹角”这一不够严谨的说法出发，学生画图探索，尝试证明老师用“几何画板”演示(如图2)，写出推导思路再用“几何画板”演示(如图3)，引导大家对欠严谨处展开讨论，体验，的任意性图2图3前面的推导必须符合条件0才正确，、是任意的，也应该是任意的猜想仍然正确吗？利用诱导公式，存在0,2)使coscos()，若0，则abcoscos()；若，2)，则20，且abcos(2)coscos()从而得出公式cos()coscossinsin.C()探究2：(旋转变换的思想)如图4，将角旋转变换到以x轴正方向为始边的位置，接着利用两点间的距离公式建立等式.图4引导体会该证法的优点(任意角、的终边位置不同不影响公式的证明)探究3：cos()能否用、的三角函数表示出来？如何表示？学生小组讨论后很容易由()或依据、的任意性令得出公式：cos()coscossinsin.发散：模仿探究3你还能得出其他类似结果吗？数学运用我们探索得到了两角和与差的余弦公式，公式形式上有什么特点，如何记忆？这一公式的得出又有怎样的价值？例1利用两角和(差)的余弦公式，求cos75，cos15，sin15，tan15.设问5：这里的75、15以前我们并不熟悉，现在要求它们的余弦值(三角函数值)，怎样处理？学生很快会答出将75表示成4530，将15表示成4530，然后再利用两角和(差)的余弦公式求值学生还会想出6045的处理办法，要及时肯定教师板书解题过程，启发学生总结出解决问题的关键点：“将所求角用熟知的特殊角表示出来”本题还涉及到诱导公式和同角三角函数关系的运用，也需设问引导学生注意总结学生若能够与探究部分的发散联系起来，得出两角和(差)的正弦公式，要多加赞许例2已知sin，(，)，cos，(，)，求cos()学生思考后师生共同分析，欲利用两角和的余弦公式求三角函数值，要先准备好公式中所需要的相关角的正弦值、余弦值，教育学生做事情要有条理，一步一步把事情做好强调利用同角三角函数关系准备相关三角函数值时，要依据角的范围，判断函数值的符号，进而求出三角函数值例3已知、都是锐角，cos，cos()，求cos.探究4：学生往往抓住cos()用公式展开，将sin，cos的值代入，再结合同角三角函数关系sin2cos21，用方程思想求解启发学生把题目中所涉及的角分成两类：已知角和所求角，能否用已知角把所求角表示出来？进而引导学生抓住角的变换应用公式求值()，coscos()cos()cossin()sin.老师板书解题过程，并引导学生比较两种方法学生练习1利用两角和(差)的余弦公式化简：(1)cos58cos37sin58sin37；(2)cos(60)cos(60)2已知cos，(，)，求cos()的值课堂小结先请两位同学谈谈自己这堂课的收获与体验，然后老师小结熟记公式(化归的思想)向量方法探索公式的简洁美(其他探索方法)公式应用(求值型，证明型，化简型)注意公式的正用、逆用，注意根据角的范围确定三角函数值的符号，要善于发现角之间的关系巩固作业1已知sin，cos，且、都是第二象限角，求cos()的值2已知，且sin()，cos().(1)用，表示2；(2)求cos2的值教学反思1物理情景的引入帮助学生很快形成猜想，同时尝试抽象出其中的数学本质，一方面自然过渡到用向量法探究两角差的余弦公式，另一方面也是对数学建模思想的又一次丰富2两角差的余弦公式探索方法很多，教材中也留有许多思考让学生从不同角度探索公式，这些探索证明方法的建构都有着丰富的数学