2018中考数学专题突破导学练第20讲锐角三角函数试题.docx

第20讲 锐角三角函数【知识梳理】1.锐角三角函数概念：RtABC中(1)A的对边与斜边的比值是A的正弦，记作sinA(2)A的邻边与斜边的比值是A的余弦，记作cosA(3)A的对边与邻边的比值是A的正切，记作tanA2.特殊角的三角函数值：asinacosatana3045160【考点解析】考点一：锐角三角函数【例1】（2017山东滨州）如图，在ABC中，ACBC，ABC=30，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tanDAC的值为（）A2+B2C3+D3【考点】T7：解直角三角形【分析】通过解直角ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tanDAC的值【解答】解：如图，在ABC中，ACBC，ABC=30，AB=2AC，BC=ACBD=BA，DC=BD+BC=（2+）AC，tanDAC=2+故选：A考点二、特殊角的三角函数值【例2】（2017玉林）计算：（2017）0+2tan45【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值.【专题】11 ：计算题【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：（2017）0+2tan45=1+221=1【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用考点三、解直角三角形及其应用【例3】（2017玉林）如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（）A15海里 B30海里 C45海里 D30海里【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题；KU：勾股定理的应用.【分析】作CDAB，垂足为D构建直角三角形后，根据30的角对的直角边是斜边的一半，求出BP【解答】解：作BDAP，垂足为D根据题意，得BAD=30，BD=15海里，PBD=60，则DPB=30，BP=152=30（海里），故选：B【点评】本题考查了解直角三角形，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线【中考热点】（2017张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像铜像由像体AD和底座CD两部分组成如图，在RtABC中，ABC=70.5，在RtDBC中，DBC=45，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.50.943，cos70.50.334，tan70.52.824）【考点】T8：解直角三角形的应用【分析】根据等腰直角三角形的性质得出BC的长，再利用tan70.5=求出答案【解答】解：在RtDBC中，DBC=45，且CD=2.3米，BC=2.3m，在RtABC中，ABC=70.5，tan70.5=2.824，解得：AD4.2，答：像体AD的高度约为4.2m【达标检测】1. （2017温州）如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知cos=，则小车上升的高度是（）A5米B6米C6.5米D12米【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题【分析】在RtABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可【解答】解：如图AC=13，作CBAB，cos=，AB=12，BC=132122=5，小车上升的高度是5m故选A【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型2. （2015，广西玉林，2，3分）计算：cos245+sin245=（）A B1CD考点：特殊角的三角函数值分析：首先根据cos45=sin45=，分别求出cos245、sin245的值是多少；然后把它们求和，求出cos245+sin245的值是多少即可解答：解：cos45=sin45=，cos245+sin245=1故选：B点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30、45、60角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于13.如图，在RtABC中，C=90，AB=13，AC=7，则sinB=考点：锐角三角函数的定义；勾股定理分析：根据锐角三角函数定义直接进行解答解答：解：在RtABC中，C=90，AB=13，AC=7，sinB=故答案是：点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边4. 计算：|1|+20120（）13tan30考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值专题： 计算题分析： 根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可解答： 解：原式=1+1（3）3=+3=3点评： 本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有关运算的法则5. （2017黑龙江）ABC中，AB=12，AC=，B=30，则ABC的面积是21或15【考点】T7：解直角三角形【专题】32 ：分类讨论【分析】过A作ADBC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在ABC内部时、如图2，当AD在ABC外部时，进行讨论即可求解【解答】解：如图1，作ADBC，垂足为点D，在RtABD中，AB=12、B=30，AD=AB=6，BD=ABcosB=12=6，在RtACD中，CD=，BC=BD+CD=6+=7，则SABC=BCAD=76=21；如图2，作ADBC，交BC延长线于点D，由知，AD=6、BD=6、CD=，则BC=BDCD=5，SABC=BCAD=56=15，故答案为：21或15【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，本题关键是得到BC和AD的长，同时注意分类思想的运用6. 小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处已知斜坡的坡角为15（以下计算结果精确到0.1m）（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45，求楼房AB的高度考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：（1）利用在RtBCD中，CBD=15，BD=20，得出CD=BDsin15求得答案即可；（2）由图可知：AB=AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得AF得出答案即可解答：解：（1）在RtBCD中，CBD=15，BD=20，CD=BDsin15，CD=5.2（m）答：小华与地面的垂直距离CD的值是5.2m；（2）在RtAFE中，AEF=45，AF=EF=BC，由（1）知，BC=BDcos1519.3（m），AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m）答：楼房AB的高度是26.1m点评：本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解题的关键是构造直角三角形7. （2017江西）如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”约为20，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”约为100图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm请判断此时是否符合科学要求的100？（参考数据：sin69，cos21，tan20，tan43，所有结果精确到个位）【考点】T8：解直角三角形的应用【分析】（1）RtABC中利用三角函数即可直接求解；（2）延长FE交DG于点I，利用三角函数求得DEI即可求得的值，从而作出判断【解答】解：（1）RtABC中，tanA=，AB=55（cm）；（2）延长FE交DG于点I则DI=DGFH=10072=28（cm）在RtDEI中，sinDEI=，DEI=69，=18069=111100，此时不是符合科学要求的1008. （2017宁德）如图，在边长为1的正方形组成的58方格中，ABC的顶点都在格点上（1）在给定的方格中，以直线AB为对称轴，画出ABC的轴对称图形ABD（2）求sinABD的值【考点】P7：作图轴对称变换；T7：解直角三角形【分析】（1）根据格点的特点作出点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD即可；（2）根据格点的特点可知DBC=90，再由轴对称的性质可知ABD=ABC=45，据此可得出结论【解答】解：（1）如图，ABD即为所求；（2）由图可知，DBC=90，点C与点D关于直线AB的对称，ABD=ABC=45，sinABD=sin45=【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键9. （2017湖南株洲）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为其中tan=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米求点H到桥左端点P的距离； 若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30，求这架无人机的长度AB【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】在RtAHP中，由tanAPH=tan=，即可解决问题；设BCHQ于C在RtBCQ中，求出CQ=1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PHPC计算即可；【解答】解：在RtAHP中，AH=500，由tanAPH=tan=2，可得PH=250米点H到桥左端点P的距离为250米设BCHQ于C在RtBCQ中，BC=AH=500，BQC=30，CQ=1500米，PQ=1255米，CP=245米，HP=250米，AB=HC=250245=5米答：这架无人机的长度AB为5米10. （2017乌鲁木齐）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度（sin370.6，cos370.8，1.732，结果取整数）【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题【分析】辅助线如图所示：BDAD，BECE，CFAF，在RtABD中，根据勾股定理可求AD，在RtBCE中，根据三角函数可求CE，EB，在RtAFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程时间=速度求解即可【解答】解：辅助线如图所示：BDAD，