安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第6讲基本初等函数教案.docx

基本初等函数课标要 求1指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3知道指数函数与对数函数互为反函数（a0，a1）。4通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图像，了解它们的变化情况。命题走 向指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。预测2017年对本节的考察是：1题型有两个选择题和一个解答题；2题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。教学准备多媒体教学过程要点精讲：1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，。（2）幂的有关概念规定：1）N*；2）； n个3）Q，4）、N* 且。性质：1）、Q）；2）、 Q）；3） Q）。（注）上述性质对r、R均适用。（3）对数的概念定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。1）以10为底的对数称常用对数，记作；2）以无理数为底的对数称自然对数，记作；基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：。运算性质：如果则1）；2）；3）R）。换底公式：1）；2）。2指数函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。，函数值的变化特征：（2）对数函数：定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；4）对数函数与指数函数互为反函数。函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。，.，.函数值的变化特征： 3幂函数在第一象限的图象，可分为如图中的三类：在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数中限于在集合中取值。幂函数有如下性质：它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性；幂函数都是无界函数；在第一象限中，当时为减函数，当时为增函数；任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点。典例解析:1(教材习题改编)化简(1)0的结果为()A9B7C10 D9解析：选B原式(26)17.2(教材习题改编)函数f(x)的定义域是()A(，0 B化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)；(2)0.50.1230.(1)原式ab.(2)原式31003100.由题悟法指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂对于化简结果，形式力求统一以题试法1计算：(1)(0.027)2(1)0；(2).解：(1)原式(1)22149145.(2)原式aabba0b0.指数函数的图象及应用典题导入 (2012四川高考)函数yax(a0，且a1)的图象可能是()法一：当0a0，且a1)的图象必过点(1,0)，所以选D.D由题悟法1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解以题试法2(1)(2012北京模拟)在同一坐标系中，函数y2x与yx的图象之间的关系是()A关于y轴对称B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称(2)方程2x2x的解的个数是_解析：(1)yx2x，它与函数y2x的图象关于y轴对称(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案：(1)A(2)1指数函数的性质及应用典题导入已知函数f(x)|x|a.则函数f(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为_令t|x|a，则f(x)t，不论a取何值，t在(，0上单调递减，在，单调递减区间是(，01(教材习题改编)设Ay|ylog2x，x1，B，则AB为()A.B.C. D(0,2)解析：选CAy|y0，B，AB.2函数yloga(3x2)(a0，a1)的图象经过定点A，则A点坐标是()A. B.C(1,0) D(0,1)解析：选C当x1时y0.3函数ylg |x|()A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增解析：选Bylg |x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增4(2012江苏高考)函数f(x) 的定义域为_解析：由12log6x0，解得log6x0x，故所求定义域为(0， 答案：(0， 5(2012北京高考)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)_.解析：由f(ab)1得ab10，于是f(a2)f(b2)lg a2lg b22(lg alg b)2lg(ab)2lg 102.答案：21.在运用性质logaMnnlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|(nN*，且n为偶数) 2对数值取正、负值的规律： 当a1且b1，或0a1且0b0； 当a1且0b1，或0a1时，logab0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论对数式的化简与求值典题导入求解下列各题(1)lg lglg_；(2)若2a5bm，且2，则m_.(1)lg lglg(5lg 22lg 7)lg 2(lg 52lg 7)lg 2lg 72lg 2lg 5lg 7lg 2lg 5lg(25).(2)由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm10.2，logm102，即m210.解得m(m0)(1)(2)由题悟法对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算以题试法1化简：(1)lglg 70lg 3；(2)345211.解：(1)原式lglg 101|lg 31|lg 3.(2)原式3210211321.对数函数的图象及应用典题导入(1)(2012烟台调研)函数yln(1x)的图象大致为()(2)(2012新课标全国卷)当0x时，4x0，知x1，排除选项A、B；设t1x(x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知，fg，即2，所以a的取值范围为.法二：0x，14x1，0a1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log1，显然4xlogax不成立，排除选项A.(1)C(2)B若本例(2)变为：若不等式(x1)2logax在x(1,2)内恒成立，实数a的取值范围为_解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当0a1时，如图，要使x(1,2)时f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，又即loga21.所以10；当x0时，yf(1x)为增函数，且y0对任意xR恒成立显然a0时不合题意，从而必有即解得a.即a的取值范围是.(2)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30得1x0，且a1)以题试法3已知f(x)loga(ax1)(a0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性解：(1)由ax10得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x1时，f(x)的定义域为(0，)；当0a1时，设0x1x2，则1ax1ax2，故0ax11ax21，loga(ax11)loga(ax21)f(x1)1时，f(x)在(0，)上是增函数类似地，当0a.4(教材习题改编)已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为_解析：设幂函数的解析式为yx，则3，得2.故yx2.答案：yx25如果函数f(x)x2(a2)xb(x)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的最小值为_解析：由题意知得则f(x)x22x6(x1)255.答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点2与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(2013淄博模拟)若aa(0.2)aB(0.2)aa2aC.a(0.2)a2a D2a(0.2)aa解析：选B若aa0.所以(0.2)aa2a.求二次函数的解析式典题导入已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且它有最小值1.(1)求f(x)解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式(1)由于f(x)有两个零点0和2，所以可设f(x)ax(x2)(a0)，这时f(x)ax(x2)a(x1)2a，由于f(x)有最小值1，所以必有解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P(x，y)必在f(x)图象上，所以y(x)22(x)，即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法以题试法2设f(x)是定义在R上的偶函数，当0x2时，yx，当x2时，yf(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分(1)求函数f(x)在(，2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为ya(x3)24，将(2,2)代入可得a2，则y2(x3)24，即x2时，f(x)2x212x14.当x2.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)2(x)212x14，即f(x)2x212x14.所以函数f(x)在(，2)上的解析式为f(x)2x212x14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(，4二次函数的图象与性质典题导入已知函数f(x)x22ax3，x(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间上是单调函数(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.故a的取值范围为(，6，且f(x)故f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法以题试法3(2012泰安调研)已知函数f(x)x22ax1a在x时有最大值2，则a的值为_解析：f(x)(xa)2a2a1，当a1时，ymaxa；当0a1时，ymaxa2a1；当a0时，ymax1a.根据已知条件或或解得a2或a1.答案：2或1二次函数的综合问题典题导入(2012衡水月考)已知函数f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)bg(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在上单调递增，求实数m的取值范围(1)xR，f(x)bg(x)xR，x2bxb0b4.故b的取值范围为(，0)(4，)(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24.当0，即m时，则必需m0.当0，即m时，设方程F(x)0的根为x1，x2(x12xm恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由f(0)1，得c1.即f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，则a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，所以解得因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此满足