已阅读5页，还剩16页未读， 继续免费阅读
版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领
文档简介
1 第三节 2 一、正定二次型正定矩阵 定义 由定义义，可得以下结论结论 ： 充分性是显显然的；下面用反证证法证证必要性： 代入二次型，得 3 由上述两个结论结论 可知，研究二次型的正定性，只要 通过过非退化线线性变换变换 ，将其化为标为标 准形，就容易由以 下定理判别别其正定性。 4 定理 推论 实对实对 称矩阵阵A正定的充分必要条件是A的特征值 值 全为为正。 正定矩阵。 这是因为： 5 解 例1 判别二次型 是否正定。 二次型对应对应 的矩阵为阵为 ,)14)(2( 2 +-=lll 6 全为为正， 因此二次型正定。 7 定理设矩阵A正定，则则 （1）A的主对对角元全为为正； 证明 8 上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。 定理 9 解 例2 判别二次型 是否正定。 二次型对应对应 的矩阵为阵为 它的顺顺序主子式为为： 因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。 10 解 例3 设有实二次型 问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？ f 的矩阵为阵为 顺顺序主子式为为： 解得 11 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在 可逆矩阵C，使得 实际上，正定二次型的规范形为 即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ， 即存在可逆矩阵C ，使 12 证因为 于是 13 2、其它有定二次型 定义 如果二次型不是有定的，就称为为不定二次型。 14 显显然，A是负负定（半负负定 ）的当且仅仅当-A是正 定（半正定）的。由此，容易得出以下结论结论 ： （2）A负负定的充分必要条件是A的特征值值全负负； （3）A半负负定的充分必要条件是A的特征值值非正； （4）A负负定的充分必要条件是A的奇数阶顺阶顺 序主子 式全为负为负 而偶数阶顺阶顺 序主子式全为为正； （1）A半正定的充分必要条件是A的特征值值非负负； （5）若A负负定，则则A的对对角元全为负为负 。 注意: 1.最后一条只是必要条件。 2.A的顺顺序主子式全非负负， A也未必是半正定的。 15 例如，设矩阵 显然A的顺序主子式 但对角元有正有负，显然A是不定的。 16 例5判定下列二次型是否是有定二次型。 解（1）f 的矩阵为阵为 顺顺序主子式 所以 f 是负负定的。 17 例5判定下列二次型是否是有定二次型。 解（2）f 的矩阵为阵为 顺顺序主子式 所以 f 是不定的。 18 练习： P222 习题五 19 END 20 选用例题 1、
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
评论
0/150
提交评论