《导数的简单应用》word版.docx

第三讲导数的简单应用必记公式1基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(R)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)logaef(x)ln xf(x)2.导数四则运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)；(4)若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxayu.重要概念1切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0(f(x)0)，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增(单调递减)3函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值4函数的最值将函数yf(x)在a，b内的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值重要性质1定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_解析yex，则yex在点(0,1)处的切线的斜率k切1，又曲线y(x0)上点P处的切线与yex在点(0,1)处的切线垂直，所以y(x0)在点P处的切线的斜率为1，设P(a，b)，则曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为y|xaa21，可得a1，又P(a，b)在y上，所以b1，故P(1,1)答案(1,1)题型2定积分的计算典例22014湖北高考若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A0 B1C2 D3解析对于，dxsinxdxsinxdxcos 1cos(1)(cos 1cos 1)0.故为一组正交函数；对于， (x1)(x1)dx (x21)dx120，故不是一组正交函数；对于， (xx2)dxx3dx0.故为一组正交函数，故选C.答案C1求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求yf(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程(2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解3求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分(3)利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分例如，定积分dx的几何意义是求单位圆面积的，所以dx.提醒：求曲线的切线方程时，务必分清在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标考点利用导数研究函数的单调性典例示法题型1利用导数研究函数的单调性(单调区间)典例32014全国卷已知函数f(x)exex2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)f(2x)4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.41420，g(x)0；当b2时，若x满足2exex2b2，即0xln (b1)时，g(x)0.而g(0)0，因此当0xln (b1)时，g(x)0，ln 20.6928；当b1时，ln (b1)ln，g(ln )2(32)ln 20，ln 20.6934.所以ln 2的近似值为0.693.题型2根据函数的单调性求参数的范围典例42016西安质检已知函数f(x)mx2xln x.(1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；(2)当0m时，若曲线C：yf(x)在点x1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围解(1)f(x)2mx1，即2mx2x10时，由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0，故需且只需0，即18m0，故0m.综上所述，m，故实数m的取值范围为.(2)f(1)m1，f(1)2m，故切线方程为ym12m(x1)，即y2mxm1.从而方程mx2xln x2mxm1在(0，)上有且只有一解设g(x)mx2xln x(2mxm1)，则g(x)在(0，)上有且只有一个零点又g(1)0，故函数g(x)有零点x1.则g(x)2mx12m.当m时，g(x)0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，)上单调递增函数g(x)有且只有一个零点x1，满足题意当0m1，由g(x)0，得0x；由g(x)0，得1x.故当x在(0，)上变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：x(0,1)1g(x)00g(x)极大值极小值根据上表知g0，故在上，函数g(x)又有一个零点，不符合题意综上所述，m.1导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间(2)函数f(x)在D上单调递增xD，f(x)0且f(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零；函数f(x)在D上单调递减xD，f(x)0且f(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f(x)(2)将单调性转化为导数f(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解考点利用导数研究函数的极值与最值典例示法题型1求函数的极值(最值)典例52016合肥质检已知函数f(x)e1x(2axa2)(其中a0)(1)若函数f(x)在(2，)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)设函数f(x)的最大值为g(a)，当a0时，求g(a)的最大值解(1)由f(x)e1x(2axa2)，得f(x)e1x(2axa2)2ae1xe1x(2axa22a)0，又a0，故x1，当a0时，f(x)在上为增函数，在上为减函数，12，即a2，0a2；当a0时，f(x)maxf2ae即g(a)2ae.则g(a)(2a)e0，得a2，g(a)在(0,2)上为增函数，在(2，)上为减函数，g(a)maxg(2).题型2知极值的个数求参数范围典例62016沈阳质检已知函数f(x)xln xx2xa(aR)在其定义域内有两个不同的极值点(1)求a的取值范围；(2)记两个极值点为x1，x2，且x10，若不等式e1x1x恒成立，求的取值范围解(1)依题，函数f(x)的定义域为(0，)，所以方程f(x)0在(0，)上有两个不同的根，即方程ln xax0在(0，)上有两个不同的根解法一：可以转化为函数yln x与函数yax的图象在(0，)上有两个不同的交点，如图可见，若令过原点且与函数yln x图象相切的直线斜率为k，只需0ak.令切点A(x0，ln x0)，所以ky|xx0，又k，所以，解得x0e，于是k，所以0a.解法二：可以转化为函数g(x)与函数ya的图象在(0，)上有两个不同的交点又g(x)，当0x0，当xe时，g(x)0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减从而g(x)极大值g(e).又g(x)有且只有一个零点是1，且在x0时，g(x)，在x时，g(x)0，所以g(x)的草图如图所示，可见，要想函数g(x)与函数ya的图象在(0，)上有两个不同交点，只需0a0)，若a0，可见g(x)0在(0，)上恒成立，所以g(x)在(0，)上单调递增，此时g(x)不可能有两个不同零点若a0，当0x0，当x时，g(x)0，即ln10，所以0a.综上所述，0a.(2)e1x1x等价于1ln x1ln x2.由(1)可知x1，x2分别是方程ln xax0的两个根，即ln x1ax1，ln x2ax2，所以原式等价于10,0x1.又由ln x1ax1，ln x2ax2作差得，ln a(x1x2)，即a.所以原式等价于，因为0x1x2且原不等式恒成立，所以ln 恒成立令t，t(0,1)，则不等式ln t0，所以h(t)在(0,1)上单调递增，又h(1)0，h(t)0在(0,1)上恒成立，符合题意当20，t(2,1)时，h(t)0，所以h(t)在(0，2)上单调递增，在(2,1)上单调递减，又h(1)0，所以h(t)在(0,1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式e10，所以1.利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤求定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，研究极值情况；确定f(x0)0时x0左右的符号，定极值(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来讨论求解(3)求函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.提醒：(1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；(2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值；(3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论. 全国卷高考真题调研12015全国卷设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)答案A解析令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F(x)，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.22014全国卷设曲线yaxln (x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3答案D解析yaxln (x1)，ya，当x0时ya12，a3，故选D.32016全国卷已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln x3x，则f(x)3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.其它省市高考题借鉴42014江西高考若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1 BC. D1答案B解析f(x)dxx2dxdx2f(x)dx，f(x)dx.故选B.52016北京高考设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，即解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的单调递增区间为(，)一、选择题12016郑州质检函数f(x)excosx的图象在点(0，f(0)处的切线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案C解析依题意，f(0)e0cos01，因为f(x)excosxexsinx，所以f(0)1，所以切线方程为y1x0，即xy10，故选C.22016南宁适应性测试(二)设抛物线C：yx2与直线l：y1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于()A1 B.C. D.答案D解析由得x1.由对称性与图形可知，S2(11x2dx)2，选D.32016广西质检若函数f(x)(x2cx5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是()A(，2 B(，4C(，8 D2,4答案B解析f(x)x2(2c)xc5ex，因为函数f(x)在区间上单调递增，等价于x2(2c)xc50对任意x恒成立，即(x1)cx22x5，c对任意x恒成立，x，(x1)4，当且仅当x1时等号成立，c4.42016沈阳质检已知函数yx2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数yln x，x(0,1)的图象相切，则x0必满足()A0x0 B.x01C.x0 D.x0答案D解析由题令f(x)x2，f(x)2x，f(x0)x，所以直线l的方程为y2x0(xx0)x2x0xx，因为l也与函数yln x(x(0,1)的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，y，所以l的方程为yxln x11，这样有所以1ln 2x0x，x0(1，)，令g(x)x2ln 2x1，x(1，)，所以该函数的零点就是x0，又因为g(x)2x，所以g(x)在(1，)上单调递增，又g(1)ln 2 0，g()1ln 2 0，从而x00恒成立，故f(x)0必有两个不等实根，不妨设为x1，x2，且x10，得xx2，令f(x)0，得x1xx2，所以函数f(x)在(x1，x2)上单调递减，在(，x1)和(x2，)上单调递增，所以当xx1时，函数f(x)取得极大值，当xx2时，函数f(x)取得极小值，故A选项的结论正确；对于选项B，令f(x)3x22ax10，由根与系数的关系可得x1x2，x1x2，易知x1x2，所以x2x1，故B选项的结论正确；对于选项C，易知两极值点的中点坐标为，又fxx3f，fxx3f，所以ff2f，所以函数f(x)的图象关于点成中心对称，故C选项的结论正确；对于D选项，令ac0得f(x)x3x，f(x)在(0,0)处切线方程为yx，且有唯一实数解，即f(x)在(0,0)处切线与f(x)图象有唯一公共点，所以D不正确，选D.6已知函数f(x)(a2)xax3在区间1,1上的最大值为2，则a的取值范围是()A2,10 B1,8C2,2 D0,9答案B解析f(x)3ax2a2.(1)当a0时，f(x)20，f(x)在1,1上为减函数，所以f(x)maxf(1)2，符合题意(2)当0a2时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)在定义域内为减函数，所以f(x)maxf(1)2，符合题意(3)当a2时，由f(x)0，解得x .当 1，即 1，即1a1，即 1，即a2时，若af(1)2，不满足条件，若a2，函数f(x)在与上单调递减，在上单调递增，所以此时函数在定义域内的最大值为f(1)2或f，则必有f2，即(a2) a32，整理并因式分解得(a8)(a1)20，所以由a2可得20)(1)若a1，求函数f(x)的极值；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间；(3)若存在x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求a的取值范围解(1)f(x)xaln x的定义域为(0，)当a1时，f(x).由f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增；所以当x1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)1ln 11；(2)h(x)f(x)g(x)xaln x，其定义域为(0，)又h(x).由a0可得1a0，在x(0,1a)上h(x)0，所以h(x)的递减区间为(0,1a)；递增区间为(1a，)(3)若在1，e上存在一点x0，使得f(x0)g(x0)成立，即在1，e上存在一点x0，使得h(x0)0.即h(x)在1，e上的最小值小于零当1ae，即ae1时，由(2)可知h(x)在1，e上单调递减故h(x)在1，e上的最小值为h(e)，由h(e)ea.因为e1，所以a；当11ae，即0ae1时，由(2)可知h(x)在(1,1a)上单调递减，在(1a，e)上单调递增h(x)在1，e上最小值为h(1a)2aaln (1a)因为0ln (1a)1，所以0aln (1a)2，即h(1a)2不满足题意，舍去综上所述：a.112016贵阳监测设函数f(x)xln (ax)(a0)(1)设F(x)f(1)x2f(x)，讨论函数F(x)的单调性；(2)过两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)的直线的斜率为k，求证：k0，函数F(x)在(0，)上是