高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法学案含解析.docx

二 综合法与分析法1综合法(1)定义从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)证明的框图表示用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为2分析法(1)定义证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法分析法又叫逆推法或执果索因法(2)证明过程的框图表示用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为用综合法证明不等式已知x0，y0，且xy1，求证：9.可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用xy取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式法一：x0，y0，1xy2.xy.111189.当且仅当xy时，等号成立法二：xy1，x0，y0，525229.当且仅当xy时， 等号成立综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键1已知a，b，cR，证明不明式：abc，当且仅当abc时，等号成立证明：因为a0，b0，c0，故有ab2，当且仅当ab时，等号成立；bc2，当且仅当bc时，等号成立；ca2，当且仅当ca时，等号成立三式相加，得abc.当且仅当abc时，等号成立2已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcca.证明：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.将以上三个不等式相加，得2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.在不等式的两边同时加上“a2b2c2”，得3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.在不等式的两端同时加上2(abbcca)，得(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca.由，得a2b2c2(abc)2abbcca.用分析法证明不等式已知x0，y0，求证：(x2y2)(x3y3).不等式两边是根式，可等价变形后再证明分析每一步成立的充分条件要证明(x2y2)(x3y3)，只需证(x2y2)3(x3y3)2，即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立(x2y2)(x3y3).(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆3求证：0,20，要证 2，只需证明()2(2)2.展开，得10220.即证210，即证2125(显然成立)ab.求证：cac. 证明：要证cac，只需证ac，即证|ac|，两边平方，得a22acc2c2ab，也即证a2ab2ac，即a(ab)2ac.a，bR，且ab2c，a(ab)0，b0，且ab1，求证：.所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明要证，只需证()26，即证(ab)226.由ab1，得只需证 ，即证ab.由a0，b0，ab1，得ab2，即ab成立原不等式成立(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系5已知a，b，c都是正数，求证：23.证明：法一：要证23，只需证ab2abc3，即2c3.移项，得c23.由a，b，c为正数，得c2c3成立原不等式成立法二：a，b，c是正数，c33.即c23.故2c3.ab2abc3.23.6已知a0，b0，nN*，求证：.证明：先证，只要证2(an1bn1)(ab)(anbn)，即要证an1bn1anbabn0，即要证(ab)(anbn)0.若ab，则ab0，anbn0，所以(ab)(anbn)0；若ab，则ab0，anbn0，综上所述，(ab)(anbn)0.从而.因为a0，b0，所以，所以.课时跟踪检测(七) 1设a，bR，A，B，则A，B的大小关系是()AAB BAB CAB DAB解析：选CA2()2a2b，B2ab，所以A2B2.又A0，B0，AB.2a，bR，那么下列不等式中不正确的是()A.2 B.abC. D.解析：选CA项满足基本不等式；B项可等价变形为(ab)2(ab)0，正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，正确3设a，b，c，那么a，b，c的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dbca解析：选B由已知，可得出a，b，c，2，bca.4设ba1，则()Aaaabba Baabaab Cabaaba Dabbaaa解析：选Cba1，0ab1，abaa，a.00，a1，aaba，abaa0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的顺序排列为_解析：P，Q，RQP，当且仅当ab时，等号成立答案：PQR7设abc，且恒成立，则m的取值范围是_解析：abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)224，当且仅当abbc时，等号成立，m(，4答案：(，48已知a，b，c均为正实数，且b2ac.求证：a4b4c4(a2b2c2)2.证明：要证a4b4c4(a2b2c2)2成立，只需证a4b4c4a4b4c42a2b22a2c22b2c2，即证a2b2b2c2a2c20.b2ac，故只需证(a2c2)aca2c20.a0，c0，故只需证a2c2ac0.又a2c22acac，a2c2ac0显然成立，原不等式成立9已知a0，b0，c0，且a，b，c不全相等，求证：abc.证明：因为a，b，c(0，)，所以22c.同理2a，2b.因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三