高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析.docx

1.7 定积分的简单应用定积分在几何中的应用如右图，由直线xa，xb，曲线yf(x)和x轴围成的曲边梯形面积为S1.由直线xa，xb，曲线yg(x)和x轴围成的曲边梯形的面积为S2.问题1：如何求S1?提示：S1f(x)dx.问题2：如何求S2?提示：S2g(x)dx.问题3：如何求阴影部分的面积S?提示：SS1S2.平面图形的面积由两条曲线yf(x)，yg(x)和直线xa，xb(ba)所围图形的面积(1)如图所示，f(x)g(x)0，所以所求面积Sdx.(2)如图所示，f(x)0，g(x)0，所以所求面积Sf(x)dxdx. 相交曲线所围图形的面积求法如下图，在区间上，若曲线yf(x)，yg(x)相交，则所求面积SS1S2dx|f(x)g(x)|dx.定积分在物理中的应用问题：在1.5.2汽车行驶的路程中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？提示：变力做功1变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间上的定积分，即s2变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析：由已知得Sdxxaa2，所以a，所以a.答案：5一物体在变力F(x)(x的单位：m，F的单位：N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x8处运动到x18处，求力F(x)在这一过程中所做的功解：由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在上的定积分，从而WF(x)dx36x1(36181)(3681)(2)(J)从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为 J.一、选择题1用S表示下图中阴影部分的面积，则S的值是()A.f(x)dxB.C.f(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dx解析：选D由图可知，x轴上方阴影部分的面积为，x轴下方阴影部分的面积为f(x)dx，故D正确2曲线yx3与直线yx所围图形的面积等于()A.(xx3)dxB.(x3x)dxC2(xx3)dxD2(xx3)dx解析：选C由求得直线yx与曲线yx3的交点分别为(1，1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S2(xx3)dx.3由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A.B1C. D.解析：选D结合函数图象可得所求的面积是定积分cos xdxsin x.4一质点运动的速度与时间的关系为v(t)t2t2，质点做直线运动，则它在时间内的位移为()A. B.C. D.解析：选A质点在时间内的位移为(t2t2)dt.5由抛物线yx2x，直线x1及x轴围成的图形的面积为()A. B1C. D.解析：选BS1(x2x)dx(xx2)dx1.二、填空题6曲线ysin x(0x)与直线y围成的封闭图形的面积为_解析：由于曲线ysin x(0x)与直线y的交点的横坐标分别为x及x，因此所求图形的面积为sin xdxcos xx.答案：7物体A以速度v3t21(t的单位：s；v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v10t的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为_m.解析：设ta时两物体相遇，依题意有(3t21)dt10tdt(t3t)5t25，即a3a5a25，(a5)(a21)0，解得a5，所以(3t21)dt535130.答案：1308有一横截面面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t s末的流速为v(t)6tt2(单位：cm/s)(0t6)，则t0到t6这段时间内流出的水量为_解析：由题意可得t0到t6这段时间内流出的水量(6tt2)dt4(6tt2)dt4144(cm3)故t0到t6这段时间内流出的水量为144 cm3.答案：144 cm3三、解答题9求由曲线yx2和直线yx及y2x所围图形的面积S.解：由得A(1,1)，由得B(2,4)如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为S(2xx)dxx2)dxxdxx2)dxx2.10有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)(1)点P从原点出发，当t6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)求点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值解：(1)由v(t)8t2t20，得0t4，即当0t4时，P点向x轴正方向运动；当t4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P离开原点的路程为s1(