物理学毕业论文---驻波教学实践.doc

晋中学院本科生毕业论文设计_ 学 院本科毕业论文(设计) 题 目 驻波教学实践 院 系 物理与电子工程学院 专 业 物理学 姓 名 学 号 2 学习年限 2009年9月至2013年6月 指导教师 申请学位 理学学士 2013年05月30日驻波教学实践学生:陈海 指导教师:宫建平摘 要: 本文通过分析传统教学法中驻波演示实验的不足，利用Matlab制作动画模拟驻波并分析驻波形成的机制，加深了学生对驻波的理解。在同一动画画面中同时显示出两列振幅、频率相同传播方向相反的行波及由它们合成的驻波，由此可以观察任意时刻及空间任意点的运动状态，从而对驻波形成的机制有一个准确、形象的认识。同时利用计算机分别对不同振幅、不同波长的两列传播方向相反的波的叠加情况进行了模拟和分析，从而加深了对驻波形成条件的理解，直观的说明了在不满足驻波形成条件时构不成驻波的原因。通过绘图及动画演示，弥补了传统教学法中演示实验的不足，并以此对驻波教学实践进行了有益的探索。关键词:多媒体；动画；驻波Standing wave teaching practice Authors Name: CHEN Hai Tutor: GONG Jian-PingABSTRACT: In this paper, through the analysis of the deficiency of the traditional teaching method in the standing wave experiment, using Matlab animation simulation of standing wave and mechanism analysis of standing wave formation, enhance the students understanding of standing wave. In the same animation screen also showed that the wave amplitude, frequency of the same two reverse direction and their synthesis, standing wave, which can be observed at any time and any movement and space, cognitive mechanism of a standing wave is formed with an accurate, image.At the same time, the specific analysis of Matlab programming software for standing wave form different amplitude, different wavelengths of the situation, so as to enhance the understanding of the conditions of a standing wave is formed, in does not satisfy the conditions not form standing waves cause.Through the presentation of graphics and animation, make up the shortage of experimental demonstration of traditional teaching method in teaching practice, and to the standing wave is a useful exploration.KEYWORDS：Multimedia ; Animated drawing; standing wave目 录引 言11 驻波与传统教学法21.1 驻波21.2 传统教学法32 运用Matlab分析驻波52.1 弦线上驻波形成的机制52.2 驻波的形成条件82.2.1 振幅不同的两行波叠加82.2.2 波长不同的两行波叠加11总 结15参考文献15附 录16引 言驻波广泛存在于日常生活和生产中。驻波作为机械波的一种重要形式，在中学物理教科书中都占有相当重要的地位。而现行教材中，演示驻波实验通常采取的方法是，利用打点计时器或音叉等作为驱动源来在弦线上实现入射波和反射波的叠加形成驻波。不少相关文章对于实验的改进研究也只限于此。但这并未对形成驻波形成的机制，驻波产生所必须满足的条件，如产生驻波的两行波的振幅、波长、频率所需满足的条件做比较深入细致的探讨和分析。对驻波形成条件的探讨也只能从公式计算中得出，要想从实验方面进行演示并不容易。这主要是由于驻波是由两列相向传播的振幅、频率相等的行波所叠加而成的，现实中观察存在于无限空间的两列传播方向相反的行波是十分困难的。我们利用科学计算软件Matlab模拟了驻波及产生驻波的两列行波动画，并对驻波产生的机制及驻波产生的条件进行了讨论。1 驻波与传统教学法1.1 驻波驻波是两列传播方向相反，振幅、波长、频率皆相同的简谐波叠加所形成的合成波。与这两列行波不同，由它们叠加而成的波，其波形并不随时间的变化而向前推进，故称之为驻波。当驻波通过时，每一个质点都在做简谐振动，但它们的振幅却各不相同。那些振幅为零的点，叫做波节或节点；振幅为最大值的点，叫做波腹或腹点。我们知道，任何复杂的振动都可由简谐振动叠加而成。当空间中有一点做简谐振动时，设其振幅为，波长为,周期为，则圆频率，我们可以由方程或得出此振动点随时间变化的振动情况。若以此点为振动源，在空间中向外传播时，我们只考虑传播时的一维情况。设其在空间中的传播速度为，并把这一点所在位置作为坐标原点，传播方向定为坐标轴正方向，则可得出波动方程，又知，波动方程即表示为。由此波动方程我们就可以解出传播过程中空间任一点在任一时间的振动情况。设有两列相向传播的相干波，它们在坐标原点的初相位分别为、。则它们的波动方程可表示为，正向传播的行波方程， (1.1)负向传播的行波方程， (1.2)两波相遇时的合振动方程为：。 (1.3)根据驻波的定义知，两列振幅相同、频率相同，相向传播的简谐波可叠加为驻波。具体在驻波的演示实验中，以音叉等作为振动源，谐波从一端向另一端传播，当到达另一端时发生反射。将反射端看作另一列波的振源，反射波看成是相向传播的另一谐波。这样入射波与反射波作为两列相向传播的谐波，它们的振幅、频率均保持一致不变，在弦线上即叠加后形成驻波。但由于弦线长度是有限的(可设为)，弦线两端是固定的，在弦线上产生驻波，应满足一定的边界条件。根据驻波产生的条件我们取，即行波的振幅取为单位长度，两行波的波长相等。所以由(1.3)知，在驻波的左端点对任意时间有 , (1.4)解得。 (1.5)不失普遍性，为方便我们设，。则有在处有：。 (1.6)上式要求在任意时刻均满足，所以要求：， (1.7)因此有：。 (1.8)可知，要在弦线上观察到驻波，须满足公式(1.5)，即两波的相位差应为。此外，弦长须为相干波半波长的整数倍，即，为正整数。1.2 传统教学法图1.1 弦线上的驻波在传统的驻波教学实验中，大多采用的是用弦线来演示。如图1.1所示，音叉作为振动源在左端发生振动并向右传播，到达点后发生反射。于是入射波与反射波在弦线上叠加形成驻波。通过改变右端砝码的配重，改变弦线的张力进而使波长发生变化，我们就可以观察到在弦线上不同波长的驻波图形。这样的教学方法，能使我们在理解了实验原理后可以直观地看到驻波的波形。但是这样的演示实验也存在着一定的局限性。它无法同时演示出叠加驻波的两列传播方向的行波，从而无法观察到这两列频率相同、传播方向相反的行波是如何叠加成驻波的，也就是说演示实验很难反映驻波形成的机制。另外在实验中，形成的驻波的两列行波是由于原入射波与在端点发生发射后的反射波相互叠加而成的，因此入射波与反射波的振幅、频率都是相同的，从而形成驻波。当两列行波的振幅、频率不同时，它们是否会形成驻波？如果不是驻波那么叠加后的波形会是什么样子？产生这样的疑问对于初学者来说比较常见，但在这里我们难以通过实验来加以解释。虽然，我们已经通过理论计算得出了结果，但没有一个直观的物理图像对初学者理解驻波形成的机制和驻波形成的条件是比较困难的。如果能够提供一个直观的图像或者用动画将驻波形成的过程演示出来，肯定会加深对驻波的理解。应用Matlab程序，我们可以用动画来显示驻波形成的机制及振幅、频率不同时所形成的波形，对驻波形成的机制及条件的理解起到很好作用。下面我们就通过Matlab编程绘制动画来具体讨论分析一下驻波形成的机制及驻波形成的条件，以便我们更好地理解和掌握驻波这一物理现象。2 运用Matlab分析驻波2.1 弦线上驻波形成的机制由两列谐波及驻波的方程公式(1.7)、(1.8)和(1.9)，用Matlab编制程序将两列行波及叠加成的驻波用动画在同一张图上显示出来。弦线上产生驻波时，应满足式(1.11)，且弦长为半波长的整数倍。为了便于观察，设正向传播的波的初相位为，反向传播的波的初相位为，并以余弦函数表示两列行波。由于此时两列行波的振幅、频率皆相等，我们不妨将它们的振幅设为基本单位长度，即，它们的波长取为，弦长长度为，动画模拟时间为1个周期，即。动画程序及绘图程序：clearlambda=0.5*pi;A1=1; %设置y1的振幅A2=1; %设置y2的振幅lamada1=lambda; %设置y1的波长lamada2=lambda; %设置y2的波长fh=figure;x=0:0.01:2*pi;y=sin(2*pi*x./lambda);plot(x,y,-k,LineWidth,2) %设置轴的范围与数据范围相同axis(0 2*pi -2 8); %设置显示范围set(gca,nextplot,replacechildren)title(fontsize18rm驻波波长为0.5pi, Color,k)xlabel (fontsize14rmx/A, Color,k)ylabel (fontsize14rmu/A, Color,k)set(gca,xgrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,ygrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,XTick,0:pi/8:2*pi) %给定x轴的刻度pi/8set(gca,XTickLabel,0,/4,/2,3/4,5/4,3/2,7/4,2) %给定x轴每个刻度的标示值set(gca,YTick,-2:0.5:8) %给定y轴的刻度0.5set(gca,YTickLabel,-2,-1,0,1,2,-1,0,1,-1,0,1) %给定y轴每个刻度的标示值grid onfor k=1:1201 plot(x,A2*cos(2*pi*(k-1)/1200-2*pi*x./lamada2+3*pi/2)+. A1*cos(2*pi*(k-1)/1200+2*pi*x./lamada1+pi/2),-k,. x,A2*cos(2*pi*(k-1)/1200-2*pi*x./lamada2+3*pi/2)+. 4,-k,x,A1*cos(2*pi*(k-1)/1200+2*pi*x./lamada1+pi/2)+7,. -k,LineWidth,2) %重新绘制网格表面图 drawnow pauseend在图2.1中，我们可以清楚地看到两列行波和驻波的波形曲线图，其中图上方第一列为向左传播的行波，第二列为向右传播的行波，下面一列为合成的驻波。驻波的波长为，与两行波相同。有些位置上的振幅最大(值为)，为两行波振幅的和，处于这一位置上的点即为波腹。有些位置上的点振幅始终为0，即两行波在这些点上的位移始终相互抵消，这些点就是波节。当然，驻波上大部分质点的振幅介于这两者之间，即。而且，我们可以看到两波腹(节)之间的间距为，相邻的波腹与波节的间距为。图2.1图2.6中显示的为弦长的波形曲线图，实际上在弦线上显现出驻波图形，还应满足，其中为弦线长，为半波长，为正整数，取1，2，3，在图2.1图2.6中，我们采用。由图我们可以分析出驻波的形成机制。首先我们考察处的点的运动。在图2.1中时，正向波的位移为0，负向波的位移为0，叠加后合位移也是0，正向波在此点位移的趋势是增大，负向波的位移趋势是减小。当时，在图2.2中知，正向波的图2.1 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加的驻波在时刻各自的波形曲线。图2.2图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加的驻波在时刻各自的波形曲线。图2.3 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加的驻波在时刻各自的波形曲线。图2.4 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加的驻波在时刻各自的波形曲线。图2.5 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加的驻波在时刻各自的波形曲线。图2.6 图中第一列、第二列和第三列波分别为左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加的驻波在时刻各自的波形曲线。位移为，位移变化趋势为增大，负向波的位移为，其位移变化趋势为减小，叠加后合位移仍为0，合振动保持静止。随着时间增加，两行波继续向左、向右传播，但在任意时刻叠加后的合位移为0，这一点的合振动保持静止。当时，情况与时一致，完成一个周期，即在一个周期中此点始终保持静止，也就是说在任意时刻，弦线上的这一点均保持静止，形成了驻波的节点。其它的节点如 也与下面我们考察处点的位移随时间的变化，在图2.1中时，正向波、负向波的位移均为，此时叠加后的合位移为，并同时随着时间增加逐渐减小，合位移也将随着时间增加逐渐减小。当时，在图2.2中知，正向波、负向波的位移均随时间增加而减小，叠加后合位移也减小。当时，合位移变为0，驻波的振动方向向下。两行波继续向左、向向传播，在时 ，合位移达到最小，驻波的振动方向向上。当时，情况与时一致，完成一个周期。在图2.1中时，时，合位移达到最大，正向波的位移趋势向上，负向波的的位移趋势向下，但负向传播的波向下运动的趋势强于正向传播的波向上的趋势，所以合振动方向向下。在时，合位移达到最小，合振动方向变为向上。当时，情况与时一致，完成一个周期。上述是两列振幅、频率都相同的相干波叠加时的情景，但是当两列波的振幅、频率不同时，它们叠加是否会形成驻波，若形不成驻波，情景又会是怎样呢？下面我们就借助于Matlab，具体地将振幅、频率不同时的情景模拟出来，进而讨论驻波的形成条件。2.2 驻波的形成条件2.2.1 振幅不同的两行波叠加假设有两列相对传播的行波，其中负向波可设为，正向波可设为，它们的波长、频率皆相等，即，但振幅不同,即。我们看一下它们叠加后的波形图是怎样的，不妨将其中负向波的振幅设为基本单位长度，即，正向波的振幅取值取为，它们的波长取为。两波的传播方向延展至无限，这里只显示4个周期的波形图，动画模拟时间为1个周期，则其具体程序如下：clearlambda=0.5*pi;A1=1; %设置y1的振幅A2=0.5; %设置y2的振幅lamada1=lambda; %设置y1的波长lamada2=lambda; %设置y2的波长fh=figure;x=0:0.01*pi:2*pi;y=sin(2*pi*x./lambda);plot(x,y,-k,LineWidth,2) %设置轴的范围与数据范围相同axis(0 2*pi -2 8); %设置显示范围set(gca,nextplot,replacechildren)title(fontsize18rm正向波的振幅为0.5, Color,k)xlabel (fontsize14rmx/A, Color,k)ylabel (fontsize14rmu/A, Color,k)set(gca,xgrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,ygrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,XTick,0:pi/8:2*pi) %给定x轴的刻度pi/8set(gca,XTickLabel,0,/4,/2,3/4,5/4,3/2,7/4,2) %给定x轴每个刻度的标示值set(gca,YTick,-2:0.5:8) %给定y轴的刻度0.5set(gca,YTickLabel,-2,-1,0,1,2,-1,0,1,-1,0,1) grid onfor k=1:1201 plot(x,A2*cos(2*pi*(k-1)/1200-2*pi*x./lamada2+3*pi/2)+. A1*cos(2*pi*(k-1)/1200+2*pi*x./lamada1+pi/2),-k,. x,A2*cos(2*pi*(k-1)/1200-2*pi*x./lamada2+3*pi/2)+. 4,-k,x,A1*cos(2*pi*(k-1)/1200+2*pi*x./lamada1+pi/2)+7,. -k,LineWidth,2) drawnow pauseend图2.7 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加而成的波在t=0时刻各自的波形曲线。图2.8 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加而成的波在t=T/12时刻各自的波形曲线。图2.9 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加而成的波在t=T/4时刻各自的波形曲线。图2.10 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加而成的波在t=T/2时刻各自的波形曲线。图2.11 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加而成的波在t=3T/4时刻各自的波形曲线。图2.12 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加而成的波在t=T时刻各自的波形曲线。由上述程序绘图，可以得出下图。现在我们考察处的点的运动。在图2.7中时，正向波的位移为0，负向波的位移为0，叠加后合位移为0，正向波在此点位移的趋势是增大，负向波的位移趋势是减小。当时，在图2.8中知，正向波的位移为，位移变化趋势增大，负向波的位移为，其位移变化趋势减小，叠加后合位移为，位移变化趋势减小。当达到图2.9中时，合位移最小为，位移变化趋势则增大。随着时间增加，两行波继续向左、向右传播，到时，合位移最大为，位移变化趋势减小。到时，情况与时一致，完成一个周期。通过分析，我们发现原先在弦线上可以保持静止的波节，在两行波振幅不同时，其位移并不能不变。若其它条件不变，将反向波的振幅变为，正向波的振幅变为，考察处的点的运动，可得出相同的结论。进一步讲，当两列行波波长、频率皆相同，但振幅不同时，不能形成驻波。叠加后的波形会随着时间变化，其传播方向和振幅较大的行波相一致。2.2.2 波长不同的两行波叠加假设有两列相对传播的行波，其中负向波可设为，正向波可设为，它们的振幅相等，即，但波长、频率不同,即，。我们看一下它们叠加后的波形图是怎样的，不妨将这两列波的振幅设为基本单位长度，即，负向波的波长取为，正向波的波长取为。两波的传播方向延展至无限，这里只显示4个周期的波形图，动画模拟时间为1个周期，则其具体程序及绘图为：clearlambda=0.5*pi;A1=1; %设置y1的振幅A2=1; %设置y2的振幅lamada1=0.5*lambda; %设置y1的波长lamada2=lambda; %设置y2的波长fh=figure;x=0:0.01*pi:2*pi;y=sin(2*pi*x./lambda);plot(x,y,-k,LineWidth,2) %设置轴的范围与数据范围相同axis(0 2*pi -2 8); %设置显示范围set(gca,nextplot,replacechildren)title(fontsize18rm驻波比为2时的波形, Color,k)xlabel (fontsize14rmx/A, Color,k)ylabel (fontsize14rmu/A, Color,k)set(gca,xgrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,ygrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,XTick,0:pi/8:2*pi) %给定x轴的刻度pi/8set(gca,XTickLabel,0,/4,/2,3/4,5/4,3/2,7/4,2) %给定x轴每个刻度的标示值set(gca,YTick,-2:0.5:8) %给定y轴的刻度0.5set(gca,YTickLabel,-2,-1,0,1,2,-1,0,1,-1,0,1) %给定y轴每个刻度的标示值grid onfor k=1:1201 plot(x,A2*cos(2*pi*(k-1)/1200-2*pi*x./lamada2+3*pi/2)+. A1*cos(2*pi*(k-1)/1200+2*pi*x./lamada1+pi/2),-k,. x,A2*cos(2*pi*(k-1)/1200-2*pi*x./lamada2+3*pi/2)+. 4,-k,x,A1*cos(2*pi*(k-1)/1200+2*pi*x./lamada1+pi/2)+7,. -k,LineWidth,2) %重新绘制网格表面图图2.13 图中第一列、第二列和第三列波分别为向左(负向)、向右(正向)传播的行波和两列行波叠加而成的波各自的波形曲线。 drawnow %pauseend由图2.13，可以看出当两列相干波的波长不同时，具体为两波的波长比为2时，它们不能合成为驻波。特别的当两行波的波长接近时，可以形成拍现象（图2.14）。具体地，两列频率较大而又频率之差很小的简谐波合成时，其振幅时而加强时而减弱的现象，叫做拍。当介质不变时，不变，通过公式知，频率较大而又频率之差很小，即波长值较小且相差很小时，会出现拍现象。于是可以设有两列相对传播的行波，其中负向波为，正向波为，它们的振幅相等，即，波长不同（）且相差很小。不妨将这两列波的振幅设为基本单位长度，即，则负向波的波长取为，正向波的波长取为，此时它们的波长差已很小，为。设轴显示范围为0到，则可得模拟拍现象的程序为：clearlambda=0.1*pi;A1=1; %设置y1的振幅A2=1; %设置y2的振幅lamada1=0.9*lambda; %设置y1的波长lamada2=lambda; %设置y2的波长fh=figure;x=0:0.01*pi:2*pi;y=sin(2*pi*x./lambda);plot(x,y,-k,LineWidth,2) %设置轴的范围与数据范围相同axis(0 2*pi -2 8); %设置显示范围set(gca,nextplot,replacechildren)title(fontsize18rm拍现象, Color,k)xlabel (fontsize14rmx/A, Color,k)ylabel (fontsize14rmu/A, Color,k)set(gca,xgrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,ygrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,XTick,0:pi/8:2*pi) %给定x轴的刻度pi/8set(gca,XTickLabel,0,/4,/2,3/4,5/4,3/2,7/4,2) %给定x轴每个刻度的标示值set(gca,YTick,-2:0.5:8) %给定y轴的刻度0.5set(gca,YTickLabel,-2,-1,0,1,2,-1,0,1,-1,0,1) %给定y轴每个刻度的标示值grid onfor k=1:1201 plot(x,A2*cos(2*pi*(k-1)/120