2012复习(圆的有关性质).ppt

圆的基本性质复习 圆的 定义 有关概念 圆的基本性质 圆心、半径、直径 弧、弦、弦心距 等圆、同心圆 圆心角、圆周角（补充圆内角、圆外角） 三角形外接圆、圆的内接三角形、 四边形的外接圆、圆的内接四边形 点和圆的位置关系 不在同一直线上的 三点确定一个圆 圆的中心对称性和旋转不变性 圆的轴对称性垂径定理 圆心角定理 圆周角定理圆内接四边形的性质 1. 1.要确定一个圆要确定一个圆, ,必须确定圆的必须确定圆的_和和_ 圆心圆心半径半径 圆心圆心确定圆的确定圆的位置位置, ,半径半径确定圆的确定圆的大小大小. . O 这个以点这个以点O为圆心的圆叫作为圆心的圆叫作“圆圆O”，记为，记为“ O”.”. 2.圆的定义 (1)是通过旋转. (2)是到定点的距离等 于定长的点的集合. 一、圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧 . n 连接圆上任意两点间的 线段叫做弦(如弦AB). O n经过圆心的弦叫 n做直径(如直径AC). AB n以A,B两点为端点的弧.记作 , n读作“弧AB”. A B C D 圆的相关概念 直径将圆分成两部分,每一部分都 叫做半圆(如弧ABC). O AB 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 n(用两个字母). A B C D n大于半圆的弧叫做优弧, n如记作 (用三个字母). ACD O A B C D E 1、垂径定理：垂直 于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两 条弧 平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧 二.有关定理及推论 AM=BM, n由 CD是直径 CDAB 可推得 AD=BD. AC=BC, CDAB, n由 CD是直 径 AM=BM AC=BC, AD=BD. 可推得 垂径定理： 垂径定理推论： M AM=BM, CD是直径 CDAB 可推得 AD=BD. AC=BC, CDAB, CD是直径 AM=BM AC=BC, AD=BD. 可推得 M 垂径定理推论： 1圆心角 1弧 C D n圆心角 n弧 把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成360360 份时，每一份的圆心角是份时，每一份的圆心角是11的的 角。角。11的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做 11的弧。的弧。 圆心角的度 数和它所对 的弧的度数 相等。 一般地，一般地，nn的圆的圆 心角对着心角对着nn的弧的弧 。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角 、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中 有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等 O A B C A B C 2、圆心角、弧、弦、弦心距 . 关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦的 垂线段，这是一条非 常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、 半径、弦长构成直角 三角形，便将问题转 化为直角三角形的问 题。 M P B O A 3、圆周角 n顶点在圆上,并且两边都与圆相交 的角,叫做圆周角. O B A C E D 特征： 角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交. F n圆周 角. 在同圆（等圆）中,同弧 (等弧)所 对的圆周角相等.都等于这条弧所对的圆 心角的一半. 圆周角定理: 在同圆或等圆中,相等的 圆周角所对的弧相等. 等角等弧 圆周角定理及推论 90的圆周角所对的弦是 . O AB C O B A C D E O AB C 定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周 角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 . 直角 直径 判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (2)相等的圆周角所对的弧相等. (3) 等弧所对的圆周角相等. () () () 1、圆周角定理的推论1： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 2、圆周角定理的推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径。 直径 直角 等角等弧 3、内接四边形的对角互补。 4、如果三角形一条边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。 点与圆的位置关系 如图，设O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上， C点在圆外，那么 若点A在O内 若点A在O上 若点A在O外 OAr， OBr， OCr 反过来也成立，即 不在同一直线上的三个点确定一个圆 （这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三 角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心） 圆内接四边形的性质： （1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的 内对角 反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确 怎样要将一个如图所示的破镜重 圆？ 【例1】在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入 一部分油，油面宽320mm，求油的深度. 图(1)中 OC= =120(mm) CD=80(mm) 图(2)中OC=120(mm) CD=OC+OD=320(mm) 例.在半径为为5cm的O中，弦AB6cm， 弦CD8cm，且ABCD，求AB与CD之 间间的距离。 平行弦与圆心的位置 【例2】如图，ABC中，A700， O截ABC的三条边所截得的弦长都相等 ，则BOC 。 O B A C 例3.O是ABC的外接圆，ODBC于D ，且BOD48，则BAC _。 点与弦的相对位置 例4.半径为为1的圆圆中有一条弦，如果它的长为长为 ，那么这这条弦所对对的圆圆周角的度数等于 _。 弦所对的圆周角 例5.在半径为1的O中，弦AB、AC的 长分别为 ，则BAC的度数是 _。 圆心与角的位置 例6.如图，在平面直角坐标系中，P是经过 O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆 上的一个动点（P与O、B不重合），则 OAB_度，OPB _度。 点在弧上的位置 A BC O 四、直角三角形性质的运用 （1）勾股定理 （2） 斜边上的中线是斜边的一半 （3）30角所对的直角边等于斜边的一半 （4） 特殊三角形的三边之比 4、例与练： 填空： 如图， O中 AB=OC= OA, 求 、 、 的度数 D 归纳：在一般图形中，作弦心距构成Rt H 运用 C 。 如图建立直角坐标系，OA是半圆的直径， 圆心为N，A(10,0)，B（8，0），四边形OBDC 平行四边形，C、D在半圆上，求D点坐标。 O D BN y xA H 解：连N D、 作NHCD于H， 由垂径定理得 CH=DH= CD=4 在RtDNH中， ND=NO=5,DH=4 NH=3 D(9,3) 1 2 归纳：在坐标系中，作半径弦心距构成Rt 圆中两个重要 Rt的再认识 O O N N A A B B M M B B A A C C D D OO A B C D O A B C O D A B C D E o o 直径与两弦构成图形的变式 巩固练习 1.（2011山东滨州，8，3分）如图,在平面直 角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、C分别 在y轴、x轴上,以AB为弦的M与x轴相切. 若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为( ) A.(-4,5) B.(-5,4) C.(5,-4) D.(4,-5) 2. （2011黑龙江鸡西，8，3分）如图，A、 B、C、D是O上的四个点，AB=AC，AD 交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为 （ ） A .3 B .2 C. D .3 3.（2011广西百色，20，3分）如图，点C是 O优弧ACB上的中点，弦AB=6cm，E为 OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒 1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若 y=AE2EF2，则y与动点F的运动时间x（ 0x6）秒的函数关系式为 4. 如图，点E（0，4），O（0，0）， C（5，0）在A上，BE是A上的一 条弦则tanOBE= 5. （2011河北，16，3分）如图，点0为 优弧ACB所在圆的圆心，AOC 108，点D在AB延长线上，BDBC ，则D 6. （2011江苏苏州，26，8分）如图，已知AB是O 的弦，OB=2，B=30，C是弦AB上的任意一点 （不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O 于点D，连接AD （1）弦长等于_（结果保留根号）； （2）当D=20时，求BOD的度数； （3）当AC的长度为多少时， 以A、C、D为顶点的三角形 与以B、C、0为顶点的 三角形相似？请写出解答过程 E 7. （2011江苏宿迁，26，10）如图，在平面直 角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y （x0）图象上的任意一点，以P为圆心， PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B （1）判断P是否在线段AB上，并说明理由； （2）求AOB的面积；（3）Q是反比例函数y （x0）图象上异于点P的另一点，请 以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点 M、N，连接AN、MB求证：ANMB 8. （2011南昌，22，7分）如图，已知 O的半径为2，弦BC的