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文档简介
技法强化训练(二)数形结合思想(对应学生用书第160页)题组1利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题1方程|x22x|a21(a0)的解的个数是() 【导学号:68334011】A1 B2 C3 D4Ba0,a211.而y|x22x|的图象如图,y|x22x|的图象与ya21的图象总有2个交点2已知函数f(x)|log2|x|x,则下列结论正确的是()Af(x)有三个零点,且所有零点之积大于1Bf(x)有三个零点,且所有零点之积小于1Cf(x)有四个零点,且所有零点之积大于1Df(x)有四个零点,且所有零点之积小于1A在同一坐标系中分别作出f1(x)|log2|x|与f2(x)x的图象,如图所示,由图象知f1(x)与f2(x)有三个交点,设三个交点的横坐标从左到右分别是x1,x2,x3,因为f0,f0,所以x1,同理x21,1x32,即1x1x2x3,即所有零点之积大于1.3设函数f(x)的定义域为R,f(x)f(x),f(x)f(2x),当x0,1时,f(x)x3,则函数g(x)|cos(x)|f(x)在上的所有零点的和为()A7B6 C3D2A函数g(x)|cos(x)|f(x)在上的零点为函数h(x)|cos(x)|与函数f(x)的交点的横坐标因为f(x)f(x),f(x)f(2x),所以函数f(x)为关于x1对称的偶函数,又因为当x0,1时,f(x)x3,则在平面直角坐标系内画出函数h(x)|cos(x)|与函数f(x)在内的图象,如图所示,由图易得两函数图象共有7个交点,不妨设从左到右依次为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,则由图易得x1x20,x3x52,x41,x6x74,所以x1x2x3x4x5x6x77,即函数g(x)|cos(x)|f(x)在上的零点的和为7,故选A.4若函数f(x)asin x在,2上有且只有一个零点,则实数a_. 【导学号:68334012】1函数f(x)asin x在,2上有且只有一个零点,即方程asin x0在,2上只有一解,即函数ya与ysin x,x,2的图象只有一个交点,由图象可得a1.5已知函数f(x)若存在实数b,使函数g(x)f(x)b有两个零点,则a的取值范围是_(,0)(1,)函数g(x)有两个零点,即方程f(x)b0有两个不等实根,则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若a0,则当xa时,f(x)x3,函数单调递增;当xa时,f(x)x2,函数先单调递减后单调递增,f(x)的图象如图(1)实线部分所示,其与直线yb可能有两个公共点若0a1,则a3a2,函数f(x)在R上单调递增,f(x)的图象如图(2)实线部分所示,其与直线yb至多有一个公共点若a1,则a3a2,函数f(x)在R上不单调,f(x)的图象如图(3)实线部分所示,其与直线yb可能有两个公共点综上,a0或a1.题组2利用数形结合思想求解不等式或参数范围6若不等式logaxsin 2x(a0,a1)对任意x都成立,则a的取值范围为()A. B. C. D(0,1)A记y1logax(a0,a1),y2sin 2x,原不等式即为y1y2,由题意作出两个函数的图象,如图所示,知当y1logax的图象过点A时,a,所以当a1时,对任意x都有y1y2.7函数f(x)是定义域为x|x0的奇函数,且f(1)1,f(x)为f(x)的导函数,当x0时,f(x)xf(x),则不等式xf(x)1ln|x|的解集是() 【导学号:68334013】A(,1)(1,)B(,1)C(1,)D(1,1)A令g(x)xf(x)ln|x|,则g(x)是偶函数,且当x0时,g(x)f(x)xf(x)0,g(x)在(0,)上单调递增故不等式xf(x)1ln|x|g(|x|)g(1),|x|1,解得x1或x1.故选A.8若不等式|x2a|xa1对xR恒成立,则a的取值范围是_作出y|x2a|和yxa1的简图,依题意知应有2a22a,故a.9已知函数f(x)若a,b,c互不相等,且f(a)f(b)f(c),则abc的取值范围是_(10,12)作出f(x)的大致图象由图象知,要使f(a)f(b)f(c),不妨设abc,则lg alg bc6.lg alg b0,ab1,abcc.由图知10c12,abc(10,12)10(2017杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设函数f(x)若|f(x)f(xl)2|f(x)f(xl)|2(l0)对任意实数x都成立,则l的最小值为_. 【导学号:68334014】2作出函数f(x)的图象如图,要使原不等式对任意实数x都成立,由不等式|a|b|ab|得|f(x)f(xl)2|f(x)f(xl)|f(x)f(xl)2f(x)f(xl)|2,化简得即对任意实数恒成立,当x时,f(l)2,l0,则l,l2,故l的最小值是2.题组3利用数形结合解决解析几何问题11已知圆C:(x3)2(y4)21和两点A(m,0),B(m,0)(m0)若圆C上存在点P,使得APB90,则m的最大值为()A7B6C5D4B根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r1,且|AB|2m,因为APB90,连接OP,易知|OP|AB|m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|5,所以|OP|max|OC|r6,即m的最大值为6.12(2017杭州高级中学高三最后一模)已知双曲线C:1的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P,Q,若PAQ且5,则双曲线C的离心率为() 【导学号:68334015】A.B2C.D3A由图知APQ是等边三角形,设PQ的中点为H,圆的半径为r,则AHPQ,AHr,PQr,由题易知,点P,Q在原点O的同侧,因为5,所以OPr,PHr,即OHrrr,所以tanHOA,即,从而得e,故选A.13已知P是直线l:3x4y80上的动点,PA,PB是圆x2y22x2y10的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为_2从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRtPAC|PA|AC|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,此时|PC|3,从而|PA|2.所以(S四边形PACB)min2|PA|AC|2.14已知过原点的动直线l与圆C1:x2y26x50相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:yk(x4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由. 【导学号:68334016】解(1)圆C1的方程x2y26x50可化为(x3)2y24,所以圆心坐标为(3,0).2分(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0),则x0,y0.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为ytx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1t2)x26x50.5分由题意,可得3620(1t2)0(*),x1x2,所以x0,代入直线l的方程,得y0.6分因为xy3x0,所以2y.由(*)解得t2,又t20,所以x03.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为2y2.8分(3)由(2)
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