高等数学导数微分学习辅导及公式总结.doc

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薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈蚄螄羄膀蒇蚀羃节蚃薆羃莅蒆袄羂肄芈螀肁膇蒄蚆肀艿芇薂聿罿蒂薈肈膁芅袇肇芃薀螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膇莂袃膄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅蚁蝿芄蒈薇螈莆蚄袆螇肆蒆螂螆膈蚂蚈螅芁蒅薄袅莃芈袃袄肃蒃蝿袃膅芆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆袀腿薀袅衿节莂螁衿莄薈蚇羈肃莁薃羇膆薆葿羆芈荿袈羅肈 高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分 导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。在点处可导是指极限存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限 函数在点处的导数的几何意义是曲线上点处切线的斜率。曲线在点处的切线方程为函数在点可导，则在点连续。反之则不然，函数在点连续，在点不一定可导。了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则（3）隐函数求导方法（4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，例如函数，求。在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即 再用导数的加法法则计算其导数，于是有 这样计算不但简单而且不易出错。又例如函数 ，求。显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得两端求导得整理后便可得若函数由参数方程的形式给出，则有导数公式能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。熟练掌握微分运算法则微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 一阶微分形式的不变性微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的阶导数就要先求函数的阶导数。1高等数学公式平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函数： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 辅助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin3() cos(3)=4cos3()-3cos 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算 编辑本段 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上kZ) 部分高等内容 编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y;y=y，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式： 函数角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化积公式：倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函数性质：高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程 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