导数在函数中的应用——题型总结.doc

1 导数在函数中的应用 一.基础知识 1.函数的导数与单调性 在某个区间内，若 ( )fx 0，则函数 )(xfy 在这个区间内单调递增；若 ( )fx 0，右侧 ( )fx 0，且 ( )fx =0，那么 0 ()f x 是极小 值； 3.函数的导数与最值 (1)函数 )(xfy 在区间a,b上有最值的条件：一般地，如果在区间a,b上，函数 )(xfy 的 图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2) 求函数 )(xfy 在区间a, b上最大值与最小值的步骤： 求函数 )(xfy 在区间（a,b）内的极值； 将函数 )(xfy 的各个极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值 4利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间 的函数关系式 yf(x)； (2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0； (3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答 注意事项 1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但 直线不一定与曲线有且只有一个公共点 2.(1)f(x)0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件 (2)对于可导函数 f(x)，f(x0)0 是函数 f(x)在 xx0 处有极值的必要不充分条件 3.求函数单调区间的步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f(x)； (3)由 f(x)0(f(x)0)解出相应的 x 的范围 当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是减函数， 还可以列表，写出函数的单调区间 4.(1)注意实际问题中函数定义域的确定 (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值 还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 2 二.题型训练 题型一 求曲线切线的方程 例 1.已知函数 f(x)x34x25x4. (1)求曲线 f(x)在 x2 处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程 变式1.曲线 yxex1 在点(0,1)处的切线方程是( ) Axy10 B2xy10 Cxy10 Dx2y20 2.直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1,3)，则 ab 的值为( ) A4 B1 C3 D2 题型二.求函数的单调区间 例 2. 已知函数 f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4. (1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值 练习：1. 设函数 f(x)x(ex1) x2，则函数 f(x)的单调增区间为_ 1 2 2. 已知函数 f(x) x3ax2bx(a，bR) 1 3 (1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(1) ，且函数 f(x)在上不存在极值点，求 a 的取值范 1 3 (0， 1 2) 围 3 题型三.分类讨论求函数的单调区间 例 3. 已知函数 f(x)x2axbln x(x0，实数 a，b 为常数) (1)若 a1，b1，求函数 f(x)的极值；(2)若 ab2，讨论函数 f(x)的单调性 练习： 1. 已知函数 f(x)x2(a2)xaln x2a2，其中 a2. (1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在(0，2上有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围 2. 已知 aR，函数 3 ( )42f xxaxa （1）求的单调区间（2）证明：当 01 时， + 0.( )f xx( )f x2a 4 3. 设函数()求的单调区间 x f x eax2 f x ()若 a=1，k 为整数，且当 x0 时，求 k 的最大值 xk f xx10 小结： 利用导数研究函数的单调性关注四点 (1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论 (2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论 (3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论 (4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制 题型四.单调性的逆用 例 4. 已知函数 f(x)x3ax23x. (1)若 f(x)在1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间 练习： 1. 已知函数 f(x)(xa)27bln x1，其中 a，b 是常数且 a0. (1)若 b1 时，f(x)在区间(1，)上单调递增，求 a 的取值范围； (2)当 b a2时，讨论 f(x)的单调性 4 7 5 2. 若函数 f(x)x2ax 在上是增函数，则 a 的取值范围是( ) 1 x ( 1 2，) A1,0 B1，) C0,3 D3，) 3. 函数 f(x) x3x2ax5 在区间1,2上不单调，则实数 a 的范围是_ 1 3 4. 已知函数 f（x）= 32 1 3 xxaxb的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2 ()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+ 1 m x 是2,上的增函数，求实数 m 的最大。 5. 已知函数)0(ln 1 )( ax ax x xf （1）若函数)(xf在), 1 上为增函数，求实数a的取值范围； （2）当1a时，求)(xf在2 , 2 1 上的最大值和最小值. 6 题型五.求函数的极值、最值 例 5. 已知函数在处取得极值为 3 ( )f xaxbxc2x 16c （1）求、的值；（2）若有极大值 28，求在上的最大值 ab( )f x( )f x 3,3 练习： 1. 关于x的方程x33x2a0 有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_ 2. 已知是实数，1 和是函数的两个极值点ab，1 32 ( )f xxaxbx （1）求和的值；ab （2）设函数的导函数，求的极值点；( )g x( )( )2g xf x( )g x （3）设，其中，求函数的零点个数( )( ( )h xf f xc 22c ，( )yh x 7 3. 已知函数 f(x)x1(aR，e 为自然对数的底数) a ex (1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值； (3)当 a1 时，若直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)没有公共点，求 k 的最大值 4. 已知函数 f(x)ax 3ln x，其中 a 为常数 2 x (1)当函数 f(x)的图象在点( ，f( )处的切线的斜率为 1 时，求函数 f(x)在 ，3上的最小值； 2 3 2 3 3 2 (2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围 8 题型六.导数与方程 例 6. 设 a 为实数，函数 32 ( )f xxxxa （1）求极值 （2）求与 x 轴只有一个交点时 a 的取值范围( )f x( )f x 变式：若与 x 轴有 2 个交点时 a 的取值范围？ 练习： 1. 设函数 Rxxxxf, 56)( 3 （）求 )(xf 的单调区间和极值；（）若关于x的方程 axf)( 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范 围. （）已知当 ) 1()(,), 1 (xkxfx时 恒成立，求实数 k 的取值范围. 9 2. 已知函数), 2()( 3 1 )(, 2 ) 1( 3 1 )( 23 在区间且xfkxxgx k xxf上为增函数. （1）求k的取值范围；（2）若函数)()(xgxf与的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围. 3. 已知函数 f（x）=xlnx， ()求 f(x)的最小值；()讨论关于 x 的方程 f(x)-m=0(mR)的解的个数； 4. 已知 a，b 为常数，且 a0，函数 f(x)axbaxln x，f(e)2(e2.718 28是自然对 数的底数) (1)求实数 b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间； (3)当 a1 时，是否同时存在实数 m 和 M(mM)，使得对每一个 tm， M，直线 yt 与曲线 yf(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数 m 和最大的实数 (x 1 e，e) M；若不存在，说明理由 10 题型七.利用导数证明不等式 例 7. 设 a 为实数，函数 f(x)ex2x2a，xR. (1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 aln 21 且 x0 时，exx22ax1. 练习： 1. 已知 mR，函数 f(x)(x2mxm)ex (1)若函数没有零点，求实数 m 的取值范围；(2)当 m0 时，求证 f(x)x2x3. 2. 已知函数.证明：；(x) 1 x x e f xe 0(x)1f 11 3. 已知 1lnaxxxf （1）若存在 使得0 成立，求的范围 , 0x( )f xa （2）求证：当1 时，在（1）的条件下，成立x 2 1 ln 2 1 2 xxaaxx 题型八.恒成立问题 例 8. 已知函数 f(x)xln x. (1)求 f(x)的最小值(2)若对所有 x1 都有 f(x)ax1，求实数 a 的取值范围 12 练习： 1. 已知函数 f(x)aln x (a0) 1 x (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)已知对任意的 x0，ax(2ln x)1 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)是否存在实数 a，使得函数 f(x)在1，e上的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理 由 2. 已知 f(x)xln x，g(x)x2ax3. (1)求函数 f(x)在t，t2(t0)上的最小值； (2)对一切的 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)证明：对一切 x(0，)，都有 ln x. 1 ex 2 ex 13 3. 已知函数 f(x)axln x 图像上点(e，f(e)处的切线与直线 y2x