高斯公式通量与散度.ppt

上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、高斯公式 二、通量与散度 10.6 高斯公式 通量与散度 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、高斯公式 v定理1 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数 P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上具有一阶连续偏导数 则有 这里是的整个边界的外侧 cos、cos、cos是在点 (x y z)处的法向量的方向余弦 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解： 例1利用高斯公式计算曲面积分 其中为平面x0 y0 z0 xa ya za所围成的立体的表面 的外侧 。 由高斯公式 原式 (这里用了对称性) 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 设1为zh(x2y2h2)的上侧 为 与1所围成的空间闭区域 则 解 为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h0)之 间的部分的下侧 cos、cos、cos是上 点(x, y, z)处的法向量的方向余弦 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 说明 例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连 续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 设与n同向的单位向量为(cos cos cos) 则 证 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式 例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连 续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 二、通量与散度 v高斯公式的物理意义 高斯公式 其中vnvnPcosQcosRcos 可以简写成 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的 总质量 左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生 的流体的总质量 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 提示 其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的 流体质量的平均值 提示 其左端表示流体在点M的源头强度单位时间单位 体积分内所产生的流体质量 称为v在点M的散度 v散度 由积分中值定理得 设的体积为V 由高斯公式得 令缩向一点M(x y z)得 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology v散度 设某向量场由A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k 给出 其中P Q R具有一阶连续偏导数 则称 为向量场A的散度记作divA 即 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology v通量 向量场A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k的散度 设是场内的一片有向曲面 n是上点(x y z)处的单位法 向量 则称 为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量) v散度 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology v通量 向量场A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k的散度 向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量) v散度 v高斯公式的另一形式 上