高数下常数项级数的审敛法.ppt

高等数学（下） 河海大学理学院 第二节 数项级数审敛法 高等数学（下） 一、正项级数及其审敛法 1.定义: 这种级数称为正项级数 . 2.正项级数收敛的充要条件: 定理 显然有显然有 正项级数收敛 部分和数列 有上界. 例如例如 发散发散 S S n n 高等数学（下） 证 3.比较审敛法 收敛，收敛，则其则其部分和有上界部分和有上界MM MM 即 的部分和数列有上界 高等数学（下） 例如 证 高等数学（下） 证明 推论推论 若若 ，则有相应的性质，则有相应的性质 . . (保大弃小) 高等数学（下） 解 由 单调递减知 高等数学（下） 重要参考级数: 等比级数, P-级数. 用保大弃小法选参考级数. 高等数学（下） 4. 4. 积分判别法：积分判别法： 设设 f (x) f (x) 是是 1 , 1 , ) ) 上的单减非负连续函数上的单减非负连续函数 . . u u n n f (n) , nf (n) , n1 1，2 2，33 则级数则级数 与广义积分与广义积分 同敛散同敛散 . . =1 n n u 高等数学（下） 相加相加 ，得，得 即即 若若 收敛，则收敛，则 存在，存在， =1 n n u 因此因此 S S n n 有界有界 . . 又又 f (x) f (x) 非非负负 , , 因此因此 关于关于 n n 单增，单增， 所以所以 收敛收敛 . . 高等数学（下） 若若 收敛收敛 , , 即即 存在存在 , , 因此因此 有界有界 , , 所以所以 , , S S n n 有界有界 . .那么正项级数那么正项级数 收敛收敛 . . =1 n n u 例:用积分判别法验证p-级数的收敛性. 高等数学（下） 5.比较审敛法的极限形式: 设 =1 n n u与 =1 n n v都是正项级数 ,如果 则(1) 当时,二级数有相同的敛散性 ; (3) 当 时, 若 =1 n n v发散, 则 =1 n n u发散. (2) 当时，若收敛, 则 收敛; (2) 相当于 ; (3) 相当于 . 高等数学（下） 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 高等数学（下） 解 原级数发散 . 故原级数收敛 . 高等数学（下） 高等数学（下） 例如例如: :证明证明 Euler Euler 数数 是存在的是存在的 . . 高等数学（下） 证明 高等数学（下） =1 n n u因此因此 收敛收敛 . . =1 n n u因此因此 发散发散 . . 高等数学（下） 比值审敛法的优点: 不必找参考级数 . 注意: 2. 2. 必须是极限必须是极限 . . 若若未必未必 收敛收敛 . . =1 n n u 高等数学（下） 高等数学（下） 解 高等数学（下） 比值审敛法失效, 改用极限审敛法 高等数学（下） 级数收敛. 7. 7.根式审敛法根式审敛法 ( ( Cauchy Cauchy 判别法判别法 ): ): 高等数学（下） 例例5 5 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 . . 解解 当当0 0 x x e e 时级数收敛时级数收敛 ; ; 当当 x x e e 时发散时发散 . . 当当 x x e e 时时 , , 注意到注意到 单增单增 , , 0 0 级数发散级数发散. . 高等数学（下） 例例6 6 证明证明 考虑级数考虑级数 高等数学（下） 判别正项级数敛散性的步骤: 4用比值审敛法或根值审敛法; 4以P-级数为参考级数,用比较审敛法; 4通项 ,级数发散; 4以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分 判别法; 4看部分和Sn是否有上界; 4用Cauchy收敛原理; 4用定义,求和s. u u n n 0 0 (n) (n) 高等数学（下） 解 高等数学（下） 二、交错级数及其审敛法 定义 即：正、负项相间的级数称为交错级数. 高等数学（下） 证明 部分和数列为部分和数列为 SS n n, , 设首项设首项 u u1 1 0,0,即即级数级数 高等数学（下） 这仍然是一个满足Leibniz收敛条件的交错级数 定理证毕. 若首项若首项- - u u1 1 0,0,则由线性则由线性 高等数学（下） 解 原级数收敛. 自己做自己做：证明：证明 收敛收敛 . . 高等数学（下） 三、绝对收敛与条件收敛 例如例如: :是是绝对收敛的绝对收敛的. . 对对任意的任意的 x , x , 是绝对收敛的是绝对收敛的. . 高等数学（下） 证明 注意注意: :该定理的逆命题不成立该定理的逆命题不成立 . . 例如例如 高等数学（下） 全体级数分为全体级数分为: : 发散级数发散级数 收敛级数收敛级数 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛 高等数学（下） 解 故由定理知原级数绝对收敛. 高等数学（下） 五、小结 正 项 级 数任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4.充要条件 5.比较法、极限法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 高等数学（下） 判别一般项级数敛散性的步骤: 4对通项取绝对值后,用比值审敛法或根值审敛法; 4对通项取绝对值后,以P-级数为参考级数,用比较 审敛法;若发散,对原级数用Leibniz判别法; 4通项 ,级数发散; 4对通项取绝对值后,以其它级数为参考级数,用比 较审敛法,或积分判别法;若发散,对原级数用 Leibniz判别法; 4用Cauchy收敛原理; 4用定义,求和s. u u n n 0 0 (n) (n) 高等数学（下） 高等数学（下） 四、绝对收敛级数的性质 定理定理1 1 对于绝对收敛级数，任意交换它的各项次对于绝对收敛级数，任意交换它的各项次 序所得到的新级数也绝对收敛，且与原级数的和序所得到的新级数也绝对收敛，且与原级数的和 相同相同 . . 注意注意: : 对条件收敛级数不成立对条件收敛级数不成立 . . 例如例如 经经重排重排 , , 可能会发散可能会发散 ; ; 即使收敛即使收敛 , , 其和也未必其和也未必 等于原级数的和等于原级数的和 . . 即书上的定理即书上的定理. . (无穷和式的交换律) 高等数学（下） 定理定理2 2 : : 设级数设级数 与与 都绝对收敛都绝对收敛 , ,它它 们的和分别为们的和分别为 A , B . A , B . 则它们各项相乘得到的所则它们各项相乘得到的所 有可能的乘积有可能的乘积 a a i i b bj j 按按任意次序排列所得到的级任意次序排列所得到的级 数数 也绝对收敛也绝对收敛 , , 且其和为且其和为 AB .AB . (无穷和式的分配律) 高等数学（下） 正方形乘积正方形乘积对角线乘积 对角线乘积, , 高等数学（下） 对角线乘积（对角线乘积（也称也称CauchyCauch