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第五讲 原函数与不定积分 Cauchy积分公式 解析函数的高阶导数 & 1. 原函数与不定积分的概念 & 2. 积分计算公式 3.4 原函数与不定积分 1. 原函数与不定积分的概念 由2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区 域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分 c fdz与路 径无关，只与起点和终点有关。 当起点固定在z0, 终点z在B内变动, c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作 定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在 B内解析，且 定义 若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z) ，即 ,称 (z)为f (z)在B内的原函数. 上面定理表明 是f (z)的一个 原函数。 设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数， 这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 (见第二章2例3) 2. 积分计算公式 定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作 定理 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)是f (z) 的一个原函数，则 A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式. A 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强 例1 计算下列积分： 解1) 解2) 例3 计算下列积分： 小结 求积分的方法 利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上 的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解 析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析 函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数 的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的方法. 内 容 简 介 3.5 Cauchy积分公式 分析 D C z0 C1 D C z0 C1 猜想积分 定理(Cauchy 积分公式) 证明 A A 一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上的平均值. 例1 解 例2 解 C C1 C2 1 x y o 例3 解 内 容 简 介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导 出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函 数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值 也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这 一点与实变函数有本质区别。 6 解析函数的高阶导数 形式上， 以下将对这些公式的正确性加以证明。 定理 证明 用数学归纳法和导数定义。 令为I 依次类推，用数学归纳法可得 一个解析函数
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