北京市西城区2018届高三5月模拟测试二模数学理试题含答案.doc

西城区高三模拟测试 数学（理科） 2018.5 第第卷卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选 出 符合题目要求的一项 1若集合，则下列结论中正确的是 |01Axx 2 |20Bx xx （A） AB （B）AB R （C）AB（D）BA 2若复数满足，则z(1i)1zz （A） 1i 22 （B） 1i 22 （C） 1i 22 （D） 1i 22 3下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是(0,1) （A） 1 y x （B） 2 yx（C） | | 2 x y （D）cosyx 4某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧面积是 （A） 12 （B）4 10 （C） 12 2 （D）8 5 5向量在正方形网格中的位置如图所示 若向量与 , ,a b cabc 共线，则实数 （A）2（B）1（C）1（D）2 6已知点，若椭圆上存在点，使得为等边三角形，(0,0)A(2,0)B 22 :1 2 xy W m CABC 则椭圆的离心率是W （A） 1 2 （B） 2 2 （C） 6 3 （D） 3 2 7函数则“”是“，使”的 2 ( )1f xxa0a 0 1,1x 0 ()0f x （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 8在直角坐标系中，对于点，定义变换：将点xOy( , )x y( , )x y 变换为点，使得 其中这样变( , )a b tan , tan , xa yb ,(,) 2 2 a b 换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线xOyaOb 则四个函数， 1 2(0)yx x 2 2 (0)yxx 3 e (0) x yx 在坐标系内的图象，变换为坐标系内 4 ln(1)yx xxOyaOb 的四条曲线（如图）依次是 （A），（B）， （C），（D）， 第第卷卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知圆的参数方程为（为参数） ，则圆的面积为_；圆心到直C 2cos , sin x y CC 线 的距离为_:340lxy 10的展开式中的系数是_ 24 1 ()x x 2 x 11在中，则_ABC3a 2b 3 Acos2B 12设等差数列的前项和为若，则数列的通项公式可以是 n an n S 1 1a 23 SS n a _ 13设不等式组 表示的平面区域为若直线上存在区域上的 1, 3, 25 x xy xy D0axyD 点，则 实数的取值范围是_ a 14地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个 安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E 疏散乘客时间（s）120220160140200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数( )(1tan ) sin2f xxx （）求的定义域；( )f x （）若，且，求的值(0,)( )2f 16 （本小题满分 14 分） 如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，ABCDABEF ，/ABCDEFABAD2CDDAAFFE 4AB （）求证：平面；/DFBCE （）求二面角的余弦值；CBFA （）线段上是否存在点，使得平面？CEGAG BCF 请说明理由 17 （本小题满分 13 分） 在某地区，某项职业的从业者共约 8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病为了解 这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业 病，使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整 理得到如下统计图： （）求样本中患病者的人数和图中 a，b 的值； （）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人，求这 2 人中有患病者的概率； （III）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检 * 0 0.5 ()XnnN 测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种 0 X 0 X 职业病从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病写 出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论） 0 X 18 （本小题满分 14 分） 已知直线与抛物线相切于点:1l ykx 2 :4C yxP （）求直线 的方程及点的坐标； lP （）设在抛物线上，为的中点过作轴的垂线，分别交抛物线和直线QCAPQAyC 于，记的面积为，的面积为，证明：lMNPMN 1 SQAM 2 S 12 SS 19 （本小题满分 13 分） 已知函数，曲线在处的切线经过点 ln ( ) x f xax x ( )yf x1x (2, 1) （）求实数的值；a （）设，求在区间上的最大值和最小值1b ( )f x 1 , b b 20 （本小题满分 13 分） 数列：的各项均为整数，满足：，且 n A 12 ,(2) n aaan1 (1,2, ) i ain ，其中 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 1 0a （）若，写出所有满足条件的数列；3n 3 A （）求的值； 1 a （）证明： 12 0 n aaa 西城区高三模拟测试 数学（理科）参考答案及评分标准 2018.5 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1C 2A 3D 4B 5D 6C 7A 8A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9， 10 11 6 5 6 1 3 12（答案不唯一） 13 14D2n 1 ,3 2 注：第注：第 9 9 题第一空题第一空 3 3 分，第二空分，第二空 2 2 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） 解：（）因为函数的定义域是，tanyx |, 2 xxkkRZ 所以的定义域为 ( )f x |, 2 xxkkRZ 4 分 （）( )(1tan ) sin2f xxx sin (1) sin2 cos x x x 5 分 2 sin22sinxx 6 分 sin2cos21xx 7 分 2sin(2)1 4 x 8 分 由，得 ( )2f 2 sin(2) 42 9 分 因为 ，所以， 0 7 2 444 10 分 所以 ，或 2 44 3 2 44 11 分 解得 ，或（舍去） 4 2 13 分 16 （本小题满分 14 分） 解：（）因为 ，且，/CDEFCDEF 所以 四边形为平行四边形，CDFE 所以 2 分/DFCE 因为 平面， 3 分DF BCE 所以 平面 4 分/DFBCE （）在平面内，过作ABEFAAzAB 因为 平面平面，平面平面，ABCD ABEFABCDIABEFAB 又 平面，Az ABEFAzAB 所以 平面，Az ABCD 所以 ， ADABADAzAzAB 如图建立空间直角坐标系 Axyz 5 分 由题意得，(0,0,0)A(0,4,0)B(2,2,0)C(0,3, 3)E(0,1, 3)F 所以 ，(2, 2,0)BC (0, 3, 3)BF 设平面的法向量为， BCF( , , )x y zn 则 即 0, 0, BC BF n n 220, 330. xy yz 令，则，所以 1y 1x 3z (1,1, 3)n 7 分 平面的一个法向量为 ， ABF(1,0,0)v 8 分 则 5 cos, |5 n v n v n v 所以 二面角的余弦值 CBFA 5 5 10 分 （）线段上不存在点，使得平面，理由如下： CEGAG BCF 11 分 解法一：设平面的法向量为， ACE 111 (,)x y zm 则 即 0, 0, AC AE m m 11 11 220, 330. xy yz 令，则，所以 1 1y 1 1x 1 3z ( 1,1,3) m 13 分 因为 ，0m n 所以 平面与平面不可能垂直，ACEBCF 从而线段上不存在点，使得平面 CEGAG BCF 14 分 解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下： CEGAG BCF 11 分 假设线段上存在点，使得平面，CEGAG BCF 设 ，其中CGCE 0,1 设 ，则有， 222 (,)G xyz 222 (2,2,)( 2 , , 3 )xyz 所以 ，从而 ， 2 22x 2 2y 2 3z(22 , 2,3 )G 所以 (22 ,2, 3 )AG 13 分 因为 平面，所以 AG BCF/AGn 所以有 ， 2223 113 因为 上述方程组无解，所以假设不成立 所以 线段上不存在点，使得平面 CEGAG BCF 14 分 17 （本小题满分 13 分） 解：（）根据分层抽样原则，容量为 100 的样本中，患病者的人数为 人 2 分 3.4 10040 8.5 ，10.100.350.250.150.100.05a 10.100.200.300.40b 4 分 （）指标检测数据为 4 的样本中， 有患病者人，未患病者人 400.208600.159 6 分 设事件 A 为“从中随机选择 2 人，其中有患病者” 则 ， 2 9 2 17 C9 (A) C34 P 8 分 所以 25 (A)1(A) 34 PP 9 分 （）使得判断错误的概率最小的 0 4.5X 11 分 当时，判断错误的概率为 0 4.5X 21 100 13 分 18 （本小题满分 14 分） 解：（）由 得 2 1, 4 ykx yx 22 (24)10k xkx 2 分 依题意，有，且0k 22 (24)40kk 解得 1k 3 分 所以直线 的方程为 l1yx 4 分 将 代入，解得 ，1k 1x 所以点的坐标为 P(1,2) 5 分 （）设 ， 则 ，所以 ( , )Q m n 2 4nm 12 (,) 22 mn A 7 分 依题意，将直线 分别代入抛物线与直线 ， 2 2 n y Cl 得 ， 2 (2)2 (,) 162 nn M 2 ( ,) 22 n n N 8 分 因为 ， 22 (2)444441 | 16216164 nnnnmnmn MN 10 分 22 1(2)(88)(44) | 21616 mnmnn AM ， (88)(444)1 164 mmnmn 12 分 所以 | |AMMN 13 分 又 为中点，所以两点到直线的距离相等， APQPQ，AN 所以 12 SS 14 分 19 （本小题满分 13 分） 解：（）的导函数为， ( )f x 2 2 1 ln ( ) xax fx x 2 分 所以(1)1fa 依题意，有 ， (1)( 1) 1 12 f a 即 ， 1 1 12 a a 4 分 解得 1a 5 分 （）由（）得 2 2 1ln ( ) xx fx x 当时，所以，故单调递增；0 1x 2 10xln0x( )0fx( )f x 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减 ( )f x(0,1)(1,) 8 分 因为 ， 所以 最大值为 1 01b b ( )f x(1)1f 9 分 设 ，其中 111 ( )( )( )()lnh bf bfbbb bbb 1b 10 分 则 ， 2 1 ( )(1)ln0h bb b 故 在区间上单调递增 ( )h b(1,) 11 分 所以 ， 即 ， ( )(1)0h bh 1 ( )( )f bf b 12 分 故 最小值为 ( )f x 11 ( )lnfbb bb 13 分 20 （本小题满分 13 分） 解：（）满足条件的数列为：； 3 A1, 1,6 1,0,41,1,21,2,0 3 分 （） 1 1a 4 分 否则，假设，因为，所以又，因此有 1 1a 1 0a 1 1a 23 ,1 n aaa 123 1231 2222 nnn nn aaaaa 123 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) nnn ， 123 222211 nnn 这与矛盾！ 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 所以 1 1a 8 分 （）先证明如下结论：，必有.1,2,1kn 12 12 2220 nnn k k aaa 否则，令 ， 12 12 2220 nnn k k aaa 注意左式是的整数倍，因此 2n k 12 12 2222 nnn kn k k aaa 所以有： 123 1231 2222 nnn nn aaaaa 12 2( 1) 2( 1) 2( 1)