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第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 1 / 76 土木工程学院土木工程学院 结构力学学科组结构力学学科组 HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 结构力学结构力学 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 2 / 76 4-1 4-1 超静定结构计算的一般方法超静定结构计算的一般方法 1.超静定结构的几何特征和静力特征 静力特征: 仅由静力平衡方程就能 求出所有内力和反力。 几何特征: 没有多余约束的几何不 变体系。 静力特征: 仅由静力平衡方程不能 求出所有内力和反力。 几何特征: 有多余约束的几何不变 体系。 FP FP 静定结构 超静定结构 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 3 / 76 基本思想: 1、找出未知问题不能求解的原因； 2、改造原问题将其化成会求解的问题； 3、找出改造后的问题与原问题的差别； 4、消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的解 3.超静定结构的计算方法 具体操作: 1、在所有未知量中分出一部分作为基本未知量； 2、将其它未知量表成基本未知量的函数； 3、集中力量求解基本未知量。 基本方法 力 法 取某些力作为基本未知量； 位移法 取某些位移作为基本未知量。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 4 / 76 4-2 4-2 力法力法 4-2-1 4-2-1 力法思路力法思路 基本结构 待解的未知问题 X1 基本体系 基本未知量 基本方程 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 5 / 76 力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。 将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法的基 本结构。 根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法 基本方程。 将未知问题转化为已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别，使未知问题得以解 决。这是科学研究的基本方法之一。 在变形条件成立条件下，基本体系的内力和位移 与原结构相同。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 6 / 76 4-2-2 4-2-2 超静定次数及力法基本体系和基本超静定次数及力法基本体系和基本 未知量的确定未知量的确定 解除约束法：由于超静定结构具有多余约束 ，而多余约束的个数即是超静定的次数。通 过将超静定结构逐渐去除多余约束，使之与 相近的静定结构相比, 比静定结构多几个约 束即为几次超静定结构。 超静定次数的确定 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 7 / 76 超静定次数 = 多余约束个数 超静定结构 = 静定结构 + 多余约束 FP X1X2 FP FP X2 X1 去除多余约束的方 法并不唯一；但超 静定次数是唯一的 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 8 / 76 去掉一个链杆或切 断一个链杆相当于 去掉一个约束 内部有一个多余约束 外部有一个多余约束 两次超静定 FP X1 FP X2 X2 例题找出多余约束，并判断超静定次数 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 9 / 76 截开一个单 铰或去掉一 个固定铰支 座相当于去 掉两个约束 FP FP X2X2 X1X1 FP FP X2 X1 例题找出多余约束，并判断超静定次数 两次超静定两次超静定 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 10 / 76 切断一根梁式杆 或去掉一个固定 端支座相当于去 掉三个约束 FP FP X1 X2 X3 FP X2 X2 X1X1 X3X3 例题找出多余约束，并判断超静定次数 三次超静定 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 11 / 76 将刚性连接 变成铰结点 或将固定端 支座变成固 定铰支座相 当于去掉一 个约束。 FP X1X1 FP X1 FP 例题找出多余约束，并判断超静定次数 一次超静定 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 12 / 76 几何可变体系不能作为 基本体系； 去除多余约束过程不能 改变必要约束性质。 FP X1 FP 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 13 / 76 计算自由度法：通过求出的计算自由度数得 出多余约束数，从而确定超静定次数。 3 次超静定 8 次超静定 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 14 / 76 1 次超静定 为什么不是 三次超静定？ X1 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 15 / 76 力法力法 方程方程 其中11 和1P 可图乘法获得； 由此确定约束力X1，通过叠加求内力； 超静定问题变成静定问题。 4-2-3 4-2-3 力法的解题步骤力法的解题步骤 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 16 / 76 力法步骤力法步骤: : 1. 确定基本体系； 2. 通过位移条件写出力法方程； 3. 作单位弯矩图，荷载弯矩图； 4. 求出系数和自由项（也称广义荷载位移）； 5. 解力法方程求多余力； 6. 叠加法作弯矩图。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 17 / 76 比较静定结构与超静定结构的弯矩图 比较可知，采取超静定结构降低了梁的最大 弯矩，提高了梁的承载能力。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 18 / 76 1.荷载作用下的结构分析 4-2-4 4-2-4 力法举例力法举例 FP EI EI FP X1 FP X1=1 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 19 / 76 不同的基本结构计算工作量繁简不同，应尽量选取便 于计算的静定结构作为基本结构。 选用其它基本体系 X1 X1 X1 EI FP EI FP EI EI 尽管选取的基本结构不同，但力法方程形式均为： 不同的基本结构对应的基本方程的物理含意义不同。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 20 / 76 X1 q X1 qq ll/2 EI X1 q 选取基本体系 图形贴补法 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 21 / 76 荷载作用下超静定结构内力分布与刚度的绝对值 EI无关，只与各杆的相对刚度有关。 EI的大小 不影响内力的大小和分布，只影响位移的大小。 （该结论只适用于荷载作用情况） FP EI EI 练习 已知条件如图示，用力法分析结构内力。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 22 / 76 FP 练习 已知条件如图示，用力法分析结构内力。 FP aa a/2 各杆EA等于常数 弯曲杆EI等于常数 二力杆EA等于常数 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 23 / 76 与荷载情况静力计算的区别在于自由项计算的不同。 由于多余力的存在，当温度改变或支座移动时会引由于多余力的存在，当温度改变或支座移动时会引 起弹性变形，产生内力，这是超静定结构不同于静起弹性变形，产生内力，这是超静定结构不同于静 定结构的特征之一。定结构的特征之一。 由于基本结构是静定的，在温度改变或支座移动时不产生 内力，所以超静定结构的最终内力只与多余力的值有关。 温变情况自由项 支座移动自由项 2 非荷载因素作用下的结构分析 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 24 / 76 温度改变情况下的静力计算温度改变情况下的静力计算 t1 t2 EI l t2 t1 在温变情况 下结构内力 和反力与杆 件的绝对刚 度成正比。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 25 / 76 支座移动情况下的计算支座移动情况下的计算 基本体系不同，基本方程也 有所改变。 EI l 在支座移动情况下结构内力 和反力与杆件的绝对刚度成 正比。 基本体系1 基本体系2 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 26 / 76 弹性支座情况下的计算弹性支座情况下的计算 当把弹簧考虑成支座时，铰 接端弹簧处竖向位移与弹簧 内力有关： EI l k FP FP 基本体系1 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 27 / 76 当把弹簧考虑成结构的一部 分时，截断弹簧处竖向相对 位移为零： EI l k FP FP k 讨论内力随 k变化弯矩 图的变化规 律 基本体系2 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 28 / 76 X1 X2 3.多变量的力法的典型方程 EI 2EI qq q X1 X2 基本体系 变形条件: 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 29 / 76 由叠加原理: 力法的典型方程 q 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 30 / 76 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 31 / 76 广义荷载位移（自由项） 根据线弹性体系的叠加原理可知：多余力及荷载共同作用下基 本结构产生的位移等于它们分别作用时所产生位移的总和。 主系数（i = j） 副系数（i j） 以上均各量均可由位移计算公式求得。 ij 是与外因无关的位移影响系数，是基本结构的特性 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 32 / 76 4-3 4-3 力法计算的简化力法计算的简化 目的是使选用的基本结构和基本未知量便于计 算，尽可能缩小计算规模，降低线性方程组的阶数 ；使尽可能多的副系数等于零（减少未知量数；减 小未知力和外载的影响范围） 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 33 / 76 4-3-1 4-3-1 无弯矩状态的判别无弯矩状态的判别 不计轴向变形前提下，下列情况无弯矩，只有轴力。 (1)、集中荷载沿柱轴作用 (2)、等值反向共线集中荷载沿杆轴作用。 (3)、集中荷载作用在不动结点。 FP FPFP FP 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 34 / 76 判断方法: 结构化成铰接体系，荷载仍然作用在结点， 若在当前状态体系能平衡外荷载，则可断定原体 系无弯矩。 FP FPFP FP 无弯矩证明 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 35 / 76 (1)(1)、结构对称性、结构对称性(Symmetry) 的概念的概念 4-3-2 4-3-2 对称性的利用对称性的利用 几何对称 支承对称 刚度对称 反对称结构？ 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 36 / 76 FP X2 X2 X1X1 X3X3 选取对称基本结构的对称基本未知 量和反对称基本未知量 FP 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 37 / 76 基本方程分为两组： 一组只含反对称未知量 一组只含对称未知量 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 38 / 76 正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相 等，方向和作用点对称的荷载； 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相 等，作用点对称，方向反对称的荷载 （2 2）、对称荷载及反对称荷载）、对称荷载及反对称荷载 FPFPFPFP 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 39 / 76 正对称荷载反对称荷载 练习判断荷载的对称性 FP M 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 40 / 76 对称结构当 作用对称荷 载时，反对 称未知量为 零。其结构 的内力和变 形是对称的 对称荷载分析: FPFPFP X2 X2 X1X1 X3X3 FP FPFP MP M1M2 M3 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 41 / 76 对称结构当作 用反对称荷载 时，对称未知 量为零。其结 构的内力和变 形是反对称的 反对称荷载分析: FPFP X2 X2 X1X1 X3X3 FPFP FPFP MP M1M2 M3 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 42 / 76 已知条件如图示，求作固定梁弯矩图已知条件如图示，求作固定梁弯矩图 对称结构在对称荷载对称结构在对称荷载 作用下，在对称轴处作用下，在对称轴处 只保留了对称未知量只保留了对称未知量 X X2 2 和和X X 3 3 ，所以，所以X X 1 1 =0=0； 而对称轴力与对称弯而对称轴力与对称弯 矩图乘为零矩图乘为零 1212 2121 0 0 2P=0 所以所以 X X 2 2 =0=0。 l FP EI EI X2 X2 X1X1 X3 X3 例题 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 43 / 76 FP MP M3 M 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 44 / 76 求图示结构的弯矩图。EI=常数。 l ll FPFPFPFP 例题 FPFP 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 45 / 76 鉴于结构的对称和荷载的 对称（或反对称）得到的 内力图也具有对称（或反 对称）的特性，可以考虑 仅分析结构的一半（等代 结构），会大大降低计算 工作量。另一半的内力图 可按对称性复制。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 46 / 76 (3)(3)、取等代结构计算、取等代结构计算 要使等代结构能等效代替原结构的受力和 变形状态。关键在于被截开处应按原结构 上的位移条件及相应的静力条件设置相应 合适的支撑。 下面分奇数跨，偶数跨，对称和反对称 荷载作用状态分别给予讨论。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 47 / 76 A、奇数跨结构 对称轴 对称轴 对称荷载 反对称荷载 FPFP AB C FP FPFP FP AB C 半结构 （等代结构） 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 48 / 76 B、偶数跨结构 对称荷载反对称荷载 AB C FPFP FP FPFP AB C FP 对称轴对称轴 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 49 / 76 对称荷载： 无中柱对称结构(奇数跨结构)选取等代结构 FPFP FPFP FP 反对称荷载： FP 例题 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 50 / 76 有中柱对称结构（偶数跨结构）选取等代 结构。 对称荷载: 反对称荷载: FPFPFP FPFPFP 例题 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 51 / 76 利用对称性取半结构分析 FP FPFP FP 练习 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 52 / 76 利用对称性取等代结构 q q qq 例题 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 53 / 76 利用对称性取半结构 FP q q 练习 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 54 / 76 双对称轴取1/4结构做弯矩图 2FP 2FP 2l 2l FP FP X X1 1 例题 等代结构基本体系 基本方程 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 55 / 76 FPFP 双对称轴取1/4结构做弯矩图 例题 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 56 / 76 方法 1：先取对称后取反对称 方法 2：先取反对称后取对称 ？ 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 57 / 76 2FP EI EIEI EI 2EI 2FP 2FP EI EIEI EI 2EI 2FP2FP EI EI EI FP EI 4FP EI EIEI EI 2EI ll l 如何利用对称性 简化计算 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 58 / 76 去除对称结构对称位置上的多余约束，形成对 称的基本结构。将对称位置上的未知力加以组 合成对。 (4)(4)、分解多余未知力为对称组和反对称组、分解多余未知力为对称组和反对称组 FPFPFP FR1FR2 X1X1 X2X2 基本体系 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 59 / 76 FP 计算过程： 基本方程 FP 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 60 / 76 q ll l X1 X1X1 X1 X2 X2X2 X2 例题 q 分析解题途径。 基本方程 基本体系 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 61 / 76 选成对多余未知力选成对多余未知力 4-3-3 4-3-3 其它简化措施其它简化措施 FP FP FP FP FP FP FP FP FP X2=1 X2=1 X1=1 X1=1 X5=1 X5=1 X6=1 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 62 / 76 FP FP X1X2X3 FP X1X2X3 取简支梁为基本结构可使 单位弯矩图和荷载弯矩图 的分布范围限于局部，简 化计算。当跨数多时优势 更明显，并使不相邻的未 知力之间副系数都等于零 基本体系1 基本体系2 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 63 / 76 一般来说需要解超静 定结构的Mi和MP，工 作量较大。 解决思路：如将超静定结构由力法求得的 多余力看作已知荷载，并作用在去掉多余约 束的静定结构上，超静定结构位移计算问题 就可采用在去掉多余约束的静定结构上建立 虚拟力状态的方法得到解决。 (1).荷载作用下的位移计算 4-3-4 4-3-4 位移计算与内力的校核位移计算与内力的校核 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 64 / 76 求荷载作用点的竖向位移 EI FP EI l l FP X1 FP FPFP=1 例题 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 65 / 76 FPFP=1FP=1 FP=1FP=1 多余约束只能减，不 能加，亦不能换位。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 66 / 76 超静定结构位移计算步骤： 1、解超静定结构，绘最终弯矩图 2、将单位力作用于任选的基本结构上，绘 3、用图乘法求相应点的广义位移。 新选的基本结构可以和原来的基本结构相同，也可 以不相同；无论选用什么样的基本结构来绘单位弯 矩图，其计算结果都是相同的。 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 67 / 76 解决思路： 把超静定结构等效替换为多 余约束力和温变或支座移动因素共同 作用下的静定结构，于是，问题转化 为在静定结构上求某项位移（注：不 能忽略温变引起的轴向变形）。 (2).温变或支座移动情况下的位移计算 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 68 / 76 求k点竖 向位移 l k l 25C 15C k 25C 15C FN 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 69 / 76 A B B = 基本结构由于支座移 动引起的角位移基本结 构由于弯曲变形引起的角 位移 已知结构的在支座移动情况下的弯矩图 ，求支座B的转角位移B 例题 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 70 / 76 （3）、计算结果校核 EI 2EI q 错误的解答错误的解答( (X X 1 1 ，X X 2 2 ) ) 能否满足平衡条件能否满足平衡条件? ? 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 71 / 76 1 1、平衡条件校核、平衡条件校核 结构中的任意部分都必须满足平衡条件。但满 足平衡条件的解答不一定是真解。 2 2、变形条件校核、变形条件校核 在满足平衡条件的众多个解答中，满足原结构 变形条件的解答是唯一正确的解答。 （3）、计算结果校核 i = 给定值 第四章第四章 超静定结构计算超静定结构计算 哈工大 土木工程学院 72 / 76 验证图