[数学]高中数学_解析几何习题精选精讲.doc

圆锥曲线定义的深层及综合运用一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y1的最短距离。图3解析：易知抛物线的准线l：，作AA”l，BB”l，MM”l，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y1的最短距离为。评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. 已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ）图4已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ）A. 圆 B. 椭圆C. 双曲线 D. 抛物线解析：如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|QP|，而|QM|OM|OQ|2|OQ|即|OQ|QP|2|OP|故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点长轴长为2的椭圆。应选B。同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（7，0），B（7，0），C（2，12）。若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。图5解析：由椭圆定义知，|AP|AC|BP|BC|，即故P的轨迹为A（7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，其方程为；经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上总有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故点Q的轨迹为以A（7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，其方程为。练习1. 已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以为焦点，为其顶点，若P为两曲线的公共点，且，则e_。答案：2. 已知O：，一动抛物线过A（1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。答案：圆锥曲线中的方法与运算1. (与名师对话第51练) 已知抛物线,点, 问是否存在过点的直线,使抛物线上存在不同的两点关于直线对称,如果存在, 求出直线的斜率的取值范围; 如果不存在,请说明理由. 分析：我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量的取值范围. 解: 设直线的方程为,若,则结论显然成立,即可取.若,则直线PQ的方程为, 由方程组 可得,. 直线PQ与抛物线有两个不同的交点, 即 . 设线段PQ的中点为G(), 则, , 点G()在直线上, =, 由 可得, , , () , 或.综上所述, 直线的斜率的取值范围为.2. 已知椭圆, 点A是椭圆与轴的交点, F为椭圆的右焦点, 直线与椭圆交于B,C两点.（1） 若点M满足,求直线的方程;（2） 若,在上,且,求动点的轨迹方程.分析: 题(1)是个定状态的问题: 由可知,点M是定点,且由是线段BC的中点, 由此可求得直线BC即直线的方程.解(1) 由椭圆可知A(0,4), F(2,0). , (2,0)-(0,4)=2()-(2,0), 即M(3,-2). , 点M是线段BC的中点, 直线BC即直线的斜率为. (可以有四中方法:,点差法,设法,设而不求法求得). 直线的方程为,即.分析: 题(2)是一个动状态的问题:点D随AB的变化而变化,从而点D的坐标是刻画直线AB的变化的量的参数(斜率)的函数, 可设BC的方程为(k存在), 从而点M是直线AM(直线AD用参数k刻画)与直线BC的交点,在由是直角得参数k与b的关于式,消参数k与b即得点D的方程.解法(一) 设直线AB的斜率为,则直线AC的斜率为.直线AB的斜率为方程为,由方程组可得, , ， 同理得, . ， 直线BC的方程为, +，. 直线AD的方程为, ,由与移项相乘消去可得, 即 .说明: 本解法用的是参数法中的特殊方法-交轨法.解法(二): 设直线的方程为, 则直线AD的方程为.(显然由方程和方程消去和即可得点D的轨迹方程, 这里我们必须给出和的关系式,将这一几何条件转化为代数形式即可得和的关系式)由方程组可得,设, 则. , , , , , +化简得,.解得,(舍去)或. 方程即为, 由方程和方程消去得, , 即 .3. (与名师对话第51练)已知直线过点(1,0),且与抛物线交于两点,为原点,点 在轴的右侧且满足:.（1）求点的轨迹C的方程;（2） 若曲线的切线的斜率为,满足:,点到轴的距离为,求的取值范围.分析：由可知，点的轨迹C就是弦AB的中点的轨迹.解(1) 显然直线的斜率存在,设为,则直线的方程为: ,由方程组消去整理得,设, , , 消去得点的轨迹C的轨迹方程为: . , 或, 点在轴的右侧, ,故点的轨迹C为抛物线上的一段弧.分析: 点到轴的距离为就是点的横坐标的绝对值.因为曲线的切线的斜率为,所以=,由知,由此可知,我们必须建立点的横坐标的绝对值关于的关系.解(2): 设, 则由可知,=, , , , , , 方法(一) , (), , .方法(二) , (), , , 且 .4.已知抛物线的方程为 ,过点且倾斜角为(0)的直线交抛物线于两点,且.（1）求的值;（2）若点分所成的比为,求关于的函数关系式.分析: 要求的值,必须给出关于的方程.解(1): 设过点且倾斜角为(0)的直线的方程为.由方程组消去整理得, 则, , , . 分析: 由可知过点且倾斜角为(0)的直线为.先建立关于的函数关系式,再转换为关于的函数关系式. 解(2): 关于的函数关系式, , , 由(1)可知,由方程组可消去得,. 00）的一个焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过原点O。参考答案给出了如下的几何证法：证明：如图，DlNEXCOFYBA记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作ADl，D是垂足则 ADFEBC连结AC，与EF相交手点N，则根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O命题1 设椭圆的右焦点为F，经过点F的直线交椭圆于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过定点。XEAAACONFYDBA证明：如图，记x轴与椭圆的右准线l的交点为E,过A作ADl，D是垂足则 ADFEBC连结AC，与EF相交于点N，则根据椭圆的第二定义，即点N是EF的中点，直线AC经过EF的中点N。命题2 设双曲线的右焦点为F，经过点F的直线交双曲线右支于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过定点。XEAAACONFDBAlY证明：如图，记x轴与双曲线的右准线l 的交点为E，直线AC与EF交于点N，过A作ADl，D是垂足 ADFEBC 根据双曲线的第二定义即 |AF|BC=|BF|AD| 点N是EF的中点，故 直线AC过定点（EF的中点N）。命题3 设双曲线的右焦点为F，经过点F的直线交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过定点。证明：如图，记x轴与双曲线的右准线l 的交点为E，直线AC与EF交于点N，过A作ADl，D是垂足 ADFEBCXEAAACONFDBAlY 根据双曲线的第二定义即 |AF|BC=|BF|AD| 点N是EF的中点，故 直线AC过定点（EF的中点N）。XEAAACONFDBAlY定理 过圆锥曲线的焦点的直线交圆锥曲线于A、B两点，点C在相应的准线l上，且BCl ，则直线AC过定点。XEAAACONFDBAlY解析几何综合题中的韦达定理解决直线与圆锥曲线的综合问题三个环节：第一，当直线与圆锥曲线交于两个点时，将直线方程与曲线方程联立，得到一个变元的一元二次方程，这时便可得到判别式（问题成立的必要条件），韦达定理表达式；这一环节千篇一律，易于掌握。第二，用和（或和）或坐标的其他形式表示本题中涉及到的量或关系。这一环节的特点是千变万化，丰富多彩，不易把握，是主要矛盾。我们解题的主要工作量和难点就在于此。在解题实践中，我总结出关于韦达定理应用的三个变式技巧，就像三把“利剑”,可以帮助大家解决很多问题。 一、利用（或）将与长度或面积有关问题与韦达式联合例1，从抛物线外一点引倾角为的直线交抛物线于两点。若成等比数列，求抛物线方程。分析：设,由已知易得，直线方程为，代入中，可得，所以，解得或，且（）,因为成等比数列，所以，,利用平几知识，将平面直角坐标系下的距离比化为一维（轴）上的长度之比，即，即,将（）式代入可化得， 若，则有，解的（舍去）若，此时无解。若，解的，均应舍去。故。二、利用（或）实施消元变形。例2：已知椭圆的右准线为,过右焦点的直线与椭圆相交于两点,经过点与x轴平行的直线交右准线于点,求证直线过一定点.解题分析：1.1首先用特殊直线探究定点位置。当垂直x轴时就可以找到定点位置。（普遍性寓于特殊性之中的哲学道理学生是清楚的）即解如下方程组：，得到，和,故有,由此得到直线过定点.1.2如何进行规范的解析证明？直线过定点的一般形式是怎样的？ ， 是一个变数。我们写出直线的方程。设，则，所以,所以的方程为（1）问题是在方程（1）中涉及到三个参变数，必须尽量减少变元个数,这些变元与那些因素有关呢？我们将直线的方程与椭圆方程联立，并应用韦达定理进行处理试试看。第一种想法：设方程为（不包括平行于y轴的直线），代入中，化简得：，由韦达定理，得接下来大家对消去参变元的运算量产生了畏难情绪。的确，关于的韦达定理对消去参变元十分麻烦，同学们可以试试看。第二种想法：设方程为，（不包括x轴）代入中，化简得：，_（2）根据方程（1）的形式，大家观察上述两个不同的韦达定理形式，用那一个更好？对直线方程不同形式的选取会产生不同的韦达定理形式，进而会产生繁简不同运算量,这在解析几何综合问题中是经常碰到的事。因而很有必要让学生加以体验和辨析。大家思考后可以发现，第二个关于的韦达定理形式比较简单，而且从方程（1）来看含有纵坐标的变数较多，因而我们应选用关于y的韦达定理形式进行代入，但仍然比较麻烦！有一位同学这样写道：,把和代进来，化简可得：,将它代入方程（1），还是得不到想要的结果。 我们利用韦达定理积极主动消元的大方向是正确的。观察一下关于y的韦达定理（2），看看能不能先行处理一下，然后再应用它呢，即把两式相除，就会得到：（3）在（3）式基础上，可得。（由此可见，这是一个重要的韦达定理变形技巧！）将它和一并代入,化简可得,代入方程（1）有：方程为，即,故直线恒过定点解后反思：本题能推广至椭圆的一般情形： 命题1：已知椭圆，过其焦点的直线与椭圆相交于两点，过点与长轴所在直线平行的直线交相应准线于点，则直线必过定点。 因为，所以，定点是焦点至准线的垂线段的中点，而且在椭圆之外。 命题2：已知双曲线，过其焦点的直线与双曲线相交于两点，过点与实轴所在直线平行的直线交相应准线于点，则直线必过定点()。且该定点在双曲线内部且在焦点至准线的垂线段的中点。命题3：已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于两点，过点与对称轴所在直线平行的直线交相应准线于点，则直线必过定点.且该定点在在焦点至准线的垂线段的中点即顶点。三、利用（或）搭桥，将具有（或）的关系式与韦达式联合，实施转化变形。例3：设直线：双曲线：,双曲线的离心率为，交于两点，直线与y轴交于R点，且。（1）证明：；（2）求双曲线的方程；（3）若点F是双曲线的右焦点，是双曲线上的两点，且，求实数的取值范围。分析：对（1）小题只需利用,可得，方程：化为，将代入其中，得，设，,由韦达定理得：，所以,根据已知条件转化为，将韦达式代入化简可得结论：.（2）因为，,得，因为,又,所以,将韦达式代入可得，结合（1），解方程组得，故双曲线的方程为：。（3）因为，由,知三点共线。设，设直线的方程为，代入中，得（），所以由得，所以又,故,将韦达式代入，可得,又所以,既有，由此确定的取值范围是：。参考文献徐志平：例析“降维”思想在一类圆锥曲线题中的妙用.数学通报2007.3圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题已知椭圆C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，点A的坐标为(3,1)，试在椭圆上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+2|PF2|最小，并求出相应的最小值。（亦可把椭圆改为双曲线或抛物线，同样有类似的问题）类似于这样的问题，初学者往往很难作答，即使在老师的讲解和点拨下也不易掌握。基础好的同学还可以理解，一般的同学下次再遇到类似的问题时仍然难以做对，还会出现很多不应有的错误。这里笔者想能过一个实例，给出这种问题的一般解题策略和具体处理方法。BALPOB/关于|PA|+|PF2|最小值的问题，同学们不应该感到陌生。在初中我们曾求过这样的问题：如图，已知A、B两点在直线L的同侧，试在L上求作一点P，使得|PA|+|PB|最小。（相对应的还有一个应用题：A、B两个小村庄，L是一条河，今要在河上架设一座大桥，使从A、B两村庄铺设到大桥的公路总长最短，应该如何选址？）我们知道两点之间的连线中，线段最短，所以|PA|+|PB|AB|显然等号不成立，因为A、B在直线L的同侧，如果A、B两点在L的异侧就好了，因为A、B若在L异侧，线段AB就与L相交，交点即为所求作的P点。所以能不能在L的另一侧找到一点B/，使得|PB/|总是等于|PB|呢？求作点B（或者A）关于直线L的对称点B/即可。B/ALQOBQO转化思想就是我们解决问题的基本策略。我们只要将同侧的两点转化为异侧的两点，问题就得以解决。比如：请在L上再找一点Q，使得|QA|-|QB|最大？同样道理，|QA|-|QB|总是小于|AB|，如能等于|AB|就行。我们还是转化，异侧两点同侧化，当Q为AB/的延长线与L的交点Q/时，|QA|-|QB|=|QA|-|QB/|AB/|。（这里B关于L的对称点B/与A的连线要与L相交才行，否则Q/点不存在）我们总结得到：同侧和最小异侧化，异侧差最大同侧化。根据以上分析，我们可以用类比的方法解决圆锥曲线中的类似问题。能不能将椭圆C内部（同侧）的两点A或者F2转化为一内一外呢？显然无法作出点A（或者F2）关于曲线(椭圆)的对称点（没听说过），使得|PA|总是等于|PA/|。如图，|PA|+|PF2|总是大于|AF2|，但|PA|-|PF2|还是能够AF2F1PxyoNM等于|AF2|，作直线AF2，与椭圆交于M、N两点，当P运动到图中的N点时，|PA|-|PF2|=|AF2|，当P运动到图中的M点时，|PA|-|PF2|= -|AF2|能不能将|PA|+|PF2|转化为|PA|-|PF2|呢？所以我们给出解决圆锥曲线问题的另一解题策略：回归定义。椭圆的第一定义是：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹。我们不能将点A（或点F2）转移到椭圆外，但我们可以将P到F2的距离转化为点P到另一焦点F1的距离。因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a-|PF1|，于是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2aAF2F1PxyoRS要求|PA|+|PF2|的最值，就等价于求|PA|-|PF1|的最值。如图作直线AF1交椭圆于R、S两点，则 -|AF1|PA|-|PF1|AF1|所以2a-|AF1|PA|+|PF2|2a+|AF1|将具体数据代入即可求得本文开始时提出的(1)的解答。那么对于(2)又如何解答呢？与(1)相比，就是在|PF2|前多了个系数2，也只能是2（否则无解），我们可以用圆锥曲线的统一定义，将同侧（内部）问题转化为异侧问题来求解。AF2F1PxyoMl椭圆的第二定义是：平面内到一定点F2的距离与到一定直线l的距离之比为小于1的常数的点的轨迹就叫做椭圆。其中定点为焦点，定直线为此焦点相应的准线，小于1的常数就是椭圆的离心率e。如图，PMl于M，则，所以|PM|=|PF2|本题中，椭圆的离心率e=，所以|PM|=2|PF2|所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我们将问题转化为从定点A到准线l的“折线段”PA与PM的长的和的问题，也就是说将同侧（内部）两点的距离和问题转化成了异侧一点一线距离和的问题。显然当A、P、M三点共线且垂直于直线l时，|PA|+|PM最小，即直接过A作准线l的垂直交椭圆于P点，则P即为所求作。这种转化看来只适用于形如|PA|+|PF2|的最小值的问题。以上我们给出了解决圆锥曲线中这两种最值的解题策略和具体做法，即利用圆锥曲线的定义实现了问题的转化，即同异互化，回归定义。本文开头的问题具体解答如下：AF2F1PxyoRS(1) 由已知椭圆方程得：a=4,b=2,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0)因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1|所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8过A、F1作直线RS交椭圆于R、S两点，因为|PA|-|PF1|AF1|=，AF2F1PxyoMl所以8-|PA|+|PF2|8+当P为S点时，|PA|+|PF2|的最小值为8-当P为R点时，|PA|+|PF2|的最大值为8+(2)易求得椭圆的离心率为e=，右准线l方程为x=8过P作l的垂线交l于M点，则|PM|=|PF2|=2|PF2|,所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，当A、P、M三点共线且垂直于l时，|PA|+|PM|最小，且最小值就是点A到直线l的距离。易求得A到直线的距离为5，所以|PA|+2|PF2|的最小值为5，此时点P的纵坐标为1，将y=1代入椭圆方程得x=,所以点P的坐标为(,1).下面我们给出几个题目供同学们练习巩固：1已知两点A(4,1)和B(-1,11)，（1）试在x轴上求一点P，使得|PA|+|PB|最小。（2）试在y轴上求一点Q，使得|PA|-|PB|最大。2已知A(3,1)，双曲线C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，试在双曲线C上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+|PF2|最小.3已知A(4,1)，F为抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|+|PF|最小值。求解圆锥曲线中的最值问题 例1.求抛物线上与点距离最近的点及相应的距离。解：设是曲线上任意一点，即，此关于的函数在上单调递增，其最小值在时取得，此时，故所求，相应的距离。评析：上述解题过程是将求圆锥曲线最值转化为讨论二次函数最值，其中运用配方法进行恒等变形。此时应注意其定义域受题设条件限制时，要避免简单地认为一定在抛物线顶点处取得最值。例2、求椭圆上到直线距离最短的点及相应的距离。解：设椭圆上任意点，该点到直线的距离， 当即时， 此时，即所求点，相应的距离为。评析：解题时恰当地引入参数，可以简化繁琐的计算过程，并提供进一步利用函数性质的可能性。F1F2AMxyO例3.、分别是椭圆的左右焦点，为定点，为椭圆上任意点，求的最小值。解：连结、，则， ， ；由。评析：回归圆锥曲线定义，并结合平面几何相关定理，使求解过程显得自然流畅。例4.如图所示，、分别是椭圆长轴上顶点和对应焦点，位于轴正半轴上的动点与的连线交射线于，求：（1）点、的坐标和直线的方程 ；（2）的面积关于 的函数及其最小值。yxQoFTA解:（1）椭圆中心，点、；直线即直线，。（2）当时，；当时，由，=，当且仅当即时等号成立。即所求，（当时）。评析：利用均值不等式性质定理来解圆锥曲线最值问题时，要先将目标函数配凑成积（或和）为定值的形式，这种恒等变形是使用最值定理的重要前提。例5、已知椭圆，过原点且倾斜角为 和 的两条直线分别交椭圆于、和、四点，（1）用、表示四边形的面积；（2）若、为定值，当时，求的最大值。解：（1）过原点且倾斜角为 的直线为，由方程组可得 ， ，所求。（2）令，当即时，此时（当且仅当时取等号）；当 即时，在上是减函数，此时。综合所得，所求。评析：上述解题过程中运用函数的重要性质：在区间上单调递减，在区间上单调递增。此函数性质在实际中有着广泛的应用，已成为高考命题的生长点与热点。综上所述，解决圆锥曲线中的最值问题，要注意联系圆锥曲线的定义和性质，重视运用数形结合，将问题转化为一定的函数关系或不等式进行讨论。概括来说：先根据题设条件，恰当选择某个与目标密切相关的自变量，并确定目标函数的解析式；在充分考虑函数的定义域、不等式的最值条件等前提下，应用函数的单调性、均值不等式定理及其推论等进行分类讨论。 圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即P|PF1|-|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆：+=1（ab0）或+=1（ab0）（其中，a2=b2+c2） 2.双曲线：-=1（a0, b0）或-=1（a0, b0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=2px（p0），x2=2py（p0）三、圆锥曲线的性质 1.椭圆：+=1（ab0） （1）范围：|x|a，|y|b （2）顶点：(a,0)，(0,b) （3）焦点：(c,0) （4）离心率：e=(0,1) （5）准线：x=2.双曲线：-=1（a0, b0） （1）范围：|x|a, yR （2）顶点：(a,0) （3）焦点：(c,0) （4）离心率：e=(1,+) （5）准线：x=（6）渐近线：y=x3.抛物线：y2=2px(p0) （1）范围：x0, yR （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（,0） （4）离心率：e=1 （5）准线：x=-四、例题选讲： 例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是_。 解：由题：2b=2，b=1，a=2，c=，则椭圆中心到准线的距离：=。 注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。 例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=_。 解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2=m=8。 （2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2=m=2。 注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。 例3.如图：椭圆+=1（ab0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1x轴，且PO/AB，求椭圆的离心率e。 解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a, PF1x轴， |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2, |PF1|=。 PO/AB， PF1OBOA, = c=ba=c, e=。 又解， PF1x轴， 设P(-c, y)。 由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=, 由上解中PF1OBOA，得到b=ce=。 例4.已知F1，F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且F1PF2=，求F1PF2的面积。 分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。 解法一：S=|PF1|PF2|sin ，|PF1|+|PF2|=2a=20，436=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos，即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|=436，|PF1|PF2|=， S=。 解法二：S=|F1F2|yP|=12yP=6|yP|，由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP，由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP，4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos，144=100+=， =64(1-)=64，S=6|yP|=6=。 注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF1|，|PF2|。 分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再求解。 解：如图，O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，PF2/y轴，PF2x轴， 由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4，|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2， (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=49=36，。 例6.椭圆：+=1内一点A（2，2），F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|的最值。 解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|AF2|+10=2+10， |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)10-|AF2|=10-2。 注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 例7.已知：P为双曲线-=1（a0, b0）上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。 证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O, A1A2中点为O， |OO|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O半径为|PF1| 由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2| ，|PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO| 两个圆相内切。 注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。 例8.已知：过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。 证明：由定义知，如图：|PP|=|PF|, |QQ|=|QF| |PQ|=|PP|+|QQ|，|PQ|=(|PP|+|QQ|)，故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。 解析几何中求参数范围的五种策略一、利用题设条件中的不等关系若题设条件中有不等关系，可直接利用该条件求参数的范围。例1. （2004全国卷IV）双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。解析：直线l的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线l的距离同理得到点（1，0）到直线l的距离由，即于是得即解得由于，所以e的取值范围是，。二、应用判别式建立不等式关系若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数，得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立所含参数的不等式。例2. （2005年全国卷III）设，两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。当直线l的斜率为2时，求直线l在y轴上截距的取值范围。解析：设直线l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为过点A、B的直线方程可写为由，消y得即是方程的两个不同的解，得，且设AB的中点N的坐标为（），则，。由，于是。即得直线l在y轴上截距的取值范围为。点评：该题含有两个参数b，m，先由直线AB与抛物线有两个不同的交点，应用判别式求出参数m的范围，再由题意找出两个参数b，m之间的关系式，最后求出参数b的取值范围。三、根据曲线的范围建立不等关系由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变量间的不等关系。例3. （2004年辽宁卷）设椭圆方程，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为。当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值。解析：（1）动点P的轨迹方程是即（1）由点P的轨迹方程知，即。所以，故当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为。点评：这种求最值问题，实质上是先建立目标函数，再由椭圆的范围确定自变量的取值范围，最后求函数的最值。四、挖掘曲线的隐含不等式对于一些特殊曲线，它们自身都包含了一些不等关系。如椭圆长轴长大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长。对于圆与椭圆，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。当然有些情况下，不等关系比较隐蔽，只有认真地分析题设中的条件与结论，才能找到所需的含参不等式。例4. （2002年京皖）已知某椭圆的焦点是，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且。椭圆上不同的两点A（）、满足条件：成等差数列。（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围。解析：（1）椭圆方程为。（2）设弦AC中点，可得。（3）由在椭圆上，得两式相减得，即将，代入上式，得9425即（当k0时也成立）。由点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，得，即。由P（）在线段BB”上（B”与B关于轴对称），得所以。五、利用基本不等式建立不等关系对于某些与参数范围有关的题目，如果利用上述四种方法不易建立符合题意的不等关系，就看能否利用代数中的基本不等式建立符合题意的不等关系。例5. （2005年浙江卷）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线l与x轴的交点为M，。（1）求椭圆的方程；（2）若点P在直线l上运动，求F1PF2的最大值。解析：（1）求得椭圆的方程为（2）设P，则直线的斜率，直线PF2的斜率。因为，所以为锐角。所以。当时，tanF1PF2取得最大值，此时F1PF2最大，故F1PF2的最大值为。解析几何综合题解题思路案例分析1判别式-解题时时显神功案例1已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式直线l在l的上方且到直线l的距离为 解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.2判别式与韦达定理-二者联用显奇效案例2已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.