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10.2 一阶线性微 分方程 可分离变量的微分方程 形式： 解法 为微分方程的解. 分离变量： 两端积分 例1 求解微分方程 解分离变量 两端积分 例2 求方程 的通解. 解: 分离变量： 两边积分 即 通解为及特解 可化为分离变量的微分方程 形式： 其中a 和 b 是常数 . 作变量代换 则有 代入原微分方程， 有 分离变量： 已化为可分离变量 的微分方程 积分，得 ： 换入便得原方程的通解。 例3 求微分方程 的通解 . 解 作变量代换 两端对 x 求导，得 于是 分离变量 积分，得 通解为： 代入 便得原方程的通解。 形式：齐次方程 作变量代换 则有 代入原微分方程，有 分离变量： 已化为可分离变量 的微分方程 积分，得 两边对x求导 例4 求微分方程 的 通解. 解 方程可化为 作变量代换 可得 可分离变量但不好积分。 换个位置考虑，将 x 看成函数，y 看成自变量， 例4 求微分方程 的通解. 解方程可化为 作变量代换：则 代入方程，化简得 两端分别积分，得 即 及 将 代入方程得 通解： 形式： 形式： 形式： 可分离变量微分方程 可化为分离变量的微分方程 分离变量;两边积分 作变量代换 作变量代换 形式: 方程称为一阶线性齐次方程。 方程称为一阶线性非齐次方程 . 一阶线性微分方程 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 作变换 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解 解 例1 例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲线 与 截下的线段PQ之长数值上等 于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 所求曲线为 形式 伯努利方程 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 代入上式 解一阶线性微分方程，求出通解后，将 代入即得 解 例 3 例4 用适当的变量代换解下列微分方程
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