黄金分割专项练习30题(有答案).doc

黄金分割专项练习30题（有答案）1定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点如图2，ABC中，AB=AC=1，A=36，BD平分ABC交AC于点D（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长2如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（ABAD）（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积（结果保留根号）3定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点如图2，ABC中，AB=AC=2，A=36，BD平分ABC交AC于点D（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长4作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比5（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使APPB6如图，线段AB的长度为1（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BCAB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CDAC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DEAD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7如图，在ABC中，AB=AC，A=36，1=2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点请说明理由8在ABC中，AB=AC=2，BC=1，A=36，BD平分ABC，交于AC于D试说明点D是线段AC的黄金分割点9在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成10如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH则点H是AB的黄金分割点为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说11如图，已知ABC中，D是AC边上一点，A=36，C=72，ADB=108求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点12已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BDAB，求的值13如果一个矩形ABCD（ABBC）中，0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性14五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长15人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17如图，点P是线段AB的黄金分割点，且APBP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小18如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长19图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由20（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k0.618（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰APB（如图2），等腰APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的ABC的黄金分割线有几条？21在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由23如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B，因而EB=EB类似地，在AB上折出点B使AB=AB这时B就是AB的黄金分割点请你证明这个结论24如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB类似的，在AB上折出点M使AM=AF则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由25如图，在ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知ACE=108，BC=2（1）求B的度数；（2）我们把有一个内角等于36的等腰三角形称为黄金三角形它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；求AD的长；在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由26宽与长的比是的矩形叫黄金矩形心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EFAD，交AD的延长线于F请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形27在ABC中，AB=AC，A=36，把像这样的三角形叫做黄金三角形（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法（2）如图4中，BF平分ABC交AC于F，取AB的中点E，连接 EF并延长交 BC的延长线于M试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明答：CM与AB之间的数量关系是28折纸与证明用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AGGD）29三角形中，顶角等于36的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在ABC中，已知：AB=AC，且A=36（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，A1=108，且A1B1=AB，请直接写出的值30如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线（1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是ABC的黄金分割线你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DFCE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是ABC的黄金分割线请你说明理由（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点黄金分割专项练习30题参考答案:1（1）证明：AB=AC=1，ABC=C=（180A）=（18036）=72，BD平分ABC交AC于点D，ABD=CBD=ABC=36，BDC=1803672=72，DA=DB，BD=BC，AD=BD=BC，易得BDCABC，BC：AC=CD：BC，即BC2=CDAC，AD2=CDAC，点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=ACAD=1x，AD2=CDAC，x2=1x，解得x1=，x2=，即AD的长为2解：（1）设AB=xcm，则AD=（20x）cm，根据题意得x（20x）=99，整理得x220x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20x=11；当x=11时，2011=9，而ABAD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能理由如下：设AB=xcm，则AD=（20x）cm，根据题意得x（20x）=101，整理得x220x+101=0，因为=2024101=40，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20x）cm，根据题意得20x=x，解得x=10（1），则20x=10（3），所以矩形的面积=10（1）10（3）=（400800）cm23解：（1）A=36，AB=AC，ABC=ACB=72，BD平分ABC，CBD=ABD=36，BDC=72，AD=BD，BC=BD，ABCBDC，=，即=，AD2=ACCD点D是线段AC的黄金分割点（2）点D是线段AC的黄金分割点，AD=AC，AC=2，AD=14解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：画线段AB作为三角形底边； 取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；分别连接EA、EB，则ABE即是所求的三角形（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BCCD=1，=5解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2=1，或AP=2（1）=3；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点6解：（1）设AC=x，则BC=ABAC=1x，AC2=BCAB，x2=1（1x），整理得x2+x1=0，解得x1=，x2=（舍去），所以线段AC的长度为；（2）设线段AD的长度为x，AC=l，AD2=CDAC，x2=l（lx），x1=，x2=（舍去），线段AD的长度AC；（3）同理得到线段AE的长度AD；上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点7解：D是AC的黄金分割点理由如下：在ABC中，AB=AC，A=36，ABC=ACB=721=2，1=2=ABC=36在BDC中，BDC=1802C=72，C=BDC，BC=BDA=1，AD=BCABC和BDC中，2=A，C=C，ABCBDC，又AB=AC，AD=BC=BD，AD2=ACCD，即D是AC的黄金分割点8证明：AB=AC，A=36，ABC=（18036）=72，BD平分ABC，交于AC于D，DBC=ABC=72=36，A=DBC，又C=C，BCDABC，AB=AC，=，AB=AC=2，BC=1，（1）2=2（2AD），解得AD=，AD：AC=（）：2点D是线段AC的黄金分割点9证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EFAE=BC，DF=BC，AE=DF=BC=AD，又ADF=90，四边形AEFD是正方形BE=，矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成10解：设正方形ABCD的边长为2，在RtAEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB=，AH=AF=EFAE=EBAE=1，HB=ABAH=3；AH2=（）2=62，ABHB=2（3）=62，AH2=ABHB，所以点H是线段AB的黄金分割点11证明：（1）A=36，C=72，ABC=1803672=72，ADB=108，ABD=18036108=36，ADB是等腰三角形，BDC=180ADC=180108=72，BDC是等腰三角形，AD=BD=BC（2）DBC=A=36，C=C，ABCBDC，BC：AC=CD：BC，BC2=ACDC，BC=AD，AD2=ACDC，点D是线段AC的黄金分割点12解：D在AB上，且AD2=BDAB，点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，AC=AB=1，AD=ABAB=AB=3或AD=1，AC=3，CD=1（3）=24，=或=13解：矩形ABFE是黄金矩形AD=BC，DE=AB，=1=矩形ABFE是黄金矩形14解：D为AB的黄金分割点（ADBD），AD=AB=1010，EC+CD=AC+CD=AD，EC+CD=（1010）cm15解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.700.6181.1（m）答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段16解：（1）在RtAPD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD=，AM=AF=PFAP=PDAP=1，DM=ADAM=3故AM的长为1，DM的长为3；（2）点M是AD的黄金分割点由于=，点M是AD的黄金分割点17解：点P是线段AB的黄金分割点，且APBP，AP2=BPAB，又S1=AP2，S2=PBAB，S1=S218解：四边形ABCD为平行四边形，CBF=AEB，BCF=BAE，BCFEAB，即 ，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2故答案为：219解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：四边形ABEF是正方形，AB=DC=AF，又，即点F是线段AD的黄金分割点，矩形CDFE是黄金矩形20解：（1）满足0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1k=k，从而AP=1k，由得，BP2=APAB，即k2=（1k）1，解得k=，k0，k=0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设ABC的AB上的高为h，则，直线CP是ABC的黄金分割线（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条21解：根据已知条件得下半身长是1600.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x7.5cm故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美22解：设正方形ABCD的边长为2a，在RtAEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=a，AH=AF=EFAE=EBAE=（1）a，HB=ABAH=（3）a；AH2=（62）a2，ABHB=2a（3）a=（62）a2，AH2=ABHB，所以点H是线段AB的黄金分割点23证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，BE=1AE=，又BE=BE=1，AB=AEBE=1，AB点B是线段AB的黄金分割点24证明：正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，BE=1AE=，EF=BE=1，AF=AEEF=1，AM=AF=1，AM：AB=（1）：2，点M是线段AB的黄金分割点25解：（1）BD=DC=AC则B=DCB，CDA=A设B=x，则DCB=x，CDA=A=2x又BOC=108，B+A=108x+2x=108，x=36B=36；（2）有三个：BDC，ADC，BACDB=DC，B=36，DBC是黄金三角形，（或CD=CA，ACD=180CDAA=36CDA是黄金三角形或ACE=108，ACB=72又A=2x=72，A=ACBBA=BCBAC是黄金三角形BAC是黄金三角形，BC=2，AC=1BA=BC=2，BD=AC=1，AD=BABD=2（1）=3，存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点 P326证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，N为BC的中点，NC=BC=a在RtDNC中，又NE=ND，CE=NENC=（1）a故矩形DCEF为黄金矩形27解：（1）（2）CM=AB（4