专题四特殊与一般的思想方法.ppt

专题四 特殊与一般的思想方法 你身边的高考专家 考题剖析 规律总结 知识概要 03 05 21 特殊与一般的思想方法 1.由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世 界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一 般到特殊的研究数学问题的基本认识过 程就是数学研究中特殊与一般的思想. 知识概要 特殊与一般的思想方法 2. 由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素 养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位 置.在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题， 突出体现了特殊化方法的意义与作用.如通过构造特殊函数、特殊 数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问 题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题等等. 知识概要 特殊与一般的思想方法 考 题 剖 析 1.数列an中，若a1= , an= (n2,nN),则a2009的值为（ ） A.1 B. C.1 D.2 考题剖析 解析 a1= ,an= (n2,nN) 则当n时，a2= = =2，当n时，a3= = =1， 当n时，a4= = = ，同理a5=2,a6=1, 所以数列an是一个周期数列且T，故a2009a2=2. 特殊与一般的思想方法 点评 本题考查归纳、猜想思想方法.要求考生结合试题领悟 “特殊与一般”的思想，首先通过特例探索，发现规律，然后利用 这一规律来解题. 对于求递推关系给出的数列某一项的问题，常见解法一是直接 求通项再用通项来求某一项，二是直接将数列按顺序写出，三是写 出部分项发现规律用规律得出结论. 考题剖析 特殊与一般的思想方法 解析解法1：因为函数f (x)sin2x+acos2x的图象关于直线 x= 对称，则f (x)=f ( x) 即sin2x+acos2xsin2( x)+acos2( x) 得sin2x+acos2xcos2xasin2x恒成立 所以（a）(sin2x+cos2x)=0恒成立， 则必有a 所以a 2.（2007江苏常州市）如果函数ysin2x+acos2x的图象关于 直线x= 对称，那么a . 考题剖析 特殊与一般的思想方法 解法2：因为函数f(x)sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，所以f (x)=f ( x)，取 x0,则f()=f( ) 即有a 解法3：函数ysin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称， 则函数在x= 处取得极值， 又y=2cos2x2asin2x 所以y|x= =2cos2( )2asin2( ) 得a 考题剖析 点评 本题主要考查三角函数的对称性问题，若函数f（ x)的图象关于直线xa对称，则恒有f(x)=f(2ax)成立，但作为 填空题，可以取特值进行运算. 特殊与一般的思想方法 3.（2007湖南雅礼三月模拟）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月 ，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现 供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.f(x)=pqx；f(x)=px2+qx+1 ；f(x)=x(xq)2+p.（以上三式中p,q均为常数，且q1）. ()为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？ ()若f(0)=4,f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数的定义域是 0,5，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，以此类推）； （）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该 果品在哪几个月份内价格下跌. 考题剖析 特殊与一般的思想方法 解析 ()应选f(x)=x(xq)2+p. 因为f(x)=pqx是单调函数； f(x)=px2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征； f(x)=x(xq)2+p中,f (x)=3x24qx+q2, 令f (x)=0，得x=q,x= , f (x)有两个零点.可以出现两个 递增区间和一个递减区间. 考题剖析 特殊与一般的思想方法 () 由f(0)=4,f(2)=6得： 解之得 （其中q=1舍去）. 函数f(x)=x(x3)2+4，即f(x)=x36x2 + 9x + 4（0x5） 考题剖析 （）由f (x) 0，解得1x3 , 函数f(x)=x36x2 + 9x + 4在区间（1，3）上单调递减， 这种果品在5月，6月份价格下跌. 点评本题是一个简单的数学建模问题，主要考查函数知 识在实际生活中的运用，也是特殊与一般思想在生 活中的运用. 特殊与一般的思想方法 .（2007河北省唐山市） 设函数fn(x)=1x+ + , nN* （）研究函数f2(x)的单调性； （）判断fn(x)=0的实数解的个数，并加以证明. 考题剖析 解析 （）f2 (x) = 1x + , f 2 (x) = 1 + xx2 = (x )2 0, f2(2)=12+ 1时，x + 1 0,x2n1 + 1 0, f n (x) 0 总之f n (x) 0，fn(x)在(,+)单调递减. fn(0)=1，又 = = 0 所以fn(x)在(0,2)有唯一实数解，从而fn(x)在(,+)有 唯一实数解. 综上，fn(x)=0有唯一实数解. 考题剖析 特殊与一般的思想方法 点评本题主要考查函数的单调性、导数及连 续函数的图象与x轴的交点个数问题.用特殊的函数开 路寻找到解题方法,即判断函数是单调的且图象与x轴 有交点，然后用一般方法来解题. 考题剖析 特殊与一般的思想方法 . (2008年江苏启东中学高三测试二) (1)求证：函数y=f(x)的图象关于点（0.5，0.5）对称 ； (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值; 考题剖析 解析(1)设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点， 关于(0.5，0.5)对称点的坐标为:(1-x,-1-y) 特殊与一般的思想方法 考题剖析 特殊与一般的思想方法 1-f（1），即函数f（）的图象关于点（0.5，0.5）对称. (2)由()有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)= -1 f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)= -1 则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3 下面用数学归纳 法证明 当n=1时，左3，右1，31不等式成立 当n=2时，左9，右4，94不等式成立 令n=k(k2）不等式成立即32 则1时，左313332,右（1）2221 32（221）22212（0.5）21.5 当2，N时，上式恒为正值 则左右，即31（1）2，所以对任何自然数n，总有32成 立，即对任何自然数n，总有 点评本题主要考查函数的有关知识和数学归纳法的运用. 数学归纳法往往用于一些与自然数有关问题的解答，观察归 纳猜想证明是一个从特殊到一般的思考过程，也是一个严格而 科学的探索问题和解决问题的过程，是思考问题的通常方法，对这 种方法在高考中考查十分常见. 考题剖析 特殊与一般的思想方法 规 律 总 结 1.特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种重要的数学思想方法， 对于一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定问题都可考虑运用 特殊与一般的思想方法去探求解题途径. 2.对于递推数列问题，采用“归纳猜想证明”的方法去解 决问题，首先通过特例探索、发现一般规律，然后再用这个规律来解决 其他特殊问题，这是特殊与一般思想最常见的应用之一. 3.对于某些特殊的问题，如求值、比较大小等，要注意研究其数量 特征，发现一般模型，再由一般解决特殊. 规律总结 特殊与一般的思想方法 4.抽象函数问题，一是常联