《重积分的》PPT课件.ppt

一、直角坐标系中的累次积分法 二、极坐标系中的累次积分法 第二节 二重积分的计算方法 第十章 重 积 分 设 A(x)表示过点 x 任取子区间 x, x + dx a, b. 且垂直 x 轴的 平面 与曲顶柱体相交的截面的面 积， 1. 设积分区域 D 可用不等式组表示为 如图所示，选 x 为积分变量， x a,b ， 一、直角坐标系中的累次积分法 则曲顶柱体体积 V 的微元 dV 为 式中面积函数 A(x) 是一个 以区间 1(x) , 2(x) 为底 边、 以曲线 z= f (x,y)(x 是固 定的)为曲边的曲边梯形， 其面积可表示为 将 A(x) 代入上式，则曲顶柱体的体积 于是，二重积分 公式称为先积 y (也称内积分对 y)后积 x (也称外 积分对 x )的累次积分公式.它通常也可写成 这结果也适用于一般情形. 2. 设积分区域 D 可用不等式组表示为 如右图，则 首先在 xy 平面上画出所围 成的区域 D . 若是先积 y 后积 x 时， 得投影区间a, b， 则把区域 D 投影到 x 轴上， 在 a, b 上任意确定 一个 x ， 这时 a 就是对 x 积分(外积分)的下限， b 就是对 x 积分(外积分)的上限； 过 x 画一条与 y 轴平行的直线， 假定它与区域 D 的边界曲线(x = a, x = b 可以除外)的交点总是不超过 两个(称这种区域为凸域). 把二重积分化为累次积分 ，其上下限的定法可用如下直观 方法确定： 且与边界曲线交点纵坐标分别为 y = 1(x) 和 y = 2(x)， 如果 2(x) 1(x)， 那么 1(x)就对 y 积分(内积分) 的下限，2(x) 就是对 y 积分(内积分)的上限. 类似地，先积 x (内 积分)后积 y (外积分)时 的定限方法如右图所示. 如果区域不属于凸域，把 D 分成若干个小区域 ，使每个小区域都属于凸域，那么 D 上的二重积分就 是这些小区域上的二重积分的和. 例 1试将二重积分 两种不同 次序的累次积分， 其中 D 是由 x = a, x = b, y = c, y = d (a b, c d) 所围成的矩形区域 . 解画出积分区域 D 如图. 如果先积 y 后积 x，则有 如果先积 x 后积 y ，则可得 例 2 试将 化为两种不同次序的累次 积分， 其中 D 是由 y = x，y = 2 - x 和 x 轴所围成的区域 . 解 首先画出积分区域 D 如图， 并求出边界曲线 的交点(1, 1)、(0, 0) 及 (2, 0). 如果先积 x 后积 y ， 则为 其中 D 是抛物线 y2 = x 与直线 y = x - 2 所围成的区域. 例 3 计算二重积分 解 画出积分区域 D 如图， 并求出边界曲线的交 点 (1, -1) 及 (4, 2)，由图可见， 先积 x (内积分) 后积 y (外积分)较为简便. 由定限示意图有 = 例 4计算 其中 D 是由直线 y = x , y = 1 与 y 轴所围成 . 解 画出积分区域 D， 作定限示意图， 并求出边 界曲线的交点 (1, 1) , (0, 0) 及 (0, 1)， 则 x = y D Ox 1 y (1,1) 即 x = 常数和 y = 常数， 二、极坐标系中的累次积分法 在直角坐标系中，用平行于 x 轴和平行于 y 轴的 两族直线， 把区域 D 分割成 许多子域. 这些子域除了靠边界曲线的一些子域外， 绝大多数都是矩形域(如图). (当分割更细时，这些不规则 子域的面积之和趋向于 0. 所 以不必考虑). 于是，图中阴 影所示的小矩形 i 的面积为 因此， 在直角坐标系中的面积元素可记为 而二重积分可记为 和 r = 常数的两 族曲线， 在极坐标系中， 我们可用 = 常数 和另一族圆心在极 点的同心圆， 即一族从极点发出的射线 这些子域除了靠 边界曲线的一些子域外， 把 D 分割成许多子域， 绝大多数都是扇形域(如图). (当分割更细时，这些不规则子 域的面积之和趋向于 0. 所以不 必考虑). 于是图中所示的子域 的面积近似等于 以 rd为长， dr为宽的矩形面积，因此在极 坐标系中的面积元素可记为 于是二重积分的极坐标形式为 再通过变换 且边界方程为 r = r() ，如图， 实际计算中， 分两种情形来考虑 : 1) 如果原点在积分域 D 内， 则二重积分的累次积分为 或写为 r = r() xO , 分别是对 积分(外积分)的下限和上限， 则从原点作 两条射线 = 和 = ( ) 2) 如果坐标原点不在积分域 D 内部， (如图)夹紧域 D . 在 与 之 间作任一条射线与积分域 D 的边界交两点，它们的极 径分别为 r = r1()，r = r2()， 假定 r1( ) r2( )， 那么 r1( ) 与 r2( ) 分别是对 r 积分(内积分)下限与上限 ， 即 例 5把 化为极坐标系中的累次积分， 其中 D 是由圆 x2 + y2 = 2Ry 所围成的区域 . 并把 D 的边界曲线 x 2 + y2 = 2Ry 化为极坐标方程， 作射线 = 0 与 = 夹紧域 D . 解在极坐标系中画出区域 D 如图， 即为 r = 2Rsin 与域边界交两点 r1 = 0，r2 = 2Rsin ， 在 0, 中任作射线 D r = 2Rsin O x 得 并把 D 的 边界曲线化为极坐标方程， 即为 例 6在极坐标系中， 计算二重积分 D 是由 x2 + y2 = R12 和 x2 + y2 = R22 (R1 R2 ) 所围成的 环形区域在第一象限的部分.