基于MATLAB小波变换在图像中的应用电子与通信专业毕业论文.doc

摘要数字图像在其形成、传输和记录过程中，由于成像系统、传输介质和记录设备的不完善往往使得获取的图像受到多种噪声的污染。因此在模式识别、计算机视觉、图像分析和视频编码等领域，噪声图像的前期处理极其重要，其处理效果的好坏将直接影响到后续工作的质量和结果。小波分析是国际上新兴的一个前沿研究领域,小波理论因其时频域局部化特性而成为一种有效的分析工具,以小波分析为工具进行数字图像处理则是小波研究与应用的热点之一。本文在简述图像去噪的传统方法后,对基于小波变换的图像去噪作了较深入的研究。在这篇文章中，首先介绍了图像去噪的现状和发展趋势及研究图像去噪的理由和意义。在第二章中，本文着重介绍了图像噪声，去噪效果如何评价及小波变换的基本原理。在第三章中，本文重点说明了中值滤波，均值滤波，维纳滤波的基本原理，并且完成了对它们的matlab代码实现及结果分析。第四章是本文重点，主要介绍了图像小波去噪的原理，小波去噪的优越性，小波阈值去噪的原理及阈值常用确定方法,在总结过去的确定阈值方法中，提出了阈值选取的新方法试探法，分析了小波基的选取对图像去噪的影响，并且用结果对其进行了证明。第五章对均值滤波，中值滤波，维纳滤波及基于小波域的图像去噪进行了综合的比较分析，得出了相关结论，即基于小波域的图像去噪后的效果明显优于其他的几种。本文共分为五章。第一章为绪论。第二章为图像去噪的基本原理与概念。第三章为图像去噪的常用方法及分析。第四章为基于小波域的图像去噪方法及分析。最后一章为综合比较分析及结论。 关键词：图像去噪，均值滤波，中值滤波，维纳滤波，小波变换，阈值 ABSTRACTIn the formation, transmission and recording process of digital image, because imaging system, transmission media and recording devices are often imperfect images obtained are polluted by various noises. In pattern recognition, computer vision, image analysis and video coding and other areas, noise image pre-processing is extremely important, and whether its effect is good or bad will have a direct impact on the follow-up to the quality and results.Wavelet analysis is a novel research field in the world.It has a perfect performance on both local time and frequency domain,so it is an effective analytical tool.Digital image processing by the aid of wavelet analysis is one of the hot issues of wavelet research and application.After a brief description of the traditional methods of image denoising,this paper makes a deep research on image denoising. In the paper,it introduces the status of image denoising, their developing trend and also the reasons and significance of imaged denoising. In the second chapter, it introduces the basic principles the image denoising and concepts of the image denoising ,which include classification of noise and its impact on image ,the evaluation of image denoising results and wavelet transform theory. Chapter 3 describes common methods of the image denoising ,including the realization of Matlab code and analysis of the mean filter, filtering and Wiener filter. Chapter 4 of this essay is the most important part of the paper.It focuses on image denoising based on wavelet, In summing up the past experience of choosing thresholds,it introduces a new threshold estimation method-probe method and the analysis of wavelet Selection based on the image denoising, and proves its use results. The final chapter tells a comprehensive comparative analysis of the mean filter, filtering, the Wiener filter and image denoising based on wavelet domain. The result is that the result of the image denoising based on wavelet domain was better than several other.This paper is divided into five chapters. The first chapter is the introduction. Chapter II introduces the basic principles and concepts of image denoising. Chapter III introduces common methods and analysis of the image denoising. the fourth chapter introduces image denoising based on the wavelet domain and analysis. The final chapter introduces the comprehensive comparative analysis and conclusions. Keywords： emage denoising, filtering, median filtering, wiener filtering, wavelet transform , thresholding摘要2ABSTRACT4第1章 绪论51.1 图像去噪的现状及发展趋势51.1.1 图像去噪的研究现状51.1.2基于小波域的图像去噪的发展趋势61.2 研究图像去噪的理由与意义6第2章 基本原理与概念72.1 图像噪声72.2 去噪效果评价72.3 小波变换92.3.1连续小波变换92.3.2 离散小波变换10第3章 图像去噪的常用方法及分析123.1 均值滤波123.1.1 均值滤波的原理123.2 中值滤波133.2.1 中值滤波的原理133.2.2 基于matlab中值滤波去噪方法的代码实现及分析133.3 维纳滤波143.3.1 维纳滤波的原理143.3.2基于matlab维纳滤波去噪方法的代码实现及分析15第4章 基于小波域图像去噪方法及分析164.1图像小波去噪原理164.2小波去噪的优越性164.3 小波阈值去噪164.4 阈值的选取及其新型确定方法174.4.1阈值常用确定方法174.4.2 阈值新型确定方法-试探法184.5 小波基的选取对图像去噪的影响22第5章 综合比较分析及结论255.1.实现代码及结果255.2 对以上几种去噪方法的综合比较分析27第1章 绪论1.1 图像去噪的现状及发展趋势1.1.1 图像去噪的研究现状 图像去噪，是一个古老的课题，而人们也根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，发展了各式各样的去噪方法，在保留有用细节不被破坏的前提下，如何对信号中噪声进行有效地滤除一直是研究的热点。其中最为直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而图像频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波方式来进行去噪的方法，例如滑动平均窗滤波器，还有Wiener线性滤噪器等。其他的去噪方法还有基于秩2阶滤波(排序量)的方法、基于马尔科夫场模型、基于偏微分方程(PDE，Partial Differential Equation)的方法和Lp正则化方法等等。而小波变换在对图像的去噪中能产生很好的效果，所以近年来国内外在这一方面的研究是不断的更新变化，提出了很多很好的算法和思想，比如：小波阈值萎缩法、投影法和相关法等等。在许多国内外研究学者的努力下，小波去噪技术在信号处理领域中不断得到发展和完善。早期的小波去噪工作类似有损压缩技术，即先对含噪信号进行正交小波变换，再选定一个固定的阈值与小波系数比较进行取舍，低于此阈值的小波系数设为零，然后进行小波重构恢复原信号，上述算法中的阈值选取完全取决于经验和实际应用。1992年，由S.Mallat和Zhong提出了小波模极大值方法，具体来说，就是利用有用信号与噪声小波变换的模极大值在多尺度分析中呈现不同的奇异性，用计算机自动实现由粗到精的跟踪并消除各尺度下属于噪声的模极大值，然后利用属于有用信号的模极大值重构小波，模极大值方法可使信噪比提高4-7dB。由于受到各种因素的干扰，这种跟踪是很困难的，在实际工作中需要一些经验性的判据。奇异点重建信号分为过零点重建小波变换和模极大值重建小波变换，其缺点：用过零点或极大值来重建信号只是一种逼近，结果不太精确。1995年，Stanford大学的学者D.L.Donoho和M.Johnstone提出了通过对小波系数进行非线性阈值处理来恢复噪声中的信号，称为“小波收缩”。在此基础上，他们提出了软阈值和硬阈值的准则，并从统计学的角度出发，不断完善这一理论。他们算法的去噪效果超过了一般的线性去噪技术，算法中的阈值选取取决于噪声能量的大小，换句话说，是取决于带噪信号的信噪比的。和固定阈值算法一样，分解后的每一层小波系数和这一阈值比较后进行非线性处理，要么保留或收缩，要么归零。与Mallet的模极大值法相比较，阈值法去噪后有噪信号的信噪比提高10dB以上，实验结果表明，阈值法去噪效果优于模极大值法，而且实现起来更为简单。这之后的小波去噪方法主要是从阈值函数的选择或最优小波基的选择出发，提高去噪的效果。比较有影响的方法有：Eero P.Se moncelli 和 EH.Adelson提出的基于最大后验概率的贝叶斯估计准则确定小波阈值的方法。Elwood T Olsen等在处理断层摄影图像时，提出了三种基于小波相位去噪方法：边缘跟踪法、局部相位方差阈值和尺度相位变动阈值法；学者Kozaitis结合小波变换和高阶统计量的特点，提出对一维信号进行去噪和信号重建的基于高阶统计量的小波阈值去噪方法；G.P.Nason等利用原图像和小波域图像的相关性用GCV(general cross vali-dation)法对图像进行去噪。Huang.X和Woolsey等提出结合维纳滤波器和小波阈值的方法对信号进行去噪,VasilyStrela等人将一类新的特性良好多小波(约束对)应用于图像去噪的方法，这些方法均取得了良好的效果，对发展小波去噪的理论和应用起着重大的作用。1.1.2基于小波域的图像去噪的发展趋势 近年来,小波分析在图像处理中得到了广泛的研究和应用,图像去噪也不例外。新的变换方式的使用,阈值的选择,基于Bayesian的小波去噪中如何更精确地描述小波系数的分布,还值得进一步研究。尽管小波去噪方法现在已经成为去噪和图像恢复的重大分支和主要研究方向,但是在另类噪声分布(非高斯分布)下的去噪研究还不够。目前国际上开始将注意力投向这一领域。其中,非高斯噪声的分布模型、高斯假设下的小波去噪方法在非高斯噪声下如何进行相应的拓展,是主要的研究方向。另外,从数学本质上讲,由于小波去噪方法也是一个模型定阶的问题,所以模型定阶问题的任何进展也将会推动小波去噪方法向前发展,这个问题的研究方向有MDL准则、MML(Minimum Message Length)准则以及Bayes方法等。1.2 研究图像去噪的理由与意义 图像信号在其形成、传输、变换以及终端处理中，经常会受到各种噪声的干扰而降质。例如，图像传输过程中，受到强干扰时会产生脉冲噪声，在激光和超声波图像中常存在乘性椒盐噪声，而照明的不稳定、镜头灰尘以及非线性信道传输引起的图像退化等都将产生不同种类的噪声。 而噪声会对图像产生许多破坏效果，主要有以下两方面的影响：1.影响主观视觉效果。受噪声污染的图像往往会变得视觉效果很差，严重时甚至使得人眼难以辨别某些细节。人眼对图像噪声，尤其是图像平坦区的噪声非常敏感。2.使图像的中层（信息层）与高层（知识层）处理无法继续进行。噪声会降低图像低层（数据层）处理的质量和精度。对有些处理过程来说，噪声往往会产生某种局部二义性(local ambiguities)。比如许多边缘检测算法在有噪声干扰的情况下会出现大量的虚检和漏检，而使后续的目标提取和识别无法进行。因而，研究图像去噪是非常有意义的。第2章 图像去噪的基本原理与概念2.1 图像噪声根据不同分类方式可将噪声进行不同的分类。 从噪声的概率分布情况来看，可分为短拖尾噪声、中拖尾噪声和长拖尾噪声。下面给出几种常见的噪声分布形式的概率密度函数f(n)。典型的短拖尾噪声均匀分布噪声： (1)典型的中拖尾噪声高斯分布噪声： (2)典型的长拖尾噪声双指数分布噪声： (3)根据对图像信号的污染方式可分为加性噪声、脉冲噪声和乘性噪声。受加性噪声污染图像的退化模型为： (4)受脉冲噪声污染图像的退化模型为： (5)受乘性噪声污染图像的退化模型为： (6) 其中为噪声污染图像信号,为图像原始信号，为噪声，p为脉冲噪声的概率。2.2 去噪效果评价我们以X和分别代表原始图像和处理后的图像： (7) (8)其中假定图像大小为IJ。1.均方误差(Mean Square Error) (9)2.归一化均方误差(Normalized Mean Square Error) (10)3.平均绝对误差(Mean Absolute Error) （11） 4.归一化平均绝对误差(Normalized Mean Absolute Error) （12） 5.峰值信噪比(Peak signal-to-Noise Ratio) （13） 主观评价一般采取对比观察的方法，可通过对比结果图像与原始图像，对比结果图像与噪声图像，对比不同方法处理所得到的结果图像等途径来进行评价。在进行主观评价时，有一点需要强调，即每种滤波方法事实上都不可能把噪声图像完全恢复到原始无噪声图像那么完美无缺，因为噪声污染都会产生某种程度的信息丢失，而这是很难通过噪声滤波来再生的。因此评价不可过分追求结果图像与原始图像的一致性。掌握主观评价的标准可能会因人而异，但普遍地说，主要可从以下两进行评价：1.观察噪声平滑的效果。主要可通过观察图像的背景或前景灰度平坦区、缓变区等地方来获得评价印象。人眼对平坦区、缓变区等地方的噪声一般比较敏感，目前噪声滤波在平滑噪声时主要也是针对这些地方进行的。在评价时，还可以参考上述介绍的几种客观评测参数，这些参数一般能正确反映图像平坦区和缓变区的噪声平滑效果。2.观察图像结构成分的保护效果。每一种噪声滤波方法在平滑图像噪声的同时，都会对图像的结构成分，例如边缘、细节等，产生不同程度的破坏。大部分滤波方法的结构破坏经常体现为边缘模糊、边缘移位、边缘形状失真以及细节丢失等现象。图像的结构成分对人的主观视觉效果同样显得至关重要，评价滤波的好坏必须综合考虑噪声平滑与结构保护两方面的效果。事实上，结构保护也是目前图像噪声滤波中比较困难的一件事情。观察结构保护的效果也可通过对比结果图像与原始图像或噪声图像中的边缘、细节等地方来进行。在评价时，常常需要对比不同滤波方法的结构保护性能。2.3 小波变换2.3.1连续小波变换 设(t)L2(R)，其傅立叶变换为，当满足允许条件(完全重构条件)： （14）时，我们称(t)为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。其中，当w=0时，有(0)=0，即。同时有()=0。因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。事实上，任何均值为零且在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。 将母函数(t)经过伸缩和平移后得到： （15）称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b 为平移因子。通常情况下，基本小波(t)以原点为中心，因此a, b(t)是基本小波(t)以t=b为中心进行伸缩得到。基本小波(t)被伸缩为(t/a)(a1时变宽，而a1时变窄)可构成一组基函数。在大尺度a上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的a则搜索细节特征。 对于任意的函数f(t)L2 (R)的连续小波变换为： （16） 当此小波为正交小波时，其重构公式为： （17） 在小波变换过程中必须保持能量成比例，即 （18） 由于基小波(t)生成的小波a,b(t)在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以(t)还应该满足一般函数的约束条件： （19）是一个连续函数，这意味着，为了满足重构条件式(14)，在原点必须等于零，即 （20） 此即说明(t)具有波动性。为了使信号重构的实现上是稳定的，除了完全重构条件外，还要求(t)的傅立叶变换满足如下稳定性条件： （21） 式中，0AB1。所以对应的离散小波函数j, k(t)即可写作： （22） 其重构公式为： （23） C是一个与信号无关的常数。如何选择a0和b0才能保证重构信号的精度呢?显然，网络点应尽可能密(即a 0和b0尽可能的小)，因为如果网络点越稀疏，使用的小波函数j,k（t）和离散小波系数Cj,k就越少，信号重构的精确度也就会越低。由于图像是二维信号，因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。令f(x1，x2)表示一个二维信号，x1,x2分别是其横坐标和纵坐标，(x1,x2)表示二维的基本小波，对应的尺度函数为(x1，x2)。若尺度函数可分离，即：(x1，x 2)=(x1)*(x2)。令(xi)是与(xi)对应的一维小波函数，则二维的二进小波可表示为以下三个可分离的正交小波基函数： （24） （25） （26） 这说明在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。先沿x1方向分别用(x1)和(x2)做分析，把f(x1，x2 )分解成平滑和细节两部分，然后对这两部分再沿x 2方向用(x2)和(x1)做同样分析，所得到的四路输出中经(x1)，(x2)处理所得的一路是第一级平滑逼近A1f(x1,x2)，其它三路输出D11 f(x1,x2)，D12f(x1,x2)，D13f(x1,x2)都是细节函数。如果把(xi)和(xi)的对应频谱()，()设想成理想的半带低通滤波器h和高通滤波器g，则A1f(x1，x2)反映的是x1，x2两个方向的低频分量，D11f(x1，x2 )反映的是水平方向的低频分量和垂直方向的高频分量，D12f(x1，x2)反映的是水平方向的高频分量和垂直方向的低频分量，D13f(x1，x2，)反映的是两个方向的高频分量。对图像进行小波变换就是用低通滤波器h和高通滤波器g对图像的行列进行滤波（卷积），然后进行二取一的下抽样。这样进行一次小波变换的结果便将图像分解为一个低频子带（水平方向和垂直方向均经过低通滤波）LL和三个高频子带，即用HL 表示水平高通、垂直低通子带，用LH 表示水平低通、垂直高通子带，用HH 表示水平高通、垂直高通子带。分辨率为原来的1/2，频率范围各不相同。第二次小波变换时只对LL子带进行，进一步将LL子带分解为LL1，LH1，HL1和HH1，分辨率为原来的1/4,频率范围进一步减半，以此类推。所以，进行一次小波变换得到4个子带，进行M次分解就得到3M+1个子带，如图21。 LLHLHL2HL1LHHHLH2HH2LH1HH1图21 图像的三级小波分解图第1章 第3章 图像去噪的常用方法及分析第2章 现有的图像去噪方法大致可以划分为两类:一类是空间域方法,主要采用各 图像平滑模板对图像进行卷积处理,以达到压抑或消除噪声的目的;另一类是频率域方法,主要通过对图像进行变换以后,选用适当的频率带通滤波器进行滤波处理,经反变换后获得去噪声图像。3.1 均值滤波3.1.1 均值滤波的原理 均值滤波的基本思想是用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度。假定有一幅NN个像素的图像f(x,y),平滑处理后得到一幅图像g(x,y),g(x,y)由下式决定:g(x,y)=1、M(m,n)Sf(x,y)，式中x,y=0,1,2,N-1,S是(x,y)点邻域中点的坐标的集合,但其中不包括(x,y)点,M是集合内坐标点的总数。平滑化的图像g(x,y)中的每个像素的灰度值均由包含在(x,y)的预定邻域中的几个像素的灰度值的平均值来决定。这种方法通过把突变点的灰度分散在其相邻点中来达到平滑效果,操作起来也简单,但这样平滑往往造成图像的模糊,可以证明,对图像进行均值处理相当于图像信号通过一低通滤波器。3.1.2 基于matlab均值滤波去噪方法的代码实现及分析J = imread(eight.tif);%读入原始图像I = imnoise(J,salt & pepper);%加入椒盐噪声figure, imshow(I);%显示预处理图像K1=filter2(fspecial(average,3),I)/255;% 进行3*3均值滤波K2=filter2(fspecial(average,5),I)/255;% 进行5*5均值滤波K3=filter2(fspecial(average,7),I)/255;% 进行7*7均值滤波figure,imshow(K2);figure,imshow(K3); （a）加入噪声图像 （b）3*3的均值滤波后结果 （c）5*5的均值滤波后结果 （d）7*7的均值滤波后结果图31 邻域线性平滑滤波 由图31可以看出d图比c图更清晰，但更加模糊。这说明，当所用的平滑模板的尺寸增大时，消除噪声的效果增强，但同时所得的图像变得更模糊，细节的锐化程度逐渐减弱。3.2 中值滤波3.2.1 中值滤波的原理 中值滤波是一种非线性信号处理方法,它的基本原理是把数字图像或数字序列中的一点的值用该点的一个邻域中的各点值的中值代替。通俗地讲中值滤波就是用一个活动窗口沿图象移动,窗口中心位置的象素灰度用窗口内所有象素灰度的中值来代替。对于一幅图像的象素矩阵,取以目标象素为中心的一个子矩阵窗口,这个窗口可以是33,55等,可根据需要选取,窗口的形状常用的有方形、十字形和圆形等。对窗口内的象素灰度排序,取中间一个值作为目标象素的新灰度值。设xij(i，j)I2表示数字图像各点的灰度值,滤波窗口为A的二维中值滤波,可定义为: （1） 邻域的大小决定在多少个数值中求中值,窗口的形状决定在什么样的几何空间中取元素计算中值。窗口的大小和形状有时对滤波效果影响很大。3.2.2 基于matlab中值滤波去噪方法的代码实现及分析I = imread(eight.tif); %读入原始图像j1=imnoise(I,salt & pepper,0.3); %加入椒盐噪声hood=3;X1=medfilt2(j1,hood hood); % 进行3*3中值滤波hood=9;X2=medfilt2(j1,hood hood); % 进行9*9中值滤波figure,imshow(I), title(Original Image); %显示原始预处理图像figure, imshow(j1), title(Noisy Image); %显示预处理图像figure,imshow(X1),title(3*3 De-noised Image);figure,imshow(X2),title(9*9 De-noised Image) （a）原始图像 （b）加噪图像 第3章 （c）3*3中值滤波后的图像 （d）9*9中值滤波后的图像图 32 调入medfilt2实现中值滤波 由图32可以看出实践表明，9*9中值滤波后的图像去噪后的效果明显比3*3中值滤波后的好，这说明，选择适当大小的中值滤波窗口可以在最大限度的保持图像精度的基础上去除图像噪声。3.3 维纳滤波3.3.1 维纳滤波的原理 Wiener滤波器是经典的线性降噪滤波器。Wiener滤波的思想是20世纪40年代提出来的，是一种在平稳条件下采用最小均方误差准则得出的最佳滤波准则，该方法就是寻找一个最佳的线性滤波器，使得均方误差最小。其实质是解维纳霍夫方程。Wiener滤波器首先估计出像素的局部矩阵均值和方差： （2） （3）是图像中每个像素m*n的领域，利用Wiener滤波器估计出其灰度值： （4）整幅图像的方差，它根据图像的局部来调整滤波器的输出，当局部方差大时，滤波器的效果较弱，反之，滤波器的效果强，是一种自适应滤波器。3.3.2基于matlab维纳滤波去噪方法的代码实现及分析J = imread(eight.tif);%读入原始图像I = imnoise(J,salt & pepper);%加入椒盐噪声K1=wiener2(J,3 3); % 进行3*3维纳滤波K2=wiener2(J,5 5); % 进行5*5维纳滤波K3=wiener2(J,7 7); % 进行7*7维纳滤波figure,imshow(K1);figure,imshow(K2);figure,imshow(K3); （a）3*3维纳滤波后图像 （b）5*5维纳滤波后图像 （c）7*7维纳滤波后图像图3-3 调入wiener2实现维纳滤波第4章 由图33与图31相比较可以看出，均值滤波处理后的图像效果较差。噪声减少不明显，而且使图像模糊度增加。相比之下Wiener滤波处理的图像效果比较好，图像轮廓清晰，噪声大大减低，图像质量明显提高，识别目标方便。Wiener滤波不仅较好地消除了强脉冲性噪声的影响，而且较好的保留了图像的边缘。第4章 基于小波域图像去噪方法及分析4.1图像小波去噪原理 根据小波中的多分辨率原理，将变化平缓的信息对应成信号的低频部分，对于变化很快的信息对应高频部分。任何小波函数可以表示成平移的双倍分辨率尺度函数的加权和，相应的双尺度方程如公式（1），尺度函数与小波函数的关系如公式（2）： （1） （2） 根据以上的小波函数，若二维图像为f(x，y)，图像为N*M大小，则离散小波变换(DWT)如下： （3） （4） 其中，j0与j为分辨率参数，j0是任意的开始尺寸， W(j0，m，n)系数定义了在尺度j0的f(x，y)的近似，即对应了低频分量，Wu(j，m，n)定义了jj0附加的水平、垂直和对角方向的细节，即对应了高频分量。 4.2小波去噪的优越性小波分析作为近年来发展起来的一种新的信号分析方法，兼有时域分析和频域分析的特点，在分析号经过小波变换后，在不同的分辨率下呈现出不同规律，在不同的分辨率（不同的层次）下，设定阈值门限，调整小波系数，就可以达到小波去噪的目的。信号的去噪方面有其独特的优点。小波变换以其特有的多分辨率性、去相关性和选基灵活性等特点，使得它在图像去噪方面大有可为。4.3 小波阈值去噪假设已经获得观测公式如下： (5)式中，ni为零均值的白色高斯噪声，为其标准差，xi为期望信号，yi为观测值。滤除噪声ni的问题可以认为是如何将x从观测值y中恢复出来。基于小波阈值去噪的步骤如下：1.对观测值进行小波变换,得到小波系数Y=Wy；2.在小波域上，对小波系数Y进行阈值操作，有两种方式； 硬阈值: (6) 软阈值: (7) 式中,R为阈值,sgn(Y)为Y的符号；3.由重构,就得到的估计信号。4.4 阈值的选取及其新型确定方法4.4.1阈值常用确定方法阈值的选取是个关键问题。因为阈值选得过大会造成有用的高频信息（如边缘信息）丢失，使图像变得模糊；而阈值选得过小，又会保留过多的噪声使去噪效果不明显。目前使用的阈值可以分成全局阈值和局部适应阈值两类。全局阈值是对各层所有的小波系数或同一层内的小波系数都是统一的；而局部适应阈值是根据当前系数周围的局部情况来确定阈值。VisulShrink(固定门限准则)方法中 (8) Minimax(极大极小准则)方法中 (9) SureShrink(无偏风险准则)方法较复杂，首先对像素点按照灰度大小进行从大到小重新排序,然后再对各元素求平方,组成新的向量s(i),再计算向量R (10) 最后求出中最小元素的相应位置；取 (11) HerurShrink方法是对方法和2方法的改进型估计方法,取 , (12) (13) 4.4.2 阈值新型确定方法-试探法该方法通过不断地调整门限值使其达到或接近最优门限值，从而实现较好的去噪效果。下面以图像为例说明本方法的去噪步骤图41 信噪比与阈值变化关系图图4是阈值-信噪比曲线图，图中(k=0，1，2，3)为给定的阈值。显然，随着阈值的变化，去噪后图像信噪比有一最优值，若能得到对应的阈值，则去噪图像最清晰，可达到最佳去噪效果。去噪步骤如下：1.选取一个合适的分解层数。一般令k=2时开始进行仿真试验，如果所得结果，即信噪比未达到预定的要求(本文中要求信噪比高于上述四种方法5以上)时,令k+1,继续下述过程；2.给定初始阈值(一般要求大于上述四种方法所确定的阈值1倍以上，这样可以减少试探次数,本仿真初始值为20)。运行程序，得到计算结果(用峰值信噪比衡量)，并与上面方法进行比较，如果去噪效果达到预定要求(此要求可以根据自己需要确定)，则可以退出程序。否则,继续下一步；3.将初始阈值增大(增大原则是：开始时增大量大，一般为初始阈值的2-4倍，最后逐渐变小，尤其在接近临界值时增大量更小些)。通过仿真结果来确定是否符合要求，已达要求，可以就此终止，否则继续给新的阈值，继续下一步；4.比较前后两次不同阈值的去噪结果(图4中0和2或3)。如果后一次效果更好，则可以继续增大阈值；如果后一次效果变差，则将此阈值减小，不断重复4的过程直到找到一个符合要求的阈值；如果经过多次尝试仍未找到符合要求的结果，则有可能是分解层数的问题，继续下一步； 5.分解层数加1,继续2-4步直到找到合适的结果。试探法流程图如图5所示：图42 试探法流程图对比仿真结果：本节用大小为512*512的标准图像进行仿真试验，噪声为高斯白噪声，对小波系数分别用软阈值和硬阈值的方法进行处理,处理后图像分别如图4-3,图4-4，表1,表2分别为处理后图像的信噪比： (a)噪声图像 (b)混合准则 (c)无偏风险准则 (d) 固定门限准则 (e)极大极小准则 (f)本文方法图43 软阈值处理图像(分解5层) (a)噪声图像 (b)混合准则 (c)无偏风险准则 (d) 固定门限准则 (e)极大极小准则 (f)本文方法 图44 硬阈值处理图像(分解层次为5) 表1 软阈值处理图像信噪比/阈值(分解5层,用sym4小波)噪声标准混合准则无偏风险准则固定门限准则极大极小准则本文方法0.03213.7136/0.020013.7136/0.020014.3508/5.005114.1825/3.698723.5000/99.00000.86517.0045/0.00787.0045/0.00787.2941/5.00517.2182/3.698715.50/150.00001.44526.6131/0.00316.6131/0.00316.8892/3.69786.8169/3.698715.10/198.00002.88396.1788/0.00626.1788/0.00626.4396/5.005166.3713/3.698714.20/200.00003.46156.0980/0.00836.0980/0.00836.3561/5.00516.2885/3.698714.71/300.0000表2 硬域值处理图像信噪比/阈值(分解5层,用sym4小波)噪声标准混合准则无偏风险准则固定门限准则极大极小准则本文方法0.03213.6752/0.018313.6752/0.018313.6761/5.005113.6755/3.698723.8/185.000.86516.9953/0.00706.9953/0.00706.9954/5.00516.9953/3.698714.0/250.01.44526.5905/0.00536.5905/0.00536.9905/5.00516.5905/3.698715.2/345.02.88396.1988/0.00566.1988/0.00566.1988/5.00516.1988/3.698714.46/395.03.46156.0977/0.00456.0977/0.00456.0987/5.00516.0977/3.69814.27/445.0 从上述仿真结果可以看出，本文方法无论是用硬阈值还是用软阈值对小波系数进行处理，均具有较好的去噪效果。图像的信噪比有较大的提高,图像的视觉效果也要优于其它四种方法。4.5 小波基的选取对图像去噪的影响现有的小波基函数主要分为正交小波、半正交小、波双正交小波等几类，而比较常用的几种具体的小波有Daubechies正交小波系，基于B2样条函数构造的双正交小波系、MexicaHat、Meyer小波等。在图像处理的应用中，尤其是在图像压缩编码中，于B2样条函数构造的双正交小波系取得了很好效果，这主要是由于其具有的线性相位特性。而在图像去噪的情况下，是否也是具有线性相位的双正交小波的去噪效果要优于其它小波基呢?在经过对实际含噪图像的处理后，我们认为这一设想并非在所有情形下都成立实际上不同小波基去噪效果的差异与噪声水平高低。图像的特点等具体情况有关，下面我们就小波基的正交性与线性相位性作一些简单的讨论。1.小波基具有正交性是指不同尺度间的小波函数关于尺度指标j和平移指标k正交，n在正交小波分解的各子空间中满足Vj+1=VjWj2.设fIL2(R)，如果f的Fourier变换为f|f(w)|e-iaw式中a是实值常数号与w无关,就说f具有/线性相位0,如果f(w)=F(x)e-I*(iw+b)式中F(x)是实值函数a，b是实常数，则称f具有/广义线性相位0，以上两式中的a称为f的相位。小波基如果具有正交性,则分解后的各尺度间和尺度内的系数之间具有小的相关性,但缺点是除Harr小波基外,其它正交小波基都不具备线性相位,而在信号(图像)经小波抽样分解后重构的信号一个小波级数,它是一个线性滤波的结果,可以证明,如果滤