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文档简介

实验7 定积分的近似计算 内容提要 在实际问题中遇到的定积分,被积函数往往不可 能用算式给出,而只能通过图形或表格给出;或 者虽然可以用一个算式给出,但是要计算出它的 原函数却是很困难,甚至原函数可能是非初等函 数,因而产生”积不出来”的情况.这时就不能 用牛顿- 莱布尼茨公式来计算定积分,而需要考 虑定积分的近似计算问题. 所谓定积分的近似计算,就是找到一个适当的计 算公式,利用被积函数在积分区间上若干点处的 函数值,来计算定积分的近似值,并且作出误差 的估计. 定积分的近似计算 我们知道 ,定积分(设f(x)0 不论在实际 问题中的意义是什么,在数值上都等于曲线 y=f(x),直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的 面积.因此,不管f(x)以什么形式给出,只要近似 地算出相应的曲边梯形的面积,就得到了所给定 积分的近似值.这是定积分近似计算方法的基本 思想. 我们介绍两种常用而简便的定积分的近似计算 方法,所导出的公式对于f(x)在a,b上不是非 负的情形也适用. 定积分的近似计算 梯形法 梯形法就是把曲边梯形分成若干个窄曲边梯形, 然后用窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形面积, 把它们相加从而求得定积分的近似值.具体方法 如下: 用分点a=x0,x1,将区间分为个长度相等的小区 间,每个小区间的长度为.设函数对应于各分点 的函数值为 即(i=0,1, ,n).如图35 所示,每一个窄梯形的面积为： 定积分的近似计算 从而有： 公式(3)称为梯形法公式. 以下我们来估计梯形法的误差.第i个窄曲边梯 形的面积为： 定积分的近似计算 令 则 ， 并且 当 时，t=0,当 时，t=1,于是 当 时，利用分布积分法可以证明： 定积分的近似计算 如果当 时,那么 ,第i个窄曲边梯形 与相应的窄梯形面积之差的绝对值将有以下估 计: 定积分的近似计算 抛物线法 梯形法是通过用许多直线段分别近似代替原来 的各曲线段,即逐段地用线性函数近似代替被积 函数,从而算出定积分的近似值.为了提高精确 度,可以考虑在小范围内用二次函数 来近似代替被积函数,即用对称轴平行于y轴的 抛物线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧,从 而算出定积分的近似值.这种方法称为抛物线法 ,也称为辛普森(Simpson)法.具体方法如下: 定积分的近似计算 用分点a= ,将区间a,b分为n (偶 数)个长度相等的小区间,各分点对应的函数值为 .曲线y=f(x)也相应地被分为n个小弧段,设曲线 上的分点为 我们知道,过三点可以确定一条抛物线 .于是在每两个相邻的小区间上经过曲线上的三 个相应的分点作一条抛物线,这样可以得到一个 曲边梯形,把这些曲边梯形的面积相加,就可以得 到所求定积分的一个近似值.由于两个相邻区间 决定一条抛物线,所以用这种方法时,必须将区间 a,b分成偶数个小区间. 定积分的近似计算 下面我们先来计算-h,h上以过点 的抛物线为 曲边的曲边梯形的面积 . 首先,抛物线方程中的pqr
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