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目录 上页 下页 返回 结束 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 函数的连续性与间断点 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数在点 一、 函数连续性的定义 定义:在的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 ,存在 ; 目录 上页 下页 返回 结束 continue 若在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例如, 在上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间上的连续函数的集合记作 只要都有 目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量有函数的增量 左连续右连续 当时, 有 函数在点连续有下列等价命题: 目录 上页 下页 返回 结束 例. 证明函数在内连续 . 证: 即 这说明在内连续 . 同样可证: 函数在内连续 . 目录 上页 下页 返回 结束 在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一, 函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在无定义 ; 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类: 第一类间断点: 及均存在 , 若称 若称 第二类间断点: 及中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡,称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: 目录 上页 下页 返回 结束 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 左连续右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 在点间断的类型 在点连续的等价形式 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设时 提示: 3. P65 题 3 , *8 为 连续函数. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 目录 上页 下页 返回 结束 P65 题*8 提示: 作业 P65 4 ; 5 第九节 目
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