ch1-3,4函数极限定义与性质.ppt

福 州 大 学1 复习 注意： 但未必是 的函数; 一般, 取越小, 相应 N 就越大, 3. N与n无关, N不是唯一的. 2. N可能与 有关， Date 福 州 大 学2 几何解释: 推论 Date 福 州 大 学3 数列极限的性质 1.有界性(全局性） 定理1 收敛的数列必定有界. 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. Date 福 州 大 学4 2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 3.子列的收敛性 定理3 如果数列收敛，则它的任一个子数列 也收敛，且极限相同. Date 福 州 大 学5 第三节 函数极限的定义 一、自变量的变化过程 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 三、自变量趋向有限值时函数的极限 新课 第一章 Date 福 州 大 学6 一、自变量的变化过程 2. x 0有定义 , 对任意给定的无论多 么小的正数 ,总存在正数 X , 当 x X 时， 恒有 | f(x)A| 0, 总 存在正数 0,只要 f 的定义域中的点 x 满足 0 0 ? 不能! Date 福 州 大 学37 定理(保序性) 推论 由此也可证“极限的唯一性” ? 不能! 当但 A=B=0 Date 福 州 大 学38 4.函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系) 定义 定理 例如, 则 Date 福 州 大 学39 例如, 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限 都存在,且相等. (Heine定理，又称归并原则) 即 Date 福 州 大 学40 例6 Date 福 州 大 学41 例6 证 二者不相等, Date 福 州 大 学42 五、小结 1. 函数极限的统一定义 (见下表) Date 福 州 大 学43 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 2. Date 福 州 大 学44 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 Date 福 州 大 学45 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 Date 福 州 大 学46 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 Date 福 州 大 学47 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 Date 福 州 大 学48 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 Date 福 州 大 学49 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 Date 福 州 大 学50 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 Date 福 州 大 学51 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 sinx/x x Date 福 州 大 学52 一、填空题: 练 习 题 Date 福 州 大 学53 Date 福 州 大 学54 练习题答案 Date 福 州 大 学55 备注Heine定理海涅定理 limx-af(x)=b存在的充要条件 是:对属于函数f(x)定义域的任意数列， 且limn-an = a，ana，有limn-f(an)=b。 海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。 根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限， 同样求数列极限也可转化为求函数极限。 因此，函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质 来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限 是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作 用。 海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定 理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又 称它为归结原则。 Date 福 州 大 学56 M -M y x o y=f(x) I 有界 则称 f(x) 在I 上有界. 若这M不存在，则称 f(x)在 I 上无界. 例： 有界 有界 无界 1 1 2 1/2 补充知识 函数的有界性:设f(x)在区间I上有定义v Date 福 州 大 学57 设 f(x) 在区间 I 内有定义,若 M1 和 M2 使xI, 都有 M1 f(x) M2 , 则称 f(x) 在 I 内有界 ,而M1和 M2称为f(x)在 I 上的一个下界和一个上界. M -M y x o y=f(x) I 有界 则称 f(x) 在I 上有界. 若这M不存在，则称 f(x)在 I 上无界. 函数有界的另一种定义: 1 1 2 1/2 有界 函数的有界性:设f(x)在区间I上有定义v 补充 Date 福 州 大 学58 M -M y x o y=f(x) I 有界