数学模型实习指导.docx

实验一 最优价格问题（2学时）【实验目的】1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解2.讨论微分学中的实际应用问题3.会用Matlab命令求函数极值【实验要求】掌握函数极值概念，Matlab软件中有关求导命令diff【实验内容】 某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论2.若租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大【实验方案】 1.方法一： 设每套公寓月租金在1000元基础上再提高x元，每套租出公寓实际月收入为()元，共租出()套。 收益 R()= ()() (02500) R()= 令R()=0，解得驻点=750。R()=0，故R()在=750处取得极大值。在0,2500上只有一个驻点，故R（）在=750处取最大值。即每套公寓的月租金为1750元时，才能使公司收益最大。检验：=1750元，少租出=30套，实际租出70套，公司有租金收入1750*70=122500元。比100套全部租出时公司租金收入1000*100=100000元多22500元。方法二：设每套公寓月租金为元，少租出套，实际租出套收益 R()= () (10003500) R()=令R()=0，解得驻点=1750(每套公寓租金)检验讨论如方法一2.设每套公寓月租金在1000元再提高元，每套租出公寓实际月租金收入是(1000+-20)元，共租出套收益 R()= ()() (02500) R()=+(980+)()令R()=0，解得驻点=760。R()=f=inline(-(1000+x)*(100-x/25) %通过内联函数建立函数f，定义求最大值的语句函数，注意负号% a=fminbnd(f,0,2500) x=-f(a)f = Inline function: f(x) = -(1000+x)*(100-x/25)a = 750x = 122500方法二 f=inline(-x*(100-(x-1000)/25) a=fminbnd(f,1000,3500) x=-f(a)f = Inline function: f(x) = -x*(100-(x-1000)/25)a = 1750x = 122500 (2) f=inline(-(980+x)*(100-x/25) a=fminbnd(f,0,2500)f = Inline function: f(x) = -(980+x)*(100-x/25)a = 760实验二 通信卫星在地面上的覆盖面积（2学时）【实验目的】 1.加深对曲面积分概念的理解2.会用积分理论解决实际问题3.会用Matlab命令求曲面积分，用数值解法求二重积分【实验要求】 1.掌握曲面积分的应用2.了解二重积分的数值解法【实验内容】 将一颗通信卫星送入太空，使该卫星轨道位于地球赤道平面内，卫星运行的角速率与地球自传的角速率（）相同时成为同步卫星。设卫星距地面的最低高度为，试计算卫星所覆盖的地球面积S.图1 通讯卫星覆盖地面剖面图【实验方案】 将地球视为球体（地球半径为），以球心为原点建立如图6-12所示的坐标系。因上半球面方程为 ,故被卫星覆盖的地表面积为其中，为上半球面上被半顶角为的圆锥所截的曲面部分。 所以卫星的覆盖面积为其中D：. 注意到, 于是D：.利用极坐标变换，求得.当,时，S =2.1694e+008.【实验过程】 M源程序： clear allclcFrt=inline(6378*r./sqrt(63782-(r.*cos(t).2-(r.*sin(t).2); R=6378;h=35800;r1=R*sqrt(1-(R/(R+h)2);s=dblquad(Frt,0,r1,0,2*pi)对二重积分作数值计算运行结果：S = 2.1694e+008实验三 乘公交,看奥运（4学时）一 问题提出与分析1.1 问题重述目前北京市的交通线路繁多，由于大量的中外观众到现场观看比赛，造成人口量的聚增，为了最大限度地保证公众出行时，乘坐公交的满意程度，亟待设计一个研发解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。从实际出发，充分考虑设计该系统的核心在于建立合理的线路模型与制定高效的算法。应用模型与算法的结果，设计一个公交线路查询系统，最终确保各查询者根据不同的需求选择最佳路线。具体需要解决的问题如下：仅考虑公汽线路时，建立任意两站点之间一般模型与制定高效的算法。设计一个公交线路查询系统，其功能：根据各查询者不同的需求而选择最佳路线。并求出具体的4对起始站终点站之间的最佳路线。1.2 问题分析上述问题是一个追求任意两公汽站点最佳路线的优化问题。需要找到的这条最佳路线包括以下内容：从起始站乘坐某编号的公交到某站，然后转乘另一编号的公交，如此反复，最终到达终点站。由于公众乘坐公交的满意程度包括：出行耗时、换乘次数、乘车总费用，由于这三者之间具有相关性，所以先分别建立以出行耗时最少、换乘次数最少、乘车总费用最少为目标函数的优化模型，再以它们的积为目标函数建立优化模型。由于是01变量过多的整数规划，用lingo软件无法求出最佳结果，因此可以运用回溯法，结合递归法、深度优先搜索法和利用剪枝函数等算法，运用Matlab编程，从而求出相应的4对起始站终点站之间的最佳路线。最后，进行模型分析和检验，从而设计自主查询计算机系统。1.3 模型准备1.3.1 对查询者不同需求的理解由于使用公交线路选择自主查询系统的公众，可能从事不同的职业，来源于不同的收入层次，年龄的大小不尽相同。而在具体查询选择路线时，公众会根据自身当前对出行耗时最少、换乘次数最少、乘车总费用最少的不同偏爱程度(可转化为公众的满意度权重)决策选择当前最佳路线。譬如，一味追求时间效率的公众可能只关注车辆的行驶时间，而对车费与转车次数没有太多的苛刻要求，就是说为了达到时间上的要求，即使花费数倍的车费以及经历屡次转车的劳顿也心甘情愿。对于公众只对换乘次数或乘车总费用有要求的情况可类似考虑。当然，在一定的时间与空间的限制下，公众可以综合考虑以时间、车费、转车次数整体最优为目标，相当于分别取定对应满意度的权值，建立加权的优化模型，或者通过寻找三个目标的相关性，利用目标乘积度量法建立优化模型。为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。请你们解决如下问题：仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。并根据附录数据，利用你们的模型与算法，求出以下6对起始站终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）。 (1)、S3359S1828 (2)、S1557S0481 (3)、S0971S0485 (4)、S0008S0073 基本参数设定相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)： 3分钟公汽换乘公汽平均耗时： 5分钟(其中步行时间2分钟)公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：020站：1元；2140站：2元；40站以上：3元注：以上参数均为简化问题而作的假设，未必与实际数据完全吻合。公交线路及相关信息 注：数据文件data.txt中每段数据中第一个数据表示公交线路（1路100路）；第二个数据表示计价方式，其中1表示单一计价，2表示分段计价；-1表示一条公交线路结束，其余数据表示的是站点代码，为了程序实现的方便，把公交站点代码中的S换成了1。每段表示的是公交线路从起点A到终点B，再从起点B到终点A。1.3.2 对最佳路线的理解在目前的条件下，北京市的公交线路已经达到800条以上，一方面，这使得全市的交通在一定程度上更加便利与快捷；另一方面其也产生乘车时的多条线路选择问题。所谓最佳线路就是根据公交乘车查询者的选择目标(或者是当前乘车时间最少，或者是换乘次数最少、乘车总费用最少)，建立满足相应的约束条件的优化模型，设计相适应的高效算法，求解得到对应目标函数的最小值时，得到的一条或几条路线。1.3.3 对查询系统的核心在于模型与算法的理解奥运会期间，尽管北京市的公交路线已经到达充分的数量，交通更加畅通与便利，但是线路的选择不得不是一个制约乘车效率的关键因素。为了筛选出最佳线路，在研究开发公交线路选择自主查询计算机系统时，所建立的优化模型与设计的算法必须都要受到时间的限制。其原因在于模型往往决定着求解的具体算法，而算法又直接关乎于计算的时间效率，然而算法的时间效率又直接联系着查询者的主观感受以及对计算机系统的接受程度。因而模型越简单，算法的时间效率越高，自主查询系统的反应就越敏捷，市场的服务效果就越好。综上，设计查询系统的核心应放于模型的建立与算法的设计。1.4 模型假设与符号说明1.4.1模型假设(1)在任意站点的任意时刻有公交相向而行；(2)公交路线不存在堵塞现象，且公共汽车之间依次行进，不存在超车的现象；(3)公交从起点出发后，都能在额定的时间里达到所行的路线上的每个站点；(4)乘客转站后都能顺利在规定的时间内乘上另一号车；(5)公交在白天和黑夜的运行状况一样；(6)公汽之间可以换乘；(7)不同的公交线路之间可以换乘；(8)平均行驶时间为3分钟(包括停站时间)，且平均行驶速度相等；(9)乘公汽平均耗时5分钟(其中步行时间2分钟)；(10)公汽票价分为单一票价和分段计价两种，其中分段计价的票价为：020站：1 元，2140：2元，40站以上：3元；(11)公众在一次出行从始点站到终点站中，乘坐同一路车的次数只能为一次 ；1.4.2 符号说明：表示从始点站到终点站是否乘坐了j路公汽，乘坐记为1，否则记为0；：表示是否在第i车站乘坐第j路公汽，乘坐记为1，否则为0；：表示从始点站到终点站乘坐单一票价公汽的集合(单位:元)；：表示从始点站到终点站乘坐分段票价公汽的集合(单位:元)；：表示从始点站到终点站经过第j站时是否乘坐单一票价公汽，乘坐记为1，否则记为0；：表示从始点站到终点站是否乘坐分段票价公汽，乘坐记为1，否则记为0；：表示从始点站到终点站乘坐公汽所需要的时间(单位:分钟)；：表示公众对计算机查询系统的综合满意度；：表示从始点站到终点站乘坐公汽所需要的费用(单位:元)；：表示从始点站到终点站乘坐公汽转车次数。二模型建立与求解2.1 模型建立 模型一：以出行耗时最少为目标函数约束条件：从起点到终点乘坐第j 路公车的0-1变量约束； 从始点站到终点站经过第i车站乘坐第j路公汽的0-1变量约束； 综上，建立模型如下： 模型二：以转车次数最小为目标函数约束条件：从始点站到终点站经过第i车站乘坐第j路公汽的0-1变量约束； 乘车时间非负约束； 转车次数上限限制； 综上，建立模型如下； 模型三：以乘车费用小为目标函数约束条件：从始点站到终点站经过第j站时乘坐单一票价公汽的0-1变量约束； 公众乘坐单一票价与分段计价票价的公汽经过的站点数量之和等于其从始点站到终点站经历的站点数： 分段计价乘公汽的单价约束； 从始点站到终点站经过第i车站乘坐第j路公汽的0-1变量约束； 集合限定约束； 综上，建立模型如下： 综合模型,以公众对计算机查询系统的满意度为目标函数：约束条件：从起点到终点乘坐第j 路公车的0-1变量约束： 从始点站到终点站经过第i车站乘坐第j路公汽的0-1变量约束； 乘车时间非负约束； 换乘次数上限限制； 从始点站到终点站经过第j站时乘坐单一票价公汽的0-1变量约束； 公众乘坐单一票价与分段计价票价的公汽经过的站点数量之和等于其从始点站到终点站经历的站点数： 分段计价乘公汽的单价约束； （8）集合限定约束； 综上，建立模型如下：2.2 模型的求解深度优先:(转乘两次以内)(1) S3359S1828 乘车时间: 157公交线路: 15 13359 - 12266 - 13917 - 12303 - 11327 - 13068 - 10616 - 12833 - 12110 - 12153 - 12814 - 13501 - 13515 - 13405 - 12424 - 11174 - 10902 - 10900 - 13733 - 11769 - 10753 - 12418 - 11738 - 10493 - 12450 - 10355 - 10354 - 12415 - 10752 - 13453公交线路: 5 13453 - 10751 - 13878 - 12416 - 13139 - 13443 - 10983 - 13335 - 12190 - 12397 - 11251 - 12191 - 11829 - 11793 - 11771 - 11790公交线路: 41 11790 - 10458 - 11792 - 11783 - 11671 - 11828Elapsed time is 18.047000 seconds. (2) S1557S0481 乘车时间: 145公交线路: 84 11557 - 13158 - 12628 - 13408 - 12044 - 11985 - 12563 - 12682 - 10028 - 10029 - 10055 - 10051 - 11919 - 13389公交线路: 80 13389 - 10209 - 10239 - 12534 - 12535 - 10399 - 10608 - 12361 - 12057 - 10722 - 11279 - 10617 - 10618 - 11327公交线路: 72 11327 - 13233 - 13068 - 10616 - 11733 - 12110 - 12151 - 12814 - 13501 - 13515 - 13465 - 11879 - 10808 - 11799 - 12589 - 10807 - 10628 - 10492 - 12101 - 10481Elapsed time is 2.594000 seconds. (3) S0971S0485乘车时间: 136公交线路: 13 10971 - 13832 - 13341 - 12237 - 13565 - 13333 - 11180 - 13494 - 11523 - 11520 - 11988 - 11743 - 11742 - 11181 - 11879 - 13405 - 12517 - 13117 - 12954 - 10531 - 12184公交线路: 91 12184 - 10992 - 12322 - 11770 - 11789 - 11788 - 13544 - 13186 - 13409 - 13241 - 13496 - 11893公交线路: 50 11893 - 11555 - 10297 - 10271 - 10464 - 10466 - 10964 - 13189 - 12810 - 12385 - 10071 - 10485Elapsed time is 31.046000 seconds.(4) S0008S0073 乘车时间: 88公交线路: 43 10008 - 11383公交线路: 2 11383 - 11691 - 13766 - 11729 - 12654 - 13231 - 13917公交线路: 57 13917 - 12303 - 12302 - 13232 - 13908 - 11169 - 12929 - 12083 - 11538 - 13547 - 10609 - 10483 - 10604 - 12650 - 13470 - 12619 - 12340 - 13162 - 12181 - 10073Elapsed time is 11.125000 seconds.三 回溯算法分析评价3.1 基本状态空间决策树高效规划流程及回溯算法由于问题一、二、三的模型用lingo软件直接编程求解比较困难，因而运用回溯法，进而结合递归法、深度优先搜索法并利用剪枝函数等算法求解。具体过程如下：Step1：输入起始站A终点站B，假定A、B对应于状态决策树的根，沿着决策树，运用深度最优算法进行搜索，记录当前最短时间(或最少费用)到变量time(或cost)，并且将当前最优路线记录到数组luxian中；Step2：从公交线路与站点信息库里面从头至尾依次搜索A，搜索一个后，转至第3步。Step3：在A所在当前路线上，搜索A能否直达到B，若能，并且所花时间小于time(或cost)，则花费时间赋值于变量time(或cost)，并记录当前路线，存于数组luxian中；无论A在当前路线能否直达B，则都转至第4步。Step4：依次以A所在当前路线的后续站，作为中转站C，再将C视为起点站，B为终点站，重复23步骤；Step5：从24步中，采用每递归一次换乘一次车，使用了深度优先搜索法，以及回溯法思想，遍历所有可能情况，始终将当前最优存于time(或cost)和luxian中，结束后，time(或cost)存的是最优时间(或最少费用)，luxian存的是最优路线。3. 2 转乘3次以上的近似算法以上方法使用剪枝函数减少了搜索上限，使得转车在0-2次时能很快找出全局最优路线。但是大量实践表明，当转车次数在3次以上时，搜索求解的时间将明显延长。针对这种情况，提出解决措施与方案如下：对于0-2次的转车，完全可以利用深度优先搜索遍历一切可能的情况；当最多的转车次数达到3次以上时，用一个回溯算法执行次数的上界用来控制搜索次数，以达到当前局部最优，经多次反复调试。限定上述回溯搜索算法6.1中2-3步的累加次数，该值设为107，并且将时间大约控制在10秒内。当累加次数达到107次时，搜索还未遍历完所有路线，便记录下当前以找到的所有可行路线中的最优路线。最后用该最优路线与最多转乘2次的全局最优路线进行比较，将两者的最优作为该近似算法的结论。3. 3 回溯算法的复杂度状态空间树：描述优化问题解空间的树行结构。树中的每一个结点称为一个问题状态。如果从根到树中的某个状态的路径代表一个作为侯选的元组，则称该状态为解状态。所有的叶结点都是解状态。如果从根到某个状态的路径代表一个可行解的元组，则称该解状态为答案状态。（形象的状态空间树见图9-10）图9-10 状态空间树剪枝函数：指剪去不必要状态生成树的搜索子树，减少问题求解所需实际生成的状态点数为目标约束函数与有界函数的统称。具体而言，当问题的解空间可以用一棵状态空间树来描述，为了提高搜索效率以寻找状态树的答案状态，在搜索过程中使用约束函数，可以避免无谓地搜索那些已知不含答案状态的子树；如果是最优化问题，可以使用限界函数，剪去不可能包含最优答案结点的子树。回溯算法的效率分析2(注释：引用于2书中的178页。)：回溯法的时间通常取决于状态空间树上实际生成的那部分问题状态的数目，在本文要求的最优选择路线的限制下，其取决于公众出行过程中经过的公交站点数目。对于元组长度为n的问题实例，若其状态空间树中的结点总数为n!(或或)，则回溯算法的最坏情况时间复杂度可达()(或或), 这里是n 的多项式，是生成一个结点所需要的时间。下面，我们采用蒙特卡罗算法思想来计算回溯算法求解模型的大致时间，并对回溯算法的时效性做出评价。首先，蒙特卡罗方法的基本思想是在状态树中随机的选择一条路径。设X是这条随机路径上，代表部分向量的结点，如果在X处不受限制的孩子数目为。也就是说，若不受限制的,的取值有个，则第2层上有个结点(根是第一层)；若不受限制的取值有个，则第3层上有个结点；其余类推。由于认为在同一层上不受限制的结点数目相同，因此，整个状态空间树上将实际生成的结点数估计为其次，结合公交最佳选择路线的市场实际情况，将公交站点映射为蒙特卡罗方法中的状态空间数结点，并记起始站A、终点站B分别对应于结点、。于是，欲建立高效率的公交线路选择自主查询计算机系统，必须提高回溯算法的时效性。换乘次数不超过2时，可以直接按照深度优先的逐层搜索算法，在有限的时间内(单个路线计算时，不超过1分钟)求得最优出行乘车方式。当转车次数大于2时，利用以上的计算方式，搜索难度较大。因此，根据公众对出行时间的满意度需求，我们设定搜索次数的上界为，进而限定的值在一定的范围之内，实现回溯算法的有限搜索，寻找局部最优解，提高算法的时间效率。四 模型评价4.1 模型分析与检验模型是考虑公众乘车满意程度的主要出行耗时、换乘次数、乘车总费用三个因素，并分别以这3个因素为目标函数的优化模型，首先，对各模型的敏感性进行了分析，通过程序调试，发现减少多条线路或站点对各模型的结果没有太大的影响；其次，对各模型进行了强健性分析，通过改变发现是发现各模型具有很强的稳定性，符合实际情况的。主要考虑公众出行耗时最少，经过计算，换乘次数对公众出行耗时影响较大，但充分考虑公众心理感受和社会实际情况，换乘次数不可能太多，同时兼顾求解的复杂程度，将换乘次数确定一个上界，故模型具有合理性。同时以出行耗时最少、换乘次数最少、乘车总费用最少综合考虑，作为公众的满意度，来选择最佳路线是符合实际情况的。 通过对模型进行了敏感性和强健性分析，减少一些线路或者站点，对题目中的6对起始站耗时没有影响，说明模型具有很强的适用性。对社会今后城市的发展需要增加一些线路，站点或者由于一些突发事件进行封路以及拆站，该模型具有长期的适用性，所以模型具有合理性。4.2 模型改进在建立以满意度为目标函数的模型中，用出行耗时、换乘次数、乘车总费用乘积的倒数来刻画满意度，不是十分准确，故该模型可以改进为层次分析模型。建立层次结构模型：以追求满意度最大为目标层，以出行耗时、换乘次数、乘车总费用为准则层，在所有可行路线中选取最佳路线为方案层。构造成对比较阵：通过对公众在乘车时的不同需求进行调查研究，反馈的问卷信息实行打分，得出其权重，构造成对比较阵。计算权向量并做一致性检验。最后，计算组合权向量并做组合一致性检验，从而得出满意度函数。4.3 模型评价与推广4.3.1模型评价优点：根据查询者不同的需求，设计的公交查询系统能快速地找到相应的最佳路线，具有很大的灵活性。考虑了各因素之间的相关关系，给出了各因素之间的综合满意度模型，方便查询者能够综合自身不同需求来选择最佳路线。减少多条线路或站点对各模型的结果没有太大的影响，对社会今后城市发展的需要增加一些线路，站点或者由于一些突发事件进行封路以及拆站，该模型具有长期的适用性和地域推广性。在模型中尽量考虑了实际情况，在设计计算机查询系统时，充分考虑其时效性 ，使公众对计算机查询系统能够接受。缺点：在考虑出行耗时、换乘次数、乘车总费用的综合模型中，对这三者相关关系时没有充分考虑其数量级问题，进行直接相乘作为满意度是不太合理的。在考虑综合模型时，没有对出行耗时、换乘次数、乘车总费用的权重进行分析讨论，这是我们的不足之处。4.3.2模型推广由模型设计的计算机查询系统具有高时效性，能够在全国列车站点，网络站点进行推广和应用。由于模型设计的计算机查询系统具有很强的稳定性，可以长期使用。由模型而设计的计算机查询系统不仅适用于北京公交系统，而且还适用于其它城市公交系统。实验四 小行星轨道问题（2学时）【实验目的】1. 掌握线性方程组求解2. 加深对正交变换的理解3. 掌握Matlab软件中的ezplot、zplot命令的区别和适用范围【实验要求】掌握绘制隐函数曲线ezplot命令和彗星状轨迹图comet命令【实验内容】天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）。在五个不同的时间点对小行星作了观察，测得轨道上五个点的坐标数据如下: 表1 小行星观测数据 x4.55965.08165.55465.96366.2756y0.81451.36851.98952.69253.5265由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆。设方程为试确定椭圆的方程并在轨道的平面内以太阳为原点绘出椭圆曲线。并应用坐标平移变换和正交变换将上例题中的二次曲线方程化为标准方程，绘椭圆轨道图，完成小行星运行的动态模拟。【实验方案】（1）二次曲线方程中有五个待定系数：，。将观察所得的五个点坐标数据，代入二次曲线方程得到关于，的线性方程组 求解该方程组得椭圆方程的系数：， 。（2）将椭圆的一般方程写成矩阵形式通过变量变换（平移变换和旋转变换）化为椭圆标准方程。首先化去一次项，然后将二次型化为标准型。为了用平移变换消去一次项，令，（，待定），代入方程整理，得其中，。要化简消去一次项，只须选择，使满足二阶线性方程组将，代入椭圆的一般方程，得令求出特征值极其对应的特征向量。可以取与等价的正交单位向量。构造正交矩阵，利用正交变换得椭圆的标准方程：。椭圆长半轴和短半轴分别为，。【实验过程】(1) MATLAB程序如下：x=4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756;y=0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265;A=x.2,2*x.*y,y.2,2*x,2*y;b=-1;1;1;1;1;a=Ab;syms x y a1 a2 a3 a4 a5fun=a1*x2+2*a2*x*y+a3*y2+2*a4*x+2*a5*y+1;fun=subs(fun,a1,a(1);fun=subs(fun,a2,a(2);fun=subs(fun,a3,a(3);fun=subs(fun,a4,a(4);fun=subs(fun,a5,a(5);ezplot(fun,-1.4,7,-1.5,6.5)运行结果：a=-0.33780.1892-0.38180.46090.4104结果表明：二次曲线方程中的各项系数为=-0.3378，=0.1892，=-0.3818，=0.4609，=0.4104。 图2小行星绕太阳运行的轨道(2) MATLAB程序如下：x=4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756;y=0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265;A=x.2,2*x.*y,y.2,2*x,2*y;b=-1;1;1;1;1;ak=Ab;C=ak(1),ak(2);ak(2),ak(3);X=-Cak(4);ak(5);x0=X(1);y0=X(2);X=X;1;D=ak(1),ak(2),ak(4);ak(2),ak(3),ak(5);ak(4),ak(5),1;F=X*D*X;U d=eig(C);a=sqrt(-F/d(1,1);b=sqrt(-F/d(2,2);t=2*pi*(0:5000)/5000;u=a*cos(t);v=b*sin(t);V=U*u;v;x1=V(1,:)+x0;y1=V(2,:)+y0;plot(x1,y1,x,y,*,x0,y0,rO),hold onx2=x1,x1,x1;y2=y1,y1,y1;comet(x2,y2)disp(x0,y0)disp(a,b)图3 椭圆轨道图运行结果：2.7213 2.42342.4299 4.3799。结果表明：椭圆标准方程为：实验五 房屋装修的工资问题（2学时）【实验目的】1理解矩阵特征值概念 2能根据实际问题，建立模型然后使用Matlab相关命令求解【实验要求】掌握求解特征值的eig命令、生成对角矩阵的diag命令等【实验内容】有三个技术个人分别是木工、电工和管道工，他们准备合作装修自己的新房子。在装修之前约定：每人总共工作20天（包括在自己家）；每人每日的工资平均为100元；每人的日工资应使得每人的总收入和总支出等。需要计算每人的日工资分别是多少，以确定他们的工作日交换是否平衡，如果不平衡，将由谁买单。一个初步的工作日分配方案如下表2 工作日分配方案工作日 工种木工电工管道工木工家4212电工家8102管道工家886【实验方案】设木工、电工和管道工的日工资分别为：，。由总收入和总支出相等的约定，建立线性议程组 整理，得 显然问题与矩阵特征值问题有联系，由于矩阵是正矩阵且每列元素之和均为20，所以20是该矩阵的牲值，于是就是属于特征值的特征向量。按约定总工作量决定总工资应该为6000元，则应该有 【实验过程】MATLAB程序如下A=4,2,12;8,10,2;8,8,6; P,D=eig(A); disp(diag(D) II=input(input Index about eigvalu=20:=); if II=0,error(problem have no solution),end alpha=P(:,II); R=alpha./sum(alpha);format bankdaily=300*R pay=A*diag(daily) 运行结果：在MATLAB命令窗口中运行程序，屏幕将显示出A的三个特征值 20.00 -2.00 2.00由于第一个特征值恰好为20，在提示符“input Index about eigvalu=20:=”后输入索引值1。程序继续运行，得出最后计算结果为 daily = 93.94 96.97 109.09 pay = 375.76 193.94 1309.09 751.52 969.70 218.18 751.52 775.76 654.55每人的日工资由变量daily的数据给出。结果表明： 表3 日工资列表工种木工电工管道工日工资93.9496.97109.09最后的二维数组给出了二维数组，表明付款明细账，行表示支付，列表示收取。显然第一行相加等于第一列相加，第二行相加等于第二列相加，第三行相加等于第三列相加。 表4 工资支付收取方案支付收取木工电工管道工木工375.76193.941309.09电工751.52969.70218.18管道工751.52775.76654.55实验六 线性规划方法建模（2小时）【实验目的】1掌握线性规划模型2掌握线性规划解的基本理论3掌握线性规划的求解方法【实验要求】 学会使用MTLAB软件的linprog命令求解线性规划模型【实验内容】某车间有两台机床甲和乙，可用于加工三种工件。假定这两台机床的可用台时数分别为700和800，三种工件的数量分别为300、500和400，且已知用三种不同机床加工单位数量的不同工件所需的台时数和加工费用（如表4-1所示），问怎样分配机床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使总加工费用最低？表5 机床加工情况表机床类型单位工作所需加工台时数单位工件的加工费用可用台时数工件1工件2工件3工件1工件2工件3甲0.41.11.013910700乙0.51.21.311128800【实验方案】线性规划模型设产品产量为，称之为决策变量，所得的利润为，则要解决的问题的目标是使得（总利润）函数有最大值决策变量所受的约束条件为问题可归结为求目标函数在约束条件下的最大值问题目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数，即有下面的线性规划模型目标函数：约束条件： 一般地，如果问题的目标函数和约束条件关于决策变量都是线性的，则称该问题为线性规划问题，其模型称为线性规划模型我们规定线性规划模型的标准型为对于非标准型的线性规划模型都可以化为标准型，其方法如下：（1）目标函数为最小化问题：令，则；（2）约束条件为不等式：对于不等号“”的约束条件，则可在“”的左端加上（或减去）一个非负变量（称为松弛变量）使其变为等式（3）对于无约束的决策变量：譬如，则令，使得，代入模型即可线性规划的求解方法MATLAB中，线性规划问题（Linear Programming）的求解使用的是函数linprog。表6 函数linprog的使用格式x=linprog(C,A,b)求min C*x S.T.A*x0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflagf = 13;9;10;11;12;8;A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 700; 800;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;beq=300 500 400;lb = zeros(6,1);x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb);运行结果：Ans=x = 0.0000 500.0000 0.0000 300.0000 0.0000 400.0000Ans=fval = 1.1000e+004Ans=exitflag =1可见，在甲机床上加工500个工件2，在乙机床上加工300个工件1、加工400个工件3可在满足条件的情况下使总加工费最小。最小费用为11000元。收敛正常。实验七大数定律在保险中的应用（2学时）【实验目的】1加深对数学期望和方差概念的理解，并了解其使用2了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用【实验要求】 数学期望与方差的理论知识，Matlab软件【实验内容】在概率论中，一切论述“一系列（数目很大）相互独立的随机变量的平均值几乎恒等于一个常数”的定理都称为大数定律。大数定律是说，数目很多的一些相互独立的随机变量，尽管它们的取值都是随机的，但它们的平均值几乎恒等于一个常数。大数定律应用在保险学上，就是保险的赔偿遵从大数定律。其含义是：参加某项保险的投保户成千上万，虽然每一户情况各不相同，但对保险公司来说，平均每户的赔偿金几乎恒等于一个常数。 假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时，其家属可向保险公司领得1000元。试问：平均每户支付赔偿金5.9元至6.1元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润大于4万的概率是多少？ 【实验过程】设表示保