定积分的概念及性质.doc

51定积分的概念及性质摘要：(3)定积分是一个数,不定积分是一个函数的原函数的全体.因此,定积分和不定积分是两个完全不同的概念.4.布置作业(略)5.2微积分基本定理.关键词：积分,微积分类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！205.1定积分的概念及性质教学目的 理解定积分的概念和性质,了解定积分的几何意义教学重点 定积分的概念教学难点 定积分概念的理解教学内容1.复习不定积分的概念.2.讲授新课 2.1两个引例引例1 曲边梯形的面积由连续曲线（）和及围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1） 由于曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是不断变化的，因而它的面积不能由公式底高求得.为了计算曲边梯形的面积，我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中的变化很小，可以用相应的小矩形近似代替，用所有小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积.显然，分割的越细，近似程度就越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，我们按下面的方法求曲边梯形的面积.设函数在区间上连续，且.在上任取个内分点：，将区间分割为个小区间: 图1记每一小区间长度为，过分点作轴的垂线，将曲边梯形分割为个小曲边梯形；设表示第个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积为.在每个小区间上任意取一点，以为底边，为高作小矩形，则小矩形的面积为，当很小时，有若分点越多，就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越接近于曲边梯形的面积.即，此为曲边梯形面积的近似值若用来表示所有小区间中的最大区间长度，当分点数无限增大且趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形的面积，即. 我们把极限称之为曲边梯形的面积 引例2 变速直线运动的路程设质点运动的速度函数是连续变化的且大于零，考虑从时刻到时刻所走过的路程我们仍然采用分割的方法：（1）用分点：将时间区间分成个小区间: ，每个小区间的长度记为（2）近似代替：在每一时间区间内任取一时刻，则质点在该时间区间走过的路程近似为， （3）求和：将每个时间区间上质点所通过的路程的近似值累加起来，就得到时间区间上质点所通过的路程的近似值，即（4）取极限：当分点无限增加时，记小区间最大的一个长度为，当时，则和式的极限就是质点从时刻到时刻的路程，即2.2定积分的定义以上两个例子的实际意义不同，但处理问题的思想方法是相同的，最后所得到的结果都归结为求和式的极限.数学上将这类和式的极限称作为定积分.定义1设函数在上有定义，任取分点将分成个小区间，记为区间长度，并在每个小区间上任取一点，得出乘积的和式若时，和式的极限存在，且此极限值与区间的分法及点的取法无关，则称这个极限值为函数在上的定积分，记为，即 . (1)这里称为被积函数，称为被积表达式，叫积分变量，叫积分区间，称为积分下限，称为积分上限.若在上的定积分存在，则说在上可积.根据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用定积分可以表示为；变速直线运动的质点的路程可以表为：.关于定积分的定义，有以下说明：(1)定积分的值只与被积函数、积分区间有关，与积分变量的符号无关.即.(2)定义中要求，若、时有如下规定：当时， ，即互换定积分的上、下限，定积分要变号.当时， .在怎样的条件下，在上的定积分一定存在呢？有下面的定理：定理1 如果在上连续，则在上可积.定理2 如果在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的.2.3定积分的几何意义在讨论曲边梯形面积时，假定，曲边梯形的图形在轴的上方，则积分值是正的，即；若，图形在轴的下方，则积分值是负的，即；若在上有正有负时，则积分值就表示曲线在轴上方和轴下方的面积的代数和.如图2所示 .例1 用定积分表示图中阴影部分的面积.图4解 (1)；(2).图3图5例2 利用定积分的几何意义，说明的成立解 的几何意义是由曲线，围成的图形的面积，如图5-5所示，求得面积为，故2.4定积分的性质设、在区间上可积，则根据定义可推证定积分有以下的性质：性质1 . 性质2 常数因子可直接提到积分符号前面.性质3 代数和的积分等于积分的代数和，即.这一结论可以推广到有限多个函数代数和的情况.性质4 对任意的点，有.这一性质称为定积分的可加性，无论还是，性质均成立性质5 如果在上有，则.特别地，当时， .性质6 （估值定理）若函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则 .这是因为，由性质5得，再由性质1和性质2即可得结论.性质7(积分中值定理) 设在闭区间上连续，则至少存在一点，使 .其几何意义是：设，则由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形面积等于以区间为底，以为高的矩形的面积(如图6所示). 我们称为在上的平均值. 例3 比较下列各对积分值的大小：(1)与；(2)与.解 (1)因为在上，所以. (2)因为在上，所以.例4 估计定积分的值解 因是指数函数，由指数函数的性质知，在上的最大值为，最小值为，由性质有，即 .3小结定积分的概念（1）定积分的实际背景是解决已知变量的变化率，求它在某范围内的累积问题通过“分割，局部以不变代变得微量近似，求和得总量近似，取极限得精确总量”的一般解决过程，最后抽象得到定积分的概念即 （2）据定积分的定义，在a，b上连续非负函数的定积分总表示由y=f(x)，x=a，x=b与x轴围成的单曲边梯形的面积，得到定积分的几何意义是由y=f(x)，x=a，x=b与x轴围成区域的代数面积（3）定积分是一个数，不定积分是一个函数的原函数的全体因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念4布置作业（略） 5.2微积分基本定理教学目的 熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式教学重点 牛顿-莱布尼兹公式的应用教学难点 牛顿-莱布尼兹公式教学内容1.复习定积分的概念： .但利用它进行定积分的计算是很复杂和很困难的.下面探讨计算定积分的简便而有效的方法.2.讲授新课 2.1变上限的定积分设函数在上连续，为上的任意一点，则积分存在.当在区间上变化时，积分是上限的函数，称为变上限的定积分，记作.因为定积分与积分变量所用字母无关，为了避免混淆，将积分变量用表示，即，.变上限的定积分有下面的重要性质.定理1 设函数在上连续，则变上限的定积分在区间上可导，且. (1)这说明是连续函数的一个原函数.由此可得到原函数存在定理.定理2 若函数在上连续，则函数是函数在上的一个原函数.这个定理既肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了定积分与原函数之间的关系.变上限定积分的重要性质不仅在证明微积分基本定理时有重要作用，在讨论函数本身的性质时也很重要.例1 已知，求. 解 由定理5.3知 .例2 求.解 .例3 求.解 当时，此极限为型不定式，利用洛必达法则有.例4 求.解 积分上限是的函数，所以变上限积分是的复合函数，由复合函数求导法则有.一般地，如果可导，则. (2)2.2牛顿莱布尼兹公式定理3 如果函数在上连续，且是在上的一个原函数，则 (3)证明 因是在上的一个原函数，而 也是在上的一个原函数，故，因为 ， 所以.故 ， 从而，所以有 .在上式中令，则有，即.为了书写方便，通常用来表示，即 .定理3称为微积分基本定理，它揭示了定积分与不定积分之间的联系.公式(3)称为牛顿-莱布尼兹公式，它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数在上的定积分，就是计算的任一原函数在上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.例5 求积分.解 .例6 求积分.解 .例7 求积分.解 .例8 求积分.解 .例9 求积分.解 .例10 求积分.解 .例11 求积分.解 此题要先去掉绝对值符号后才能计算定积分.因 ，所以3.小结1. 变上限的定积分：2. 变上限的定积分的重要性质：3. 牛顿莱布尼兹公式：4布置作业（略）5.3定积分的换元法教学目的 熟练掌握定积分的换元法教学重点 定积分的换元法的应用教学难点 定积分的换元法教学内容1.复习牛顿莱布尼兹公式：.但利用它进行计算较复杂的定积分有一定困难.因此下面探讨定积分的计算方法.2.讲授新课 定理1 设函数在区间上连续，函数在区间上单调且有连续导数；当在上变化时，在上变化，且，则 . (1)上式称为定积分的换元公式.这个公式与不定积分换元法类似，它们的区别是：不定积分换元求出积分后，需将变量还原为；而定积分在换元的同时，积分限也相应地变化，求出原函数后不需将变量还原，直接根据新变量的积分限计算.注意：换元必须换限.例1 计算.解 令，则；当，；，；则.例2 计算.解 令，则；又，；，；故.例3 计算.解 令，则；又，；，；故 .例4 计算.解 令，则，；当，；，；故.例5 设函数在区间上连续，证明：(1)若，则；(2)若，则 证 因为，令，则有，故 .(1)当时，；(2)当时， 本例说明了奇函数、偶函数在对称区间上的积分特点，其结论可直接应用.如果用第一换元法(凑微分法)求原函数，一般不用设出新变量，因此原积分限不变.例6 计算.解法1 .解法2 令，则；.例7 计算.解法1 .解法2 令，则，； .3小结定积分的换元法：若f，j，j在相关区间内连续，u=j(x)，j(a)=a， j(b)=b， j(x)0，x(a，b) 第一类：= ；x=j(t)，j(a)=a， j(b)=b， j(t)0，t(a，b) 第二类： 4布置作业（略） 5.4定积分的分部积分法教学目的 熟练掌握分部积分法，运用其计算定积分教学重点 定积分分部积分法的应用教学难点 定积分的分部积分法教学内容1.复习牛顿莱布尼兹公式：定积分的换元法： 例1 计算 解 先用分部积分法求xcosx的原函数： =xsinx+cosx+C， =xsinx+cosx=11=2分部与双重代换同时进行，即以下面方式完成： =xsinx=0+cosx=2，2.讲授新课 定理5.7 设函数在区间上有连续的导数，则有 或 （5.2.5）上式称为定积分的分部积分公式.使用定积分的分部公式与求不定积分的分部积分法相同.在使用时要注意：右式中的应比所求积分容易求得；或右式中的与所求积分是相同的积分（循环积分），再合并后求出积分.例2 计算.解 .例3 计算.解 .例4 计算 .解 所以 .例5 计算.解 . 例6 求定积分：(1)；(2) 解 (1)= =0+2=p2 (2)= =(e 2p1)+=(e 2p1)+ =(e 2p1)移项得2= e 2p1，所以 =(e 2p1)3小结定积分的分部积分法：若u， v在a，b上连续， 4布置作业（略） 5.5平面图形的面积教学目的 掌握微元法，运用其计算平面图形的面积教学重点 计算平面图形的面积教学难点 微元法教学内容1复习 根据定积分的几何意义，我们可以求出几种平面图形的面积，下面分别举例说明几种平面图形的面积的计算.由曲线、直线及轴所围成的平面图形的面积. 1)若如图5-7所示，则面积为 2)若如图5-8所示，则面积为 3)若在积分区间内既有取正值的部分也有取负值的部分，如图5-9所示，则其面积为或 .综上所述，曲线、直线及轴所围成的平面图形的面积为 . 2.讲授新课 2.1微元法： 用定积分解决已知变化率求总量问题的过程. 若某量在a，b上的变化率f(x)，求它在a，b上的总累积量S： 化整为微a,b= Dxi=xi-xi-1 微量近似 DSif(xi)Dxi xixi-1,xi 积微为整 S 极限求精 S= =因为分割区间、取xi都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程： 分割区间,任取 一微段x,x+Dx 在微段x,x+Dx 中微量近似 DSf(x)Dx 近似累积总量 S 实际累积总量 S=在微段x，x+Dx上，S累积的微量DS，代之以微分dS=f(x)dx，(dx=Dx)，则还可简化成： 在a,b上任取 一微段x,x+dx在微段x,x+dx上 S的累积微量 dS=f(x)dx 累积总量 S=再简化一下，则变成： 若在a,b的微段x,x+dx上， S累积的微量是dS=f(x)dx dSf(x)dx S= 用以上所表示的形式，来解决求累积总量的方法，称为微元法，dS称为微元xyOxx+dxDSy=f(x)ab 以求曲边梯形面积A问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段x，x+dx，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA=f(x)dx，所以A= 2.2直角坐标系下平面图形的面积把由直线x=a，x=b(ab)及两条连续曲线y=f1(x)， y=f2(x)，(f1(x)f2(x)所围成的平面图形称为X型图形；把由直线y=c，y=d(cd)及两条连续曲线x=g1(y)，x=g2(y)(g1(y) g2(y)所围成的平面图形称为Y型图形xyOx=g1(y)x=g2(y)dcxyOy=f2(x)bay=f1(x)注意构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点把X型图形称为X型双曲边梯形，把Y型图形称为Y型双曲边梯形）用微元法分析X型平面图形的面积取横坐标x为积分变量，xa，b在区间a，b上任取一微段x