机器视觉空间几何变换.ppt

机器视觉及应用机器视觉及应用 李东李东 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 2/ 主要内容主要内容 2.1 2.1 空间几何变换空间几何变换 2.2 2.2 几何变换的不变量几何变换的不变量 2.3 2.3 欧式空间的刚体变换欧式空间的刚体变换 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 3/ 摄像机成像的几何 变换？ 2.1 2.1 空间几何变换空间几何变换 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 4/ Figures Stephen E. Palmer, 2002 Dimensionality Reduction Machine (3D to 2D)Dimensionality Reduction Machine (3D to 2D) 3D world2D image 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 5/ 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 6/ 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 7/ Projection can be trickyProjection can be tricky Slide source: Seitz 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 8/ Projection can be trickyProjection can be tricky Slide source: Seitz 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 9/ 成像几何（成像几何（Projective GeometryProjective Geometry） What is lost?What is lost? LengthLength Which is closer? Who is taller? 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 10/ 成像几何（成像几何（Projective GeometryProjective Geometry） 空间实际长度与图像中的长度成一定比例放缩空间实际长度与图像中的长度成一定比例放缩 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 11/ Projective GeometryProjective Geometry What is lost?What is lost? LengthLength AnglesAngles Perpendicular? Parallel? 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 12/ Projective GeometryProjective Geometry What is preserved?What is preserved? Straight lines are still straightStraight lines are still straight 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 13/ 成像几何（成像几何（Projective GeometryProjective Geometry） 消失消失点点/ /无穷远点（无穷远点（Vanishing PointVanishing Point） 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 14/ 成像特点（成像特点（Properties of Projection Properties of Projection ） 点（点（pointspoints）投影后为点；）投影后为点； 线（线（lineslines）投影后为线；）投影后为线； 平面（平面（planes or polygon planes or polygon ）投影后为平面（可）投影后为平面（可 能不是整个平面）。能不是整个平面）。 特殊情况：特殊情况： 经过光心的线投影后退变为点；经过光心的线投影后退变为点； 经过光心的平面投影后退变为线。经过光心的平面投影后退变为线。 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 15/ 无穷远元素无穷远元素 平行线交于一个无穷远点平行线交于一个无穷远点; ; 平行平面交于一条无穷远直线平行平面交于一条无穷远直线; ; 无穷远点 无穷远无穷远 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 16/ 在一个平面上在一个平面上, , 所有的无穷远点组成一条直线所有的无穷远点组成一条直线, , 称为这个平面的无穷远直线称为这个平面的无穷远直线. . 平行线 无穷远直线 无穷远元素无穷远元素 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 17/ 3 3维空间中所有的无穷远点组成一个平面维空间中所有的无穷远点组成一个平面, , 称为称为 这个空间的无穷远平面这个空间的无穷远平面. . 无穷远元素无穷远元素 无穷远平面 平行线 平 行 平 面 和 直 线 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 18/ Vanishing points and linesVanishing points and lines 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 19/ Vanishing points and linesVanishing points and lines Vanishing point Vanishing line Vanishing point Vertical vanishing point (at infinity) Slide from Efros, Photo from Criminisi 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 20/ Vanishing points and linesVanishing points and lines Photo from online Tate collection 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 21/ Note on estimating vanishing pointsNote on estimating vanishing points 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 22/ 射影空间射影空间 对对 n n 维欧氏空间加入无穷远元素维欧氏空间加入无穷远元素, , 并对有限元并对有限元 素和无穷远元素不加区分素和无穷远元素不加区分, , 则它们共同构成则它们共同构成 了了 n n 维射影空间维射影空间. . 1 1维射影空间是一条射影直线维射影空间是一条射影直线, , 它由我们所看到它由我们所看到 的欧氏直线和它的无穷点组成的欧氏直线和它的无穷点组成; ; 2 2维射影空间是一个射影平面维射影空间是一个射影平面, , 它由我们所看到它由我们所看到 的欧氏平面和它的无穷远直线组成的欧氏平面和它的无穷远直线组成; ; 3 3维射影空间由我们所在的空间与无穷远平面组维射影空间由我们所在的空间与无穷远平面组 成成. . 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 23/ 在在 n n 维空间中维空间中, , 建立欧氏坐标后建立欧氏坐标后, , 每一个有限每一个有限 的点的坐标为的点的坐标为 , , 对任意对任意 n n +1 +1 个数个数 , , 如果满足如果满足: : 则则 被叫作这个点的被叫作这个点的齐次坐标齐次坐标 . . 被称作被称作非齐次坐标非齐次坐标. . 不全为不全为0 0的数的数 组成的坐标组成的坐标 被称作被称作无穷远点的齐次坐标无穷远点的齐次坐标. . 齐次坐标（齐次坐标（Homogeneous CoordinatesHomogeneous Coordinates ） 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 24/ 一维齐次点坐标定义一维齐次点坐标定义 齐次坐标（齐次坐标（Homogeneous CoordinatesHomogeneous Coordinates ） 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 25/ 二维齐次点坐标定义二维齐次点坐标定义 有穷远点 方向为 =x2/x1的 无穷远点 非齐次齐次坐标关系 y轴上的 无穷远点 (x, y)x = x1 / x3, y = x2 / x3(x1, x2, x3) (x30) (x1, x2, 0) (x10) (=x2/x1) (0, x2, 0) (x20) 无穷远点 齐次坐标（齐次坐标（Homogeneous CoordinatesHomogeneous Coordinates ） 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 26/ Homogeneous coordinatesHomogeneous coordinates ConversionConversion Converting to homogeneous coordinates homogeneous image coordinates homogeneous scene coordinates Converting from homogeneous coordinates 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 27/ Homogeneous coordinatesHomogeneous coordinates Invariant to scalingInvariant to scaling Point in Cartesian is ray in HomogeneousPoint in Cartesian is ray in Homogeneous Homogeneous Coordinates Cartesian Coordinates 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 28/ Basic geometry in homogeneous coordinatesBasic geometry in homogeneous coordinates Line equation: ax + by + c = 0Line equation: ax + by + c = 0 Append 1 to pixel coordinate to get Append 1 to pixel coordinate to get homogeneous coordinatehomogeneous coordinate Line given by cross product of two pointsLine given by cross product of two points Intersection of two lines given by cross product Intersection of two lines given by cross product of the linesof the lines 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 29/ homogeneous coordinateshomogeneous coordinates Intersection of parallel linesIntersection of parallel lines 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 30/ 齐次坐标（齐次坐标（Homogeneous CoordinatesHomogeneous Coordinates ） 为什么为什么要用齐次坐标表示？要用齐次坐标表示？ 可以表示无穷远点；可以表示无穷远点； 提供提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中 的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的 有效有效方法。方法。 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 31/ 射影变换射影变换(projective transformation)(projective transformation) n n维射影空间的射影变换维射影空间的射影变换: : 射影变换由射影变换由 T T p p矩阵决定，矩阵决定， 有有(n+1)(n+1) 2 2 个参数，独立参数个参数，独立参数(n+1)(n+1) 2 2 -1-1个个 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 32/ 1 1维射影变换维射影变换: : 射影变换射影变换(projective transformation)(projective transformation) 3 3维射影变换维射影变换: : 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 33/ 仿射变换（仿射变换（Affine transformationAffine transformation） 仿射变换是射影变换的特例仿射变换是射影变换的特例 ，当射影中心平，当射影中心平 面变为无限远处时，射影变换就变成了仿射面变为无限远处时，射影变换就变成了仿射 变换。变换。 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 34/ 1 1维仿射变换维仿射变换: : 仿射变换（仿射变换（Affine transformationAffine transformation） 3 3维仿射变换维仿射变换: : 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 35/ 比例变换（比例变换（Metric transformationMetric transformation） 比例变换是带有一比例因子的欧氏变换，其三维空比例变换是带有一比例因子的欧氏变换，其三维空 间变换形式：间变换形式： 比例变换有比例变换有7 7个自由度个自由度 ，其中，其中3 3个旋转，个旋转，3 3个平个平 移和移和1 1个比例因子个比例因子。 比例变换不改变物体空间的形状，只是改变大小比例变换不改变物体空间的形状，只是改变大小 ，所以有时将比例变换称为相似变换。，所以有时将比例变换称为相似变换。 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 36/ 欧氏变换（欧氏变换（Euclidean transformationEuclidean transformation） 欧氏变换是在欧氏空间进行的变换，与比例欧氏变换是在欧氏空间进行的变换，与比例 变换很类似，只是比例因子取为变换很类似，只是比例因子取为1 1。在三维。在三维 欧氏空间其变换形式可表示为欧氏空间其变换形式可表示为 欧氏变换有欧氏变换有6 6个自由度个自由度 ，其中，其中3 3个旋转，个旋转，3 3个个 平移。平移。 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 37/ 在几何变换中，某些几何特性在变换前后具有不变化在几何变换中，某些几何特性在变换前后具有不变化 的特性。这样的特性或特征量称为不变特性或不变量的特性。这样的特性或特征量称为不变特性或不变量 。 2.2.1 2.2.1 简比与交比简比与交比 直线直线L L上三个点上三个点A, B, CA, B, C。以。以A A、B B为基础为基础 点，点点，点C C为分点，由分点与基础点所确为分点，由分点与基础点所确 定的两个有向线段之比称为简比，记为定的两个有向线段之比称为简比，记为 一条直线上四个点中两个简比的比值称为一条直线上四个点中两个简比的比值称为 交比交比 以以OO点为交点的任意点为交点的任意4 4条直线的交比称为线束交比条直线的交比称为线束交比 2.2 2.2 几何变换的不变量几何变换的不变量 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 38/ 射影变换不变性和不变量如下射影变换不变性和不变量如下: : （1 1）同素性和接合性）同素性和接合性 （2 2 ）保持直线上点列的交比不变。）保持直线上点列的交比不变。 （3 3） 保持线束的交比不变。保持线束的交比不变。 （4 4）如果平面内有一线束的四直线被任一直线所截，）如果平面内有一线束的四直线被任一直线所截， 则截点列的交比和线束的交比相等。则截点列的交比和线束的交比相等。 （5 5）点列交比是射影变换的基本不变量，是射影变换）点列交比是射影变换的基本不变量，是射影变换 的充分必要条件，且共线四点交比具有如下特性：的充分必要条件，且共线四点交比具有如下特性： 不变量不变量 深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所 39/ 仿射变换除具有以上射影变换不变性外，还具有仿射变换除具有以上射影变换不变性外，还具有 如下特性如下特性: : （l l）两直线间的平行性是仿射不变换。）两直线间的平行性是仿射不变换。 （2 2）共线三点的简比是仿射变换的基本不变量。）共线三点的简比是仿射变换的基本不变量。 （3 3）两个三角形的面积之比是仿射不变量。）两个三角形的面积之比是仿射不变量。 （4 4）两条封闭曲线所围成的面积之比是仿射不变量。）两条封闭曲线所围成的面积之比是仿射不变量。 比例变换除具有仿射变换的不变性外，还保持两比例变换除具有仿射变换的不变性外，还保持两 条相交直线的夹角不变，因此其形状保持不变条相交直线的夹角不变，因此其形状保持不变; ; 欧氏变换不仅保持两条相交直线的夹角不变，而欧氏变换不仅保持两条相交直线的夹角不变，而 且还保持任意两点的距离不变，因此，