matlab第四章矩阵与方程组.ppt

第四讲 矩阵与线性代数计算 研究内容：线性方程组的求解与矩 阵特征值问题 一、矩阵定义 二、矩阵生成 生成规则 生成方式： 由元素列表直接生成矩阵。 从外部数据文件读入矩阵。 用户自编M文件生成矩阵。 利用小阵生成大阵。 利用系统内部函数生成矩阵。 A=1 2 3;4 5 6;7 8 9; B=A,A+0.1;A+0.2,A+0.3 B = 1.0000 2.0000 3.0000 1.1000 2.1000 3.1000 4.0000 5.0000 6.0000 4.1000 5.1000 6.1000 7.0000 8.0000 9.0000 7.1000 8.1000 9.1000 1.2000 2.2000 3.2000 1.3000 2.3000 3.3000 4.2000 5.2000 6.2000 4.3000 5.3000 6.3000 7.2000 8.2000 9.2000 7.3000 8.3000 9.3000 （1）zeros：生成元素全部为0的矩阵。 B=zeros(3,4) B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （2）ones：生成元素全部为1的矩阵。 C=ones(2,5) C = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （3）rand：生成均匀分布随机元素矩阵。 D=rand(3,5) D = 0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.9218 0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.7382 0.6068 0.7621 0.8214 0.7919 0.1763 （4）randn：生成正态分布随机元素矩阵。 E=randn(2,4) E = -0.4326 0.1253 -1.1465 1.1892 -1.6656 0.2877 1.1909 -0.0376 （5）magic：生成N阶幻方方阵。 M=magic(4) M = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 （6）diag：生成一个矩阵的主对角元素。 Mo=diag(M) Mo = 16 11 6 1 diag(Mo) ans = 16 0 0 0 0 11 0 0 0 0 6 0 0 0 0 1 （7）triu：生成上三角阵。 M1=triu(M) M1 = 16 2 3 13 0 11 10 8 0 0 6 12 0 0 0 1 （8）tril：生成下三角阵。M2 = 16 0 0 0 M2=tril(M) 5 11 0 0 9 7 6 0 4 14 15 1 （9）length：用来返回指定向量的长度。 n=length(Mo) n = 4 （10）size：返回指定矩阵的行数和列数。 m,n=size(M) m = 4 n = 4 （11）eye：生成指定行列数的单位矩阵。 e=eye(size(M) e = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 （12）hilb：生成以1/i+j-1为元素的实对称矩阵。 h4=hilb(4) h4 = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 三、矩阵取块 A(i,:)提取A的第i行 A(:,j)提取A的第j行 A(:,j:k)取出A的从第j列到第k列的元素所成的阵 A(:)将A的各列依次排成一个列向量 A(j:k)按列将A(:)的第j个到第k个分量排成一个行向量 A = 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 A(2,:) ans = 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 A(:,3) ans = 1.3000 2.3000 3.3000 A(2:7) ans = 2.1000 3.1000 1.2000 2.2000 3.2000 1.3000 A(:,2:4) ans = 1.2000 1.3000 1.4000 2.2000 2.3000 2.4000 3.2000 3.3000 3.4000 A(:) ans = 1.1000 2.1000 3.1000 1.2000 2.2000 3.2000 1.3000 2.3000 3.3000 1.4000 2.4000 3.4000 四、矩阵运算 矩阵的行列式与转置阵 行列式：det(A) A1=1 2 3;4 5 6;7 8 0; A10=det(A1) A10 = 27 A2=1 2 3;4 5 6;7 8 9; A20=det(A2) A20 = 0 syms c A3=1 2 3;4 5 6;7 8 c; A30=det(A3) A30 =- 3*c+27 转置矩阵：A B1=1 3 5;2 6 10; BB=B1,AA=A1 BB = 1 2 3 6 5 10 AA = 1 4 7 2 5 8 3 6 0 矩阵的加、减、乘及乘方运算 注：与数学中的运算符大致一样，可开任意有理数根。 矩阵求逆与除法运算(满秩方阵) A-1 =inv(A) , A/B=A*inv(B) , AB=inv(A)*B inv(A1) ans = -1.7778 0.8889 -0.1111 1.5556 -0.7778 0.2222 -0.1111 0.2222 -0.1111 inv(A3) ans = -1/3*(5*c-48)/(c-9), 2/3*(c-12)/(c-9), 1/(c-9) 2/3*(2*c-21)/(c-9), -1/3*(c-21)/(c-9), -2/(c- 9) 1/(c-9), -2/(c-9), 1/(c- 9) 例1：求解方程组AX=b,A=1 1；1 1，b=5;1 A=1 -1;1 1;b=5;1;X=inv(A)*b; 或X=Ab inv(A),X ans = 0.5000 0.5000 X = 3 -0.5000 0.5000 -2 矩阵秩与奇异值 rank(A) A1=1 2 3;4 5 6;7 8 0;A2=1 2 3;4 5 6;7 8 9; B1=1 3 5;2 6 10; rank(A1) ans = 3 rank(A2) ans = 2 rank(B1) ans = 1 奇异值 矩阵范数与条件数 范数：norm(A,p) b=1 2 3;A12=norm(A1,2);A22=norm(A2,2);b2=norm(b,2); A12,A22,b2 A12 = 13.2015 A22 = 16.8481 b2 = 3.7417 条件数：cond(A) K1=cond(A1) K1 = 35.1059 K2=cond(A2) K2 = 3.8131e+016 病态方程组 五、矩阵特征值和特征向量 P,R=eig(A) 实对称矩阵：A1=5 -2 0;-2 6 2;0 2 7; P,R=eig(A1) P = 0.6667 0.6667 -0.3333 0.6667 -0.3333 0.6667 -0.3333 0.6667 0.6667 R = 3.0000 0 0 0 6.0000 0 0 0 9.0000 实对称矩阵：A2=1 -1 -1;-1 1 -1;-1 -1 1; P,R=eig(A2) P = 0.5774 0.7634 0.2895 0.5774 -0.6325 0.5164 0.5774 -0.1310 -0.8059 R = -1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 2.0000 B2=1 2 2;1 -1 1;4 -12 1; P,R=eig(B2) P = 0.9045 -0.7255 -0.7255 0.3015 -0.2176 - 0.0725i -0.2176 + 0.0725i -0.3015 0.5804 - 0.2902i 0.5804 + 0.2902i R = 1.0000 0 0 0 -0.0000 + 1.0000i 0 0 0 -0.0000 - 1.0000i 六、矩阵分解与广义逆阵 广义逆阵：设A为m*n阶矩阵，如果存在n*m阶矩阵 G,满足条件 (1)AGA=A, (2)GAG=G, (3)(AG)*=AG, (4)(GA)*=GA, *表示共轭后再转置，则称G为A的广义逆阵，记为A+ =G。 A+ =pinv(A) A1=1 2 3;4 5 6;7 8 0; G1=pinv(A1) G1 = -1.7778 0.8889 -0.1111 1.5556 -0.7778 0.2222 -0.1111 0.2222 -0.1111 A2=1 2 3;4 5 6; G2=pinv(A2) G2 = -0.9444 0.4444 -0.1111 0.1111 0.7222 -0.2222 A2*G2 ans = 1.0000 0 -0.0000 1.0000 G2*A2 ans = 0.8333 0.3333 -0.1667 0.3333 0.3333 0.3333 -0.1667 0.3333 0.8333 A3=1 2;2 4;3 6; G3=pinv(A3) G3 = 0.0143 0.0286 0.0429 0.0286 0.0571 0.0857 A3*G3 ans = 0.0714 0.1429 0.2143 0.1429 0.2857 0.4286 0.2143 0.4286 0.6429 G3*A3 ans = 0.2000 0.4000 0.4000 0.8000 LU分解 A=LU，A是方阵，U是上三角阵，L是 一个经过行交换的下三角阵。 L,U=lu(A) A1=5 -2 0;-2 6 2;0 2 7; L1,U1=lu(A1) L1 = 1.0000 0 0 -0.4000 1.0000 0 0 0.3846 1.0000 U1 = 5.0000 -2.0000 0 0 5.2000 2.0000 0 0 6.2308 Cholesky分解 A=RR,A为对称正定矩阵，R为上三角 阵，R为R的转置。 R=chol(A) A=5 -1 0;-2 6 2;0 2 7; R=chol(A) R = 2.2361 -0.4472 0 0 2.4083 0.8305 0 0 2.5120 QR分解 A=QR,Q为正交阵，R为上三角阵。 Q,R=qr(A) A1=5 -2 0;-2 6 2;0 2 7; Q1,R1=qr(A1) Q1 = -0.9285 -0.3431 -0.1421 0.3714 -0.8578 -0.3553 0 -0.3827 0.9239 R1 = -5.3852 4.0853 0.7428 0 -5.2259 -4.3945 0 0 5.7564 奇异值分解 A=U*S*V* ,S为A的奇异值对角阵，U与V为正交阵， V*是V的共轭后再转置。 U,S,V=svd(A) A1=1 2 3;2 3 4;3 4 5; U1,S1,V1=svd(A1) U1 = -0.3851 0.8277 0.4082 -0.5595 0.1424 -0.8165 -0.7339 -0.5428 0.4082 S1 = 9.6235 0 0 0 0.6235 0 0 0 0.0000 V1 = -0.3851 -0.8277 0.4082 -0.5595 -0.1424 -0.8165 -0.7339 0.5428 0.4082 例2：求解线性方程组 x1+2x2+3x3=6 2x1+3x2+4x3=9 3x1+4x2+7x3=14 解：A1=1 2 3;2 3 4;3 4 7; b1=6;9;14; r1=rank(A1) r1 = 3 所以A1为一满秩方阵，方程组有惟一解。 X11=A1b1 X11 = 1.0000 1.0000 1.0000 七、线性方程组求解 例3：求解 x1+2x2+3x3=6 2x1+3x2+4x3=9 3x1+5x2+7x3=15 解：A2=1 2 3;2 3 4;3 5 7;b2=6;9;15; r12=rank(A2) r12 = 2 Ab2=A2,b2 Ab2 = 1 2 3 6 2 3 4 9 3 5 7 15 r22=rank(Ab2) r22 = 2 由r22= r21=2知，方程组为相容方程组，只有两个独立 方程，可取 x1+2x2+3x3=6 2x1+3x2+4x3=9 若令x3=c,利用线性方程组的符号解法有 ： A20=1 2;2 3; b20=sym(6-3*c;9-4*c); X20=A20b20 X20 = c 3-2*c 解为X=x1,x2,x3=c,3-2c,c 例4：求解 x1+2x2+3x3=6 2x1+4x2+6x3=12 3x1+6x2+9x3=18 解：A3=1 2 3;2 4 6;3 6 9; b3=6;12;18; r13=rank(A3) r13 = 1 Ab3=A3,b3; r32=rank(Ab3) r32 = 1 由r31=r32=1知方程为相容方程组，且只有一个 方程独立，可取x1+2x2+